333 Bài trắc nghiệm Hình học Khối đa diện cực hay có lời giải chi tiết (P2)

Phương pháp:

Xác định góc giữa hai mặt phẳng 

- Tìm giao tuyến 

- Xác định 1 mặt phẳng  

- Tìm các giao tuyến 

- Góc giữa hai mặt phẳng 

Cách giải:

Gọi M là trung điểm của CD.

Do tam giác ACD và BCD là các tam giác cân tại A, B

và

Dễ dàng chứng minh được  tại I

suy ra 

Lại có: 

Từ (1), (2) suy ra: 

Chọn: B

Phương pháp:

Công thức tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' là  V = AA'.AB.AD

Cách giải:

Ta có:  (định lý Pitago)

Xét tam giác ACC’ vuông tại C ta có:

Chọn C.

Phương pháp:

Sử dụng công thức 

Cách giải:

Ta có 

Chọn D.

Chọn D.

Phương pháp:

Thể tích tứ diện vuông là V = $\frac{1}{6}$abc

Cách giải:

Thể tích 

Chọn C.

Phương pháp:

Thể tích khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy S là V = $\frac{1}{3}$hS 

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác để tính toán.

Cách giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có

Mà 

Thể tích khối chóp 

Chọn A.

Phương pháp:

Xác định góc giữa các mặt phẳng (P) và (Q) ta thực hiện các bước sau:

+ Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)

+ Trong mặt phẳng (P) xác định đường thẳng a$\perp$d trong mặt phẳng (Q) xác định đường thẳng b$\perp$d 

+ Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b

Cách giải:

Gọi M là trung điểm BC => AM$\perp$BC (do $∆$ABC cân tại A). 

Lại có $∆$SAB = $∆$SAC(c.g.c) hay $∆$SBC cân tại S

=> SM$\perp$BC

Theo đề bài

Lại thấy $∆$ABM vuông tại M có AB = a; 

Xét tam giác SAM vuông tại A có SA =  AM = $\frac{a}{2}$ nên $∆$SAM vuông cân tại A hay $\angle SMA= 45°$

Vậy góc giữa (SBC) và (ABC) bằng $45°$

Chọn D.

Phương pháp:

Sử dụng các công thức diện tích tam giác  và công thức Cosin

Cách giải:

Ta có: 

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Do AB = AC = AD 

Thể tích tứ diện ABCD là 

Chọn D.

Phương pháp:

$∆$ABC có AM là trung tuyến, I là điểm bất kì trên đoạn AM, đường thẳng đi qua I cắt AB, AC lần lượt tại E, F.

Khi đó: 

Cách giải:

Ta có:

Xét $∆$SAC có: 

Dấu "=" xảy ra 

Khi đó 

Vậy $\frac{V_1}{V}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{1}{3}$ khi và chỉ khi a= b = $\frac{2}{3}$

Chọn A.

Phương pháp:

Phân chia khối hộp ra các phần, lập tỉ số thể tích.

Cách giải:

Gọi V là thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' 

Ta có: 

= $\frac{1}{6}V$

Mà 

Chọn: C

Chọn đáp án B.

Gọi I là trung điểm OD => MI là đường trung bình tam giác SOD 

và MI//SO 

IC là hình chiếu của MC lên mặt phẳng (ABCD).

Góc giữa MC với (ABCD) là $\widehat{MCI}$

Tam giác ABD đều 

Xét tam giác OCI vuông tại O:

Xét tam giác CMI vuông tại I:

Chọn đáp án B.

Ta có: 

Vì AB = BC = a, 

Gọi M là trung điểm BC.

Do đó: 

Gọi H là hình chiếu của A lên SM.

Do đó: 

Xét tam giác SAM vuông tại A:

Vậy 

Chọn đáp án D.

Ta có A'A = A'B = A'C nên hình chiếu của A' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Do tam giác ABC đều nên trọng tâm G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

AG là hình chiếu của A'A lên mặt phẳng (ABC)

Góc giữa A'A  với mặt phẳng (ABC) là: $\widehat{A\text{'}AG}$

Gọi H là trung điểm BC.

Ta có: 

Xét tam giác A'AG vuông tại G:

Diện tích tam giác đều ABC là:

Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là: 

Chọn đáp án C.

Ta có:  Vì mặt cầu tiếp xúc với 2 đường tròn của hình trụ.

Nên bán kính mặt cầu bằng $\frac{OO\text{'}}{2}$ = r

Thể tích của khối cầu là 

Thể tích của khối trụ là 

Khi đó $\frac{V_C}{V_T}$ = $\frac{2}{3}$

Chọn đáp án C.

Gọi P là trung điểm cạnh A'D' khi đó BD//NP.

Khi đó góc giữa 

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương cạnh a nên 

Suy ra 

Do đó tam giác MNP đều 

Chọn đáp án D.

Ta có: 

Kẻ 

Kẻ 

Xét tam giác SHI  vuông tại H:

Xét tam giác SHB vuông tại B: 

Chọn đáp án C

Ta có: MN là đường trung bình tam giác ACD.

=> CD // MN CD // (MNG)

Mặt khác: 

Khi đó: Giao tuyến = = Gx // CD

Chọn đáp án C

Ta có: 

Diện tích tam giác OAB là: 

Thể tích khối chóp O.ABC là:

Chọn đáp án C

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACB’D’ cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.

Bán kính mặt cầu là:

Chọn đáp án A

Gọi H là trung điểm AB. ∆SAB đều 

Ta có: 

H là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD)

Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là $\widehat{SCH}$

Ta có: ∆SAB đều 

Xét tam giác SCH vuông tại H: 

Chọn đáp án C

Gọi O là trung điểm AB.

Do tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc (ABCD) nên

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Chọn a = 2.

Khi đó: 

Ta có mặt phẳng (ABCD) có vecto pháp tuyến là 

Mặt phẳng (GMN) có vecto pháp tuyến là 

Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD)

Ta có: 

Chọn đáp án B

Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh.

Chọn đáp án B

$\overrightarrow{BH} = -2\overrightarrow{CH}$ và H nằm giữa BC.

BH là hình chiếu của SB lên (ABC).

Góc giữa SB với (ABC) là: $\widehat{SBH}$ = $\alpha$

Diện tích tam giác đều ABC là: 

Thể tích khối chóp S.ABC là:

Tam giác SBH vuông tại H:

Chọn đáp án C

Ta có: 

SA là hình chiếu của SD lên mặt phẳng (SAB).

Góc giữa SD với mặt phẳng (SAB) là $\widehat{DSA}$

Ta có: 

Xét tam giác SAD vuông tại A:

Chọn đáp án C

HC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD).

Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là: $\widehat{SCH} = 45°$

Kẻ 

Kẻ

Ta có: 

Tam giác SHC vuông cân tại H vì 

Mặt khác: HI = AD = a

Xét tam giác SHI vuông tại H: 

Chọn đáp án B

Gọi M là trung điểm BB' 

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Ta có: D(0;a;0), A'(0;0;a), C(a;a;0), M(a;0;$\frac{a}{2}$)

Khi đó: 

Mặt phẳng (A’MD) đi qua điểm  và nhận làm vectơ pháp tuyến là:

Khi đó: 

Chọn đáp án D

Một điểm bất kì trên đường thẳng d1 với hai điểm phân biệt trên d2 hoặc cứ một điểm bất kì trên đường thẳng d2 với hai điểm phân biệt trên d1 tạo thành một tam giác.

Vậy tổng sổ tam giác thỏa mãn đề bài là 

Chọn đáp án B

Trong (ABCD), kẻ  Cx//BD => BD//(SCx)

Vì là nửa lục giác đều nên AB = BC = CD = a.

Và 

Mặt khác: 

Gọi 

Ta có: 

Trong (SAF), kẻ 

Tam giác AFE có: AE = 3a và 

Ta có: => tam giác SAF vuông cân tại A.

Vậy: 

Chọn đáp án D

Ta có BM là bán kính đường tròn (C).

Thể tích của khối nón đỉnh O đáy là (C) là:

Xét hàm số 

Ta có: 

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có thể tích khối nón đỉnh O đáy là (C) lớn nhất bằng 

Chọn đáp án A

Bán kính hình cầu đã cho là  

Khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng (P) là: