33 câu Dạng 2: Dãy số có giới hạn hữu hạn có đáp án

Hướng dẫn giải

Đặt  $u_n=\frac{n^2+n}{n^2+1}$, ta có thể nhận xét  $\lim \left(u_n-1\right)=\lim \left(\frac{n^2+n}{n^2+1}-1\right)=\lim \left(\frac{n-1}{n^2+1}\right)=0.$

Do đó $\lim u_n=1$. Ta được điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải

Đặt $u_n=\frac{3n-1}{2n+1},$ ta có nhận xét:

 $\lim \left(u_n-\frac{3}{2}\right)=\lim \left(\frac{3n-1}{2n+1}-\frac{3}{2}\right)=\lim \frac{-5}{2n+1}=0.$

hướng dẫn giải

a) Ta có  $\lim \left(\frac{-n^3}{n^3+1}-\left(-1\right)\right)=\lim \frac{1}{n^3+1}.$

xét dãy $u_n=\frac{1}{n^3+1}\Rightarrow \left|u_n\right|=\frac{1}{n^3+1}<\frac{1}{n^3}=v_n,\forall n$ và $\lim v_n=\lim \frac{1}{n^3}=0$

 nên $\lim \frac{1}{n^3+1}=0.$ 

Do đó  $\lim \left(\frac{-n^3}{n^3+1}\right)=-1.$

Ta được điều phải chứng minh.

b) Ta có  $\lim \left(\frac{n^2+3n+2}{2n^2+n}-\frac{1}{2}\right)=\lim \frac{5n+4}{2\left(2n^2+n\right)}.$

Xét dãy  $u_n=\frac{5n+4}{2\left(2n^2+n\right)}$

$\Rightarrow \left|u_n\right|=\frac{5n+4}{2\left(2n^2+n\right)}<\frac{5n+4}{4n^2}=\frac{5}{4n}+\frac{1}{n^2}=v_n,\forall n.$

Mà $\lim v_n=\lim \frac{5}{4n}+\lim \frac{1}{n^2}=0$ nên  $\lim \frac{3}{2\left(3n^2+n\right)}=0.$

Do đó  $\lim \left(\frac{n^2+3n+2}{2n^2+n}\right)=\frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Ta có  $\lim \left(\frac{{3.3}^n-\sin 3n}{3^n}-3\right)=\lim \left(\frac{-\sin 3n}{3^n}\right).$

Ta lại có $\frac{\left|\sin 3n\right|}{3^n}\le \frac{1}{3^n}={\left(\frac{1}{3}\right)}^n\forall n$ và $\lim {\left(\frac{1}{3}\right)}^n=0$, nên  $\lim \left(\frac{-\sin 3n}{3^n}\right)=0.$

Do đó $\lim \left(\frac{{3.3}^n-\sin 3n}{3^n}\right)=3.$ Ta được điều cần phải chứng minh.

hướng dẫn giải

a) $\lim \frac{-4n^2+n+2}{2n^2+n+1}=\lim \frac{n^2\left(-4+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}\right)}{n^2\left(2+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}$

 $=\lim \frac{-4+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}{2+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}.$

Mà

 $\lim \left(2+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)$

.$=\lim 2+lim\frac{1}{n}+\lim \frac{1}{n^2}=2+0+0=2\ne 0$

 $\begin{array}{l}\lim \left(-4+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}\right)=\lim \left(-4\right)+\lim \frac{1}{n}+\lim \frac{2}{n^2}\\ =-4+0+0=-4\end{array}$

Nên  $\lim \frac{-4n^2+n+2}{2n^2+n+1}=\frac{-4}{2}=-2.$

Chú ý: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực hiện phép chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của n và sử dụng kết quả $\lim \frac{a}{n^k}=0$ với  k>0

a)  $\lim \left(\sqrt{4n^2+2n}-2n\right)=\lim \frac{4n^2+2n-4n^2}{\sqrt{4n^2+2n}+2n}=\lim \frac{2n}{2n\left(\sqrt{1+\frac{1}{2n}}+1\right)}$

b)  $\lim \left(\sqrt{n^2+2n+3}-\sqrt[3]{n^2+n^3}\right)=\lim \left(\sqrt{n^2+2n+3}-n\right)+\lim \left(n-\sqrt[3]{n^2+n^3}\right).$

Mà

 $\lim \left(\sqrt{n^2+2n+3}-n\right)=\lim \frac{n^2+2n+3-n^2}{\sqrt{n^2+2n+3}+n}=\lim \frac{2+\frac{3}{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}+1}=\frac{2}{1+1}=1.$

 $\lim \left(n-\sqrt[3]{n^2+n^3}\right)=\lim \frac{n^3-\left(n^2+n^3\right)}{n^2+n.\sqrt[3]{n^2+n^3}+{\left(\sqrt[3]{n^2+n^3}\right)}^2}$

 $=\lim \frac{-1}{1+\sqrt[3]{\frac{1}{n}+1}+{\left(\sqrt[3]{\frac{1}{n}+1}\right)}^2}=\frac{-1}{1+1+1}=-\frac{1}{3}.$

Vậy  $\lim \left(\sqrt{n^2+2n+3}-\sqrt[3]{n^2+n^3}\right)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$

a)  $\lim \frac{3^n-{2.5}^n}{7+{3.5}^n}=\lim \frac{{\left(\frac{3}{5}\right)}^n-2}{7.{\left(\frac{1}{5}\right)}^n+3}=\frac{0-2}{7.0+3}=-\frac{2}{3}$

a) Do  $\frac{1}{\left(2k-1\right)\left(2k+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{2k+1-\left(2k-1\right)}{\left(2k-1\right)\left(2k+1\right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)$

Suy ra  $\lim \left(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\mathrm{...}+\frac{1}{\left(2k-1\right)\left(2k+1\right)}\right)$

$=\lim \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\mathrm{...}+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)=\lim \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{1}{2}.$

b) Ta có  $\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right)\mathrm{...}\left(1-\frac{1}{{\left(n-1\right)}^2}\right)\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$

 $=\frac{1}{2}.\frac{3}{2}.\frac{2}{3}.\frac{4}{3}.\frac{3}{4}.\frac{5}{4}\mathrm{...}\frac{n-2}{n-1}.\frac{n}{n-1}.\frac{n-1}{n}.\frac{n+1}{n}=\frac{n+1}{2n}.$

Suy ra $\lim \left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\mathrm{...}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim \frac{n+1}{2n}=\lim \frac{1+\frac{1}{n}}{2}=\frac{1}{2}.$

a) Xét dãy số  $\left(u_n\right):\frac{1}{3},\frac{1}{3^2},\mathrm{...},\frac{1}{3^n},\mathrm{...}$là một cấp số nhân có  $u_1=\frac{1}{3},q=\frac{1}{3}.$

Suy ra  $S=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{3^n}=\frac{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{3}}-1.$

Vậy $\lim S=\frac{1}{2}.$ 

b) Xét dãy số $\left(u_n\right):16;-8;4;-2;\mathrm{...}$là một cấp số nhân có  $u_1=16,q=-\frac{1}{2}.$

b)  $\beta =5,\mathrm{231231...}=5+0,231+0,000231+\mathrm{...}=5+\frac{231}{{10}^3}+\frac{231}{{10}^6}+\mathrm{...}$

$=5+\frac{\frac{231}{{10}^3}}{1-\frac{1}{{10}^3}}=5+\frac{231}{999}=\frac{1742}{333}.$

Hướng dẫn giải

Nhập vào máy tính biểu thức sau:

Sau đó bấm CALC.

Nhập $x=9999999999$, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Kết quả: Vậy giới hạn của dãy số bằng 1.

Hướng dẫn giải

Nhập vào máy tính biểu thức sau:

Sau đó bấm CACL.

Nhập: $x=9999999999$, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Kết quả: Vậy giới hạn của dãy số bằng $-1,25=-\frac{5}{4}.$

Ta có $\lim \frac{2n+1}{n+2}=\lim \frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}=\frac{2}{1}=2.$

Chọn đáp án A 

Ta có $\lim \frac{\sqrt{n^2+1}}{2n+3}=\lim \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}{2+\frac{3}{n}}=\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}.$

Chọn đáp án B

Ta có $\lim \left(\sqrt{9n^2+2n}-\sqrt[3]{8n^3+6n+1}-n\right)=\lim \left(\sqrt{9n^2+2n}-3n\right)-\lim \left(\sqrt[3]{8n^3+6n+1}-2n\right)=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}.$

Chọn đáp án C

Ta có $\frac{1}{k\sqrt{k+1}+\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\frac{k\sqrt{k+1}-\left(k+1\right)\sqrt{k}}{-k\left(k+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}.$ 

Suy ra $u_n=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\Rightarrow \lim u_n=1.$

 Chọn đáp án B

$\Rightarrow S=\frac{8}{9}\left[\left(10+100+\mathrm{...}+\underset{nsoá0}{\underbrace{\mathrm{100..00}}}\right)-n\right]\iff S=\frac{8}{9}\left[\frac{10.\left({10}^n-1\right)}{10-1}-n\right]=\frac{8}{9}\left(\frac{{10}^{n+1}-10}{9}-n\right)=\frac{8}{81}\left({10}^{n+1}-10-9n\right).$