30 câu Trắc nghiệm Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn có đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm $-x^2-2x+3=x^2-m$

$\iff 2x^2+2x-m-3=0 \left(*\right)$

Để hai đồ thị hàm số có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (∗) có nghiệm

$\iff ∆=1-2\left(-m-3\right)\ge 0\iff m\ge -\frac{7}{2}$

Đáp án cần chọn là: D

Gọi $x_1, x_2$ là nghiệm của $x^2+px+q=0$

Gọi $x_3, x_4$ là nghiệm của $x^2+mx+n=0$

- Khi đó, theo vi-et: $x_1+x_2=-p; x_3+x_4=-m, x_3.x_4=n$

- Theo yêu cầu ta có:

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=x_3^3\\ x_2=x_4^3\end{array}\right.\Rightarrow x_1+x_2=x_3^3+x_4^3\iff x_1+x_2={(x_3+x_4)}^3-3x_3{x}_4(x_3+x_4)$

$\Rightarrow -p=-m^3+3mn\Rightarrow p=m^3-3mn$

Đáp án cần chọn là: C

c và d là nghiệm của phương trình: $x^2+ax+b$

Áp dụng Vi - et, ta có: $\left\{\begin{array}{c}c+d=-a\left(1\right)\\ cd=b\left(2\right)\end{array}\right.$

a, b là nghiệm của phương trình: $x^2+cx+d=0$

Áp dụng định lý Vi - et, ta có: $\left\{\begin{array}{c}a+b=-c\left(3\right)\\ ab=d\left(4\right)\end{array}\right.$

Từ (3), (4) và (1) suy ra: -a -b +ab = c + d = -a $\Rightarrow$ -b + ab = 0$\Rightarrow$ a =1

Từ (3), (4) và (2) suy ra: (a+b)ab = -cd = -b $\Rightarrow$ (a+b)a = -1$\Rightarrow$ b =-2 $\Rightarrow$d = -2, c= 1

$\Rightarrow$ a + b +c + d = -2

Đáp án cần chọn là: A

Ta có: $x^2-2a\left(x-1\right)-1=0\iff x^2-2ax+2a-1=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=2a-1\end{array}\right.\left(do 1+\left(-2a\right)+2a-1=0\right)$

Yêu cầu bài toán $x_1+x_2=x_1^2+x_2^2\Rightarrow x_1+x_2={(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2$

$\Rightarrow 2a=4a^2-4a+2\Rightarrow \left[\begin{array}{c}a=1\\ a=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: A

$\left|x_1^4-x_2^4\right|=\left|\left(x_1^2+x_2^2\right)\left(x_1^2-x_2^2\right)\right|=\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\right]\left|x_1-x_2\right|\left|x_1+x_2\right|$

Mà $\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2}=\sqrt{{(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2}$

$=\sqrt{{(2m+2)}^2-4(m^2+2)}=\sqrt{8m-4}$ (điều kiện $8m-4\ge 0\iff m\ge \frac{1}{2}$

Suy ra $\left|x_1^4-x_2^4\right|=\left[{(2m+2)}^2-2(m^2+2)\right]\sqrt{8m-4}\left|2m+2\right|$

$=(2m^2+8m)\sqrt{8m-4}\left|2m+2\right|$

Suy ra $\left|x_1^4-x_2^4\right|=16m^2+64m$

$\iff (2m^2+8m)\sqrt{8m-4}\left|2m+2\right|=16m^2+64m$

$\begin{array}{l}\iff (m^2+4m)(\sqrt{8m-4}\left|2m+2\right|-8)=0\\ \iff \left[\begin{array}{c}{m}^2+4m=0\left(1\right)\\ \sqrt{8m-4}\left|2m+2\right|=8\left(2\right)\end{array}\right.\end{array}$

Ta có (1) $\iff \left[\begin{array}{c}m=0\\ m=-4\end{array}\right.$(loại)

⇔ m = 1 (thỏa mãn (*)

Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Phương trình có hai nghiệm

$B=\sqrt{2(x_1^2+x_2^2)+16}-3x_1{x}_2$

$\begin{array}{l}=\sqrt{2{(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2+16}-3x_1{x}_2\\ =\sqrt{2{(2m+2)}^2-4(m^2+2)+16}-3(m^2+2)\\ =\sqrt{4m^2+16m+16}-3(m^2+2)\\ =2m+4-3(m^2+2)=-3m^2+2m-2\end{array}$

Xét hàm số $y=-3m^2+2m-2$ với $m\ge \frac{1}{2}$

Bảng biến thiên

Suy ra giá trị $\underset{m\ge \frac{1}{2}}{max}y=-\frac{7}{4}$ khi $m=\frac{1}{2}$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là $-\frac{7}{4}$ khi $m=\frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi:

 $∆={\left(m+1\right)}^2-m^2-2=2m-1\ge 0\iff m\ge \frac{1}{2}$

$x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Áp dụng định lý Vi - et, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m+1\right)\\ x_1.x_2=m^2+2\end{array}\right.$

Xét biểu thức: $A=x_1{x}_2-2(x_1+x_2)-6$

$=m^2+2-2\left(2m+2\right)-6=m^2-4m-8$

$\Rightarrow A={\left(m-2\right)}^2-12\ge -12$

Suy ra $min A=-12\iff m=2$

$m=2$ thỏa mãn (*)

Vậy với $m=2$ thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất.

Đáp án cần chọn là: A

Xét phương trình $x^2-2mx+1=0$

Ta có: $∆\text{'}=m^2-1$

Để phương trình có nghiệm khi $m^2-1\ge 0\iff \left[\begin{array}{c}m\ge 1\\ m\le -1\end{array}\right.$

Gọi $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2-2mx+1=0$.

Áp dụng định lý Vi - et, ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=2m\\ x_1.x_2=1\end{array}\right.$

Xét phương trình $x^2-2x+m=0$

Ta có: $∆\text{'}=1-m$

Để phương trình có nghiệm khi $1-m⩾0\iff m⩽1$

Gọi $x_3, x_4$ là nghiệm của phương trình $x^2-2x+m=0$. Áp dụng định lý Viet ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_3+x_4=2\\ x_3.x_4=m\end{array}\right.$

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1=\frac{1}{x^3}\\ x_2=\frac{1}{x_4}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x_4}\\ x_1.x_2=\frac{1}{x_3.x_4}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=\frac{x_3+x_4}{x_3.x_4}\\ x_1.x_2=\frac{1}{x_3.x_4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}2m=\frac{2}{m}\\ 1=\frac{1}{m}\end{array}\right.\iff m=1$(thỏa mãn)

Đáp án cần chọn là: C

Gọi $x_0$ là một nghiệm của phương trình $x^2-mx+2=0$

Suy ra 3 – x₀ là một nghiệm của phương trình $x^2+2x-m=0$.

Khi đó, ta có hệ

$\left\{\begin{array}{c}{x}_0^2-m{x}_0+2=0\\ {(3-x_0)}^2+2(3-x_0)-m=0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_0^2-m{x}_0+2=0\left(1\right)\\ m=x_0^2-8x_0+15\left(2\right)\end{array}\right.$

Thay (2) vào (1), ta được: $x_0^2-(x_0^2-8x_0+15)x_0+2=0\iff x_0^3+9x_0^2-15x_0+2=0\iff \left[\begin{array}{c}{x}_0=2\\ x_0=\frac{7\pm 3\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.$

Với $x_0=2$ thì m = 3

Với $x_0=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$ thì m = $\frac{21-3\sqrt{5}}{2}$

Với $x_0=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$ thì $m=\frac{21+3\sqrt{5}}{2}$

Do đó có ba giá trị của m

Đáp án cần chọn là: D

Giá trị x = -1 là nghiệm của bất phương trình $m-x^2<2$ khi và chỉ khi: m - 1 < 2$\iff$m < 3. Đáp án là B.