33 câu Dạng 2: Dãy số có giới hạn hữu hạn có đáp án
33 câu hỏi
Chứng minh rằng limn2+nn2+1=1.
Hướng dẫn giải
Đặt un=n2+nn2+1, ta có thể nhận xét limun−1=limn2+nn2+1−1=limn−1n2+1=0.
Do đó limun=1. Ta được điều phải chứng minh.
Chứng minh rằng lim3n−12n+1=32.
Hướng dẫn giải
Đặt un=3n−12n+1, ta có nhận xét:
limun−32=lim3n−12n+1−32=lim−52n+1=0.
Do đó limun=32. Ta được điều phải chứng minh.
Chứng minh các giới hạn sau:
a) lim−n3n3+1=−1.
hướng dẫn giải
a) Ta có lim−n3n3+1−−1=lim1n3+1.
xét dãy un=1n3+1⇒un=1n3+1<1n3=vn,∀n và limvn=lim1n3=0
nên lim1n3+1=0.
Do đó lim−n3n3+1=−1.
Ta được điều phải chứng minh.
Chứng minh các giới hạn sau:
b, limn2+3n+22n2+n=12.
b) Ta có limn2+3n+22n2+n−12=lim5n+422n2+n.
Xét dãy un=5n+422n2+n
⇒un=5n+422n2+n<5n+44n2=54n+1n2=vn,∀n.
Mà limvn=lim54n+lim1n2=0 nên lim323n2+n=0.
Do đó limn2+3n+22n2+n=12.
Ta được điều phải chứng minh.
Chứng minh có giới hạn: lim3.3n−sin3n3n=3.
Hướng dẫn giải
Ta có lim3.3n−sin3n3n−3=lim−sin3n3n.
Ta lại có sin3n3n≤13n=13n∀n và lim13n=0, nên lim−sin3n3n=0.
Do đó lim3.3n−sin3n3n=3. Ta được điều cần phải chứng minh.
Tìm các giới hạn sau:
a, lim−4n2+n+22n2+n+1.
hướng dẫn giải
a) lim−4n2+n+22n2+n+1=limn2−4+1n+2n2n22+1n+1n2
=lim−4+1n+2n22+1n+1n2.
Mà
lim2+1n+1n2
.=lim2+lim1n+lim1n2=2+0+0=2≠0
lim−4+1n+2n2=lim−4+lim1n+lim2n2=−4+0+0=−4
Nên lim−4n2+n+22n2+n+1=−42=−2.
Chú ý: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực hiện phép chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của n và sử dụng kết quả limank=0 với k>0
Tìm các giới hạn sau: b, lim2n+123n2+2n−1n2+3n−1.
b) lim2n+123n2+2n−1n2+3n−1
=lim32n+12n2+2n−lim2n+12n2+3n−1.
Mà
lim32n+12n2+2n=lim32+1n21+2n=3.221=12.
lim2n+12n2+3n−1=2+1n21+3n−1n2=221=4.
Nên
lim2n+123n2+2n−1n2+3n−1=12−4=8.
Chú ý: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực hiện phép tách thành các giới hạn nhỏ.
Tìm các giới hạn sau:
a) lim9n2+2n−3n4n+3.
a, lim9n2+2n−3n4n+3=limn9+2n2−3n4n+3=lim9+2n2−34+3n=9+0−34+0=04=0.
Tìm các giới hạn sau: b, lim3n54+4n−22n54−3n.
b, lim3n54+4n−22n54−3n=lim3+4n4−2n542−3n4=3+0−02−0=32.
Tìm các giới hạn sau:
a) lim4n2+2n−2n.
a) lim4n2+2n−2n=lim4n2+2n−4n24n2+2n+2n=lim2n2n1+12n+1
=lim11+12n+1=11+0+1=12.
Tìm các giới hạn sau:b, limn2+2n+3−n2+n33.
b) limn2+2n+3−n2+n33=limn2+2n+3−n+limn−n2+n33.
Mà
limn2+2n+3−n=limn2+2n+3−n2n2+2n+3+n=lim2+3n1+2n+3n2+1=21+1=1.
limn−n2+n33=limn3−n2+n3n2+n.n2+n33+n2+n332
=lim−11+1n+13+1n+132=−11+1+1=−13.
Vậy limn2+2n+3−n2+n33=1−13=23.
Tìm các giới hạn sau:
a) lim3n−2.5n7+3.5n.
a) lim3n−2.5n7+3.5n=lim35n−27.15n+3=0−27.0+3=−23
Tìm các giới hạn sau: b, lim1+2+22+...+2n1+3+32+...+3n.
b,lim1+2+22+...+2n1+3+32+...+3n=lim2n+1−13n+1−12=lim2.23n+1−13n+11−13n+1=0.
Tìm các giới hạn sau:
a) lim11.3+13.5+...+12n−12n+1.
a) Do 12k−12k+1=12.2k+1−2k−12k−12k+1=1212k−1−12k+1
Suy ra lim11.3+13.5+...+12k−12k+1
=lim1211−13+13−15+...+12n−1−12n+1=lim121−12n+1=12.
Tìm các giới hạn sau: b, lim1−1221−132...1−1n2.
b) Ta có 1−1221−1321−142...1−1n−121−1n2
=12.32.23.43.34.54...n−2n−1.nn−1.n−1n.n+1n=n+12n.
Suy ra lim1−1221−132...1−1n2=limn+12n=lim1+1n2=12.
Tính các tổng sau:
a) S=13+132+...+13n+...
a) Xét dãy số un:13,132,...,13n,... là một cấp số nhân có u1=13,q=13.
Suy ra S=13+132+...+13n=1−13n+11−13−1.
Vậy limS=12.
Tính các tổng sau: b, S=16−8+4−2+...
b) Xét dãy số un:16;−8;4;−2;...là một cấp số nhân có u1=16,q=−12.
Suy ra S=16−8+4−2+... có limS=161+12=323.
Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: a, α=0,353535...
a) α=0,353535...=0,35+0,0035+...=35102+35104+...=351021−1102=3599.
Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: b, β=5,231231...
b) β=5,231231...=5+0,231+0,000231+...=5+231103+231106+...
=5+2311031−1103=5+231999=1742333.
Tính giới hạn sau: limn2+4nn2+4n+5.
Hướng dẫn giải
Nhập vào máy tính biểu thức sau:
Sau đó bấm CALC.
Nhập x=9999999999, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:
Kết quả: Vậy giới hạn của dãy số bằng 1.
Tính giới hạn sau lim4n2−5n−2n.
Hướng dẫn giải
Nhập vào máy tính biểu thức sau:
Sau đó bấm CACL.
Nhập: x=9999999999, sau đó bấm “=”, ta được kết quả:
Kết quả: Vậy giới hạn của dãy số bằng −1,25=−54.
Giới hạn lim2n+1n+2 bằng
2
32
-12
12
Ta có lim2n+1n+2=lim2+1n1+2n=21=2.
Chọn đáp án A
Giới hạn limn+1n2+2 bằng
2
12
0
16
Chọn đáp án C
Ta có limn+1n2+2=lim1n+1n21+2n2=01=0.
Giới hạn limn2+12n+3 bằng
0
12
23.
25.
Ta có limn2+12n+3=lim1+1n22+3n=12=12.
Chọn đáp án B
Giới hạn limn2+n3+13+nnnn2+1+3 bằng
12
13
23
1
Ta có limn2+n3+13+nnnn2+1+3=lim1+1n3+1n63+1n1+1n2+3n2=11=1.Chọn đáp án D
Giới hạn 9n2+2n−8n3+6n+13−n là
−16.
16.
13.
-13.
Ta có lim9n2+2n−8n3+6n+13−n=lim9n2+2n−3n−lim8n3+6n+13−2n=13−0=13.
Chọn đáp án C
Giới hạn limn−n2−12+n+n2−15n5 bằng
64
32
16
128
Chọn đáp án B
Ta có limn−n2−15+n+n2−15n5=lim1−1−1n25+1+1−1n251=25=32.
Giới hạn lim1−4n1+4n là
1
-1
0
-13
Ta có lim1−4n1+4n=lim14n−114n+1=−11=−1.Chọn đáp án B
Giới hạn lim4.3n+7n+12.5n+7n là
4
2
7
-6
Ta có: lim4.3n+7n+12.5n+7n=lim4.37n+72.57n+1=71=7.
Chọn đáp án C
Giới hạn lim12.4+14.6+...+12n2n+2 bằng
13
-12
2
14
Ta có
lim12.4+14.6+...+12n2n+2=lim1212−14+14−16+...+12n−12n+3=lim1212−12n+2=14.Chọn đáp án D
Giới hạn lim112+21+123+32+...+1nn+1+n+1n là
-2
1
32
-52
Ta có 1kk+1+k+1k=kk+1−k+1k−kk+1=1k−1k+1.
Suy ra un=11−1n+1⇒limun=1.
Chọn đáp án B
Tổng S=8+88+888+...+888...8⏟n chöõ soá 8 bằng
10n+1−10−36n.
10n+1+10+54n.
88110n+1−10−9n
18110n+1−10−72n.
Chọn đáp án C
Ta viết lại S=899+99+999+...+99...9⏟n soá 9=8910−1+100−1+...+100..0⏟n soá 0−1
⇒S=8910+100+...+100..00⏟n soá 0−n⇔S=8910.10n−110−1−n=8910n+1−109−n=88110n+1−10−9n.
Tổng S=5−5+1−15+15−... bằng
25−554.
25−534.
25+354.
5+354.
Ta có S=5−5+1−15+15−...=51+15=551+5=25−554.chọn đáp án A
