Trắc nghiệm Toán 12 Bài Ứng dụng của thể tích khối đa diện có đáp án (Mới nhất)

Gọi cạnh hình vuông là a.

Khi đó $V_1={\left(\frac{a}{4}\right)}^2.a=\frac{a^3}{16}$ và $V_2={\left(\frac{a}{3}\right)}^2\frac{\sqrt{3}}{4}.a=\frac{a^3\sqrt{3}}{36}$. Suy ra $k=\frac{V_1}{V_2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}.$ Chọn C.

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có độ dài $AB=x,A{A}^{\text{'}}=h.$

Khi đó $S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2$ và $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{ABC}.A{A}^{\text{'}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}h.$

Theo giả thiết $\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}h=6\sqrt{3}\Rightarrow h=\frac{24}{x^2}.$

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ là nhỏ nhất.

Hình hộp được tạo thành có kích thước: chiều dài $80-2x\left(\text{cm}\right)$, chiều rộng $50-2x\left(\text{cm}\right)$, chiều cao $x\left(\text{cm}\right)$.

Suy ra thể tích thùng tạo thành $V=x\left(80-2x\right)\left(50-2x\right)=4x^3-260x^2+4000x$.

Khảo sát $f\left(x\right)=4x^3-260x^2+4000x$ trên $\left(0;25\right)$, được $\underset{\left(0;25\right)}{\max }f\left(x\right)=f\left(10\right)=18000{\text{cm}}^{\text{3}}.$

Chọn A.

Các kích thước khối hộp lần lượt là: $\frac{60-3x}{2};40-2x;x$.

Khi đó $V_{\text{hop}}=\left(\frac{60-3x}{2}\right)\left(40-2x\right)x=3x^3-120x^2+1200x=f\left(x\right).$

Khảo sát hàm $f\left(x\right)$ với $0<x<20$, ta được $f\left(x\right)$ lớn nhất khi $x=\frac{20}{3}.$

Chọn A.

Thể tích khối hộp $V=x.x.h=x^{2}h=500\Rightarrow h=\frac{500}{x^2}.$

Để chiếc hộp làm ra ít tốn bìa các tông nhất khi và chỉ khi diện tích toàn phần của hộp là nhỏ nhất.

Diện tích toàn phần của hộp (không nắp)  $S_{\text{tp}}=S_{\text{day}}+S_{\text{xung quanh}}=x.x+4.hx=x^2+4hx$

$x^2+4x.\frac{500}{x^2}=x^2+\frac{2000}{x}=x^2+\frac{1000}{x}+\frac{1000}{x}\stackrel{\text{Cosi}}{\ge }3\sqrt[3]{{1000}^2}.$

Dấu $\text{'}\text{'}=\text{'}\text{'}$ xảy ra $\iff x^2=\frac{1000}{x}=\frac{1000}{x}\iff x^3=1000\iff x=10.$ Chọn D.

Cách 2. Xét hàm $f\left(x\right)=x^2+\frac{2000}{x}$ với $x>0$.

Diện tích toàn phần $S_{\text{tp}}=4ah+2a^2=6\Rightarrow h=\frac{6-2a^2}{4a}.$

Thể tích khối hộp chữ nhật: $V=a.a.h=a^2.\frac{6-2a^2}{4a}=\frac{6a-2a^3}{4}.$

Khảo sát hàm $f\left(a\right)=\frac{6a-2a^3}{4}$ trên $\left(0;\sqrt{3}\right)$, ta được $f\left(a\right)$ lớn nhất tại $a=1.$

Với $a=1\to h=1\stackrel{}{\to }a+h=2\text{cm.}$ Chọn A.

Xét hàm $f\left(x\right)=3x^2+\frac{48}{x}$ trên $\left(0;+\infty \right)$, ta được $f\left(x\right)$ nhỏ nhất khi $x=2.$

Khi $x=2\to y=6,z=\frac{3}{2}\stackrel{}{\to }x+y+z=\frac{19}{2}\text{dm.}$ Chọn A.

Cách 2. BĐT Côsi $3x^2+\frac{48}{x}=3\left(x^2+\frac{8}{x}+\frac{8}{x}\right)\ge 3.3\sqrt[3]{x^2.\frac{8}{x}.\frac{8}{x}}=36.$

Dấu $\text{'}\text{'}=\text{'}\text{'}$ xảy ra $\iff x^2=\frac{8}{x}=\frac{8}{x}\to x=2.$

Gọi  $x\left(\text{m}\right),y\left(\text{m}\right)\left(x>0,y>0\right)$ là chiều dài và chiều rộng của đáy bể.

Theo giả thiết, ta có: $0,6xy=0,096\Rightarrow y=\frac{0,16}{x}.$

Diện tích mặt đáy:$S_{\text{day}}=xy=x.\frac{0,16}{x}=0,16$

Khảo sát hàm $f\left(x\right)=x^4-x^5\sqrt{2}$ trên $\left(0;\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, ta được $f\left(x\right)$ lớn nhất khi $x=\frac{2\sqrt{2}}{5}$.

Chọn B.

Cách làm trắc nghiệm. Đầu tiên ta loại đáp án C do $x=2\sqrt{2}\notin \left(0;\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Thay ba đáp án còn lại vào hàm số $f\left(x\right)=x^4-x^5\sqrt{2}$. So sánh kết quả nào lớn nhất ta chọn. Nếu đề bài hỏi giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp thì ta không làm theo cách này được.

Đặt $x,y,h$ lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao mỗi phòng.

Theo giả thiết, ta có $x.3y=1152\stackrel{}{\to }y=\frac{384}{x}$.

Để tiết kiệm chi phí nhất khi diện tích toàn phần nhỏ nhất.

Ta có $S_{\text{tp}}=4xh+6yh+3xy=4xh+6.\frac{384}{x}h+1152=4h\left(x+\frac{576}{x}\right)+1152$.

Vì $h$ không đổi nên $S_{\text{tp}}$ nhỏ nhất khi $f\left(x\right)=x+\frac{576}{x}$ (với $x>0$) nhỏ nhất.

Khảo sát $f\left(x\right)=x+\frac{576}{x}$ với $x>0$, ta được $f\left(x\right)$ nhỏ nhất khi $x=24\underset{}{\to }y=16$.

Chọn A.

Cách 2. BĐT Côsi $x+\frac{576}{x}\ge 2\sqrt{x.\frac{576}{x}}=48.$ Dấu $\text{'}\text{'}=\text{'}\text{'}$ xảy ra $\iff x=\frac{576}{x}\to x=24.$