333 Bài trắc nghiệm Hình học Khối đa diện cực hay có lời giải chi tiết (P5)
35 câu hỏi
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC = 60 cạnh bên SA = a và SA vuông góc với ABCD. Tính góc giữa SB và (SAC).
90
30
45
60
Chọn B.
Gọi O = ACBD. Vì ABCD là hình thoi nên BOAC(1). Lại do:
Từ (1) và (2) ta có:BO(SAC)
Ta có: 
Vì ABCD là hình thoi có ABC = 60 nên tam giác ABC đều cạnh a
Trong tam giác vuông SBO ta có:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại C, BAC = 30, AB = a, AA' = a. Gọi M là trung điểm của BB'. Tính theo a thể tích V của khối tứ diện MACC'.
V =
V =
V =
V =
Chọn B.
Vì MB//(ACC') nên 
Do đó
Thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a là
Chọn C.
Gọi khối chóp tứ giác đều là S.ABCD
Gọi O là tâm của đáy Do là khối chóp tứ giác đều nên SO(ABCD)
Vậy SO là chiều cao của khối chóp S.ABCD.
Xét tam giác vuông SOB, ta có:
Thể tích khối chóp là:
Khối hộp hình chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = a, BC = 2a; A'C = a có thể tích bằng
4
8
Chọn C.
Ta có:
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng
900.
600.
450.
300.
Chọn B.
Cách 1. Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng
ABC vuông tại A 
Do SA = SB = SC nên nếu gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) thì H là tâm đường trong ngoại tiếp tam giác ABC mà ABC vuông tại A nên H là trung điểm của BC. Dựng hình bình hành ABCD. Khi đó (AB;SC) = (CD;SC) và CD = AB = a
SBC vuông tại S (vì 
có SH là đường trung tuyến nên SH =
theo định lí Cô – Sin ta có
SHD vuông tại H nên
SCD có 
Cách 2. (Hay phù hợp với bài này) Ứng dụng tích vô hướng
Đặt 
Theo giả thiết ta có: 
Ta có: 
Xét 
Suy ra: 
Cho tứ diện O.ABC cos OA, OB, OC đôi một vuông góc và OB = OC = a, OA = a. Khi đó góc giữa hai mặt phẳng bằng
300.
900.
450.
600.
Chọn A.
Ta có: 
Trong (OBC) kẻ OHBC tại H thì có ngay BC(OAH)
Có 
Do đó: 
(vì OHA vuông tại O nên )
Ta có: 
OHA vuông tại O nên 
Vậy góc giữa hai mặt phẳng ((ABC),(OBC)) bằng
Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng 6a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CA, CB. P là điểm trên cạnh BD sao cho BP = 2PD. Diện tích S thiết diện của tứ diện ABCD bị cắt bởi (MNP) là
S =
S =
S =
S =
Chọn D.
Trong mặt phẳng (ABD) qua P kẻ đường thẳng song song AB cắt AD tại Q, ta có
Dễ thấy MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//AB//PQ, nên 4 điểm M, N, P, Q đồng phẳng MNPQ và MN = 3a, thiết diện cần tìm chính là hình thang MNPQ là hình thang cân, ta có
Kẻ đường cao QI ta có:
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của AD, M là trung điểm của CD, cạnh bên SB hợp với đáy một góc 60. Thể tích của khối chóp S.ABCD là
Chọn B.
Kẻ MI vuông góc với AB 
Ta có: 
xét tam giác vuông SHB tại H ta có:
Vậy 
Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288m2). Tính diện tích mặt trên cùng?
8m2.
6m2.
10m2.
12m2.
Chọn B.
Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ tầng 1) lập thành một cấp số nhan có công bội
Khi đó diện tích mặt trên cùng là: 
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AA' = 2a, tam giác ABC vuông tại B, có AB = a, BC = 2a. Thể tích khối lăng trụ là ABC.A'B'C'
2
4
Chọn A.
Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA = 2a, đáy ABCD là hình thang vuông ở A và D. AB = 2a, AD = CD = a. Khoảng cách từ điêm A đến mặt phẳng (SBC) bằng
Chọn A.
Gọi K là trung điểm AB => AK = KB = a
Dễ thấy tứ giác ADCK là hình vuông => CK = a
ACB có trung tuyến CK = AB => ACB vuông tại C.
Ta có: 
Trong (SAC) từ A hạ AHSC tại H => AH(SBC)
SAC vuông tại A 
Khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a có thể tích V bằng:
V =
V =
V =
V =
Chọn A.
Gọi 
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a, BAC = 120, mặt bên (AB'C') tạ0 với mặt đáy (ABC) một góc 60. Gọi M là điểm thuộc cạnh A'C' sao cho A'M = 3MC'. Tính thể tích V của khối chóp CMBC'
V =
V =
V =
V =
Chọn A.
Gọi I là trung điểm của B'C' 
Ta có 
Lại có
Cho hình chóp S.ABC, M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho MA= 2SM, SN = 2NB, là mặt phẳng qua MN và song song với SC. Kí hiệu (H1) và (H2) là các khối đa diện có được khi chia khối chóp S.ABC bới mặt phẳng trong đó (H1) chứa điểm S, (H2) chứa điểm A; V1 và V2 lần lượt là thể tích của (H1) và (H2). Tính tỉ số
Chọn D.
Mp () qua MN và song song với SC. Mp () cắt BC và cắt AC tại P và Q ta có:
NP // SC nên 
Ta có: MN, PQ, AB đồng quy tại E.
Áp dụng định lí Mennelauyt trong tam giác SAB, ta có:
Áp dụng định lí Menelauyt trong tam giác ABC ta có: 
Vậy 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông đường chéo AC = 2a. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Thể tích của khối chóp S.ABCD là:
Chọn B.
Hạ đường cao SH của tam giác SAB thì Sh là đường cao của hình chóp
Trong hình vuông ABCD: 
Trong tam giác đều ABC: 
Cho khối tứ diện có thể tích V. Gọi V' là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là trung điểm của các cạnh tứ diện đã cho. Tỉnh tỉ số
=
=
=
=
Chọn D.
Giả sử khối tứ diện là ABCD. Gọi E, F, G, H, I, J lần lượt là trung điểm của AB. AC, AD, BC, CD, BD.
Ta có 
Do đó 
Vậy 
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AC = a, biết SA vuông góc với mặt đáy, SA = a. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC, là mặt phẳng đi qua AG và song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại M và N. Tính thể tích V của khối đa diện AMNBC.
V =
V =
V =
V =
Chọn D.
Do () đi qua G(SBC), song song với BC nên () cắt mặt phẳng (SBC) theo giao tuyến MN qua G và song song với BC.
Do tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a nên 
Do SA(ABC) nên 
Cho hình hộp chữ nhật có diện tích của ba mặt lần lượt là 60 , 72 , 81 . Khi đó thể tích V của khối hình hộp chữ nhật gần nhất với giá trị nào sau đây?
595.
592.
593.
594.
Chọn B.
Giả sử khối hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c.
Khi đó thể tích khối hộp chữ nhật là: V = abc.
Từ giả thiết ta có
Vậy thể tích V của khối hình hộp chữ nhật gần nhất với giá trị 592.
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có BB' = a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
V =
V =
V =
V =
Chọn C.
Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a 
Diện tích của tam giác ABC: 
Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C': 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), AB = a, AD = 2a. Góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 45. Thể tích hình chóp S.ABCD bằng
Chọn A.
Ta có: 
Do tam giác SAB vuông cân tại A nên SA = AB = a.
Vậy 
Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BCD') bằng . Tính thể tích hình hộp theo a.
V =
V =
V =
V =
Chọn B.
Kẻ 
Ta có:
Từ (1),(2),(3) => 
do đó AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BCD')
Xét tam giác A'AB vuông tại A ta có:
Vậy 
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a. Biết SA = a và vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng , với cos = . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD
Chọn B.
+ Gọi AD = x (x > 0)
+ Kẻ
dễ dàng chứng minh được 
Trong tam giác SBC ta có
Trong tam giác SAD có 
Xét tam giác AHK có
Xét tam giác AHK có
Vậy 
Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều cạnh chung BC = 2. Gọi I là trung điểm của BC, mà cos 2 = -. Hãy xác định tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.
O là trung điểm của AD.
O là trung điểm của BD.
O thuộc mặt phẳng (ADB).
O là trung điểm của AB.
Chọn A.
và 
nên 
Pitago đảo dễ dàng suy ra tam giác ACD và tam giác ABD vuông có chung cạnh huyền AD.
Vậy tâm cầu ngoại tiếp tứ diện là trung điểm O của AD.
Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều cạnh chung BC = 2. Gọi I là trung điểm của BC, mà cos 2 = -. Hãy xác định tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.
O là trung điểm của AD.
O là trung điểm của BD.
O thuộc mặt phẳng (ADB).
O là trung điểm của AB.
Chọn A.
và 
nên 
Pitago đảo dễ dàng suy ra tam giác ACD và tam giác ABD vuông có chung cạnh huyền AD.
Vậy tâm cầu ngoại tiếp tứ diện là trung điểm O của AD.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d gữa hai đường thẳng SA và BD.
d =
d =
d =
d = a
Chọn C.
Gọi H là trung điểm AD suy ra SH(ABCD) vì (SAD)(ABCD) và tam giác SAD đều.
Dựng hình bình hành ADBE khi đó BD//(SAE) do đó
Gọi K là hình chiếu của H trên AE và I là hình chiếu của H trên SK.
Ta có: HI = d(H;(SAE)).
Do tam giác SAD đều và ABCD là hình vuông cạnh a nên 
Do đó ta tính được 
suy ra 
Cho khối chóp S.ABC. Trên các đoạn SA. SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B'. C' sao cho SA' = SA, SB' = SB, SC' = SC. Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C' và S.ABC bằng
Chọn C.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, Mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Thể tích V của khối chóp S.ABC là
V =
V = 2
V =
V =
Chọn C.
Gọi H là trung điểm của AB 
Ta có: 
và 
Vậy: 
Cho khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi A'B và đáy bằng 60. Tính thể tích khối lăng trụ
Chọn A.
Ta có: 
Xét tam giác BB'A' vuông tại B' có: 
Và: 
Vậy: 
Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 1 và đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE = 2EC. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD.
V =
V =
V =
V =
Chọn B.
Ta có: 
Khối tứ diện đều có mấy mặt phẳng đối xứng.
5.
6.
4.
3.
Chọn B.
Tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng.
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = a, OB = b, OC = c. Tính thể tích khói tứ diện ABC.
Chọn C.
Ta có: 
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK, A'D.
a
Chọn D.
Cách 1: Trong mặt phẳng (CDD'C) gọi P là giao điểm của CK và C'D'.
Suy ra KD' là đường trung bình của PCC' => D' là trung điểm của PC'.
Trong mặt phẳng (A'B'C'D') gọi M là giao điểm của PB' và A'D'
Ta có 
Tứ diện PCC'B' có C'P, C'B và C'B đôi một vuông góc với nhau.
Đặt 
thì 
Suy ra 
Vậy 
Cách 2: (Đã học chương 3, HH12)
Chọn hệ trục tọa độ sao cho: D(0;0;0), trục Ox trùng với cạnh DC, trục Oy trùng với cạnh DA, trục Oz trùng với cạnh DD', chọn a = 1.
Ta có : 
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = BC = a, BB' = a. Tính góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng (BCC'B').
60
90
45
30
Chọn D.
Ta có: 
nên BB' là hình chiếu của A'B trên (BCC'B')
Vậy góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng (BCC'B') là góc giữa hai đường thẳng A'B và BB' và là góc
Lại có: 
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại B, AC = a, biết góc giữa (A'BC) và đáy bằng
60. Tính thể tích V của khối lăng trụ.
V =
V =
V =
V =
Chọn A.
Do đáy tam giác vuông cân tại B, AC = a nên AB = a.
Lại có: 
nên góc tạo bởi (A'BC) và đáy là
Theo bài ra: = 60
Thể tích V của khối lăng trụ: 
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng
60
90
45
75
Chọn B.
Gọi H = DF SA => H là trung điểm của ED. I = AC BD => I là trung điểm BD
Vậy HI là đường trung bình của tam giác BED => HI//EB(1)
Ta có 
(chóp tứ giác đều, hình chiếu của đỉnh S xuống đáy là I)
Gọi Q à trung điểm AB; dễ thấy NQ là đường trung bình của tam giác ABE => NQ//BE.
Gọi M là trung điểm BC; dễ thấy MQ//AC , 
Ta có 
Góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng 90
