25 đề thi thử Toán THPT Quốc gia có lời giải chi tiết (Đề 3)
50 câu hỏi
Cho hàm số y=x−13. Khẳng định nào sau đây đúng?
Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận.
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng.
Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang và có một tiệm cận đứng.
Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng.
Tập xác định D=0;+∞.
Ta có: limx→0+x−13=+∞, limx→+∞x−13=0.
Đồ thị hàm số y=x−13 nhận Oy là tiệm cận đứng và nhận Ox là tiệm cận ngang
Cho số phức z=3+11i2. Tính z.
z=3
z=5
z=2
z=5
Chọn D
Cho hàm số y=fx là hàm bậc bốn trùng phương có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;3.
Hàm số đồng biến trên khoảng −2;2 .
Hàm số nghịch biến trên khoảng−∞;−2∪0;2 .
Hàm số đồng biến trên khoảng 4;+∞.
Chọn D
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:
Khẳng định nào sau đây sai?
Hàm số đồng biến trên khoảng −2;−1
Hàm số đồng biến trên khoảng 1;3.
Hàm số nghịch biến trên khoảng −1;1
Hàm số đồng biến trên khoảng 0;1.
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng −2;−1 và (1;3); nghịch biến trên khoảng −1;1.
Họ nguyên hàm của hàm số fx=1x+1 là
−1x+12+C
−lnx+1+C
−12lnx+12+C
lnx+1+C
Chọn D
Đường cong như hình vẽ bên là dạng đồ thị của hàm số nào dưới đây?
y=x4−2x2+1
y=−x+1x−22
y=x3−3x2+4
y=x−33
Loại A do đồ thị không phải dạng đồ thị hàm trùng phương.
Loại B do a<0.
Đồ thị hàm số có cực đại tại x=0 nên y'=0 có nghiệm x=0.
Ta có x−33=x3−9x2+27x−27 nên y=x−32 cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn 0 (loại đáp án D).
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x+11=y−23=z−2, véctơ nào dưới đây là véctơ chỉ phương của đường thẳng d?
u→=−1;−3;2
u→=1;3;2
u→=1;−3;−2
u→=−1;3;−2
d có véctơ chỉ phương là 1;3;−2.
Xét đáp án A, u→=−1;−3;2=−11;3;−2.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A cạnh AB=AC=a và thể tích bằng a36. Tính chiều cao h của hình chóp đã cho.
h=a2
h=a3
h=a
h=2a
Ta có: VS.ABC=13h.SΔABC=13h.12a2=a36⇒h=a.
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-1;3] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn −1;3 . Giá trị của 4M−m bằng
![Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-1;3] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/04/screenshot-54-1650511898.png)
3
5
10
4
Dựa vào đồ thị ta có max−1;3y=94⇔M=94min−1;3y=−1⇔m=−1⇒4M−m=9−−1=10.
Cho hàm số fx=−x3+3x2−2021. Giá trị của f'1bằng
- 2018
-3
0
3
Ta có fx=−x3+3x2−2018⇒f'x=−3x2+6x⇒f'1=3.
Biết ∫01xdxx+1=a+bln2 (vớia,b∈ℤ ). Giá trị a−2b bằng
0
1
2
3
∫01xdxx+1=∫011−1x+1dx=x−lnx+101=1−ln2⇒a=1;b=−1⇒a−2b=3
Cho tam giác ABC vuông tại A với AB=a;AC=2a quay xung quanh cạnh AB ta được một khối nón tròn xoay có đường kính l bằng bao nhiêu?
l=a3
l=3a
l=2a2
l=a5
Ta có: l=BC=AB2+AC2=a2+4a2=a5.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ:x−81=y−9−2=z−103. Mặt phẳng α vuông góc với Δ có một véctơ pháp tuyến là
b→=8;9;10
v→=1;2;−3
a→=−1;2;3
u→=−1;2;−3
Đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng α nên các véctơ pháp tuyến của mặt phẳng α có dạng n→=k1;−2;3,∀k≠0.
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=−x3+3x2−3 trên đoạn [1;3]. Khi đó M+m bằng
5
3
4
2
Xét hàm số fx=−x3+3x2−3 trên đoạn [1;3].
Ta có f'x=−3x2+6x;f'x=0⇔x=0∉1;3x=2∈1;3.
Bảng biến thiên của hàm số fx=−x3+3x2−3 trên đoạn
[1;3].
Gọi x1 và x2 là hai nghiệm trên đoạn[1;3].
(với x1<x2) của phương trình −x3+3x2−3=0.
Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số gx=−x3+3x2−3 trên đoạn [1;3].
Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số y=−x3+3x2−3 trên đoạn [1;3] bằng 3 và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=−x3+3x2−3 trên đoạn [1;3] bằng 0.
Do đó M=3,m=0⇒M+m=3.
Xác định số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) biết u9=5u2 và u13=2u6+5.
u1=3;d=4
u1=3;d=5
u1=4;d=5
u1=4;d=3
Xét hệ \u9=5u2u13=2u6+5⇔u1+8d=5u1+du1+12d=2u1+5d+5⇔4u1−3d=0u1−2d=−5⇔d=4u1=3.
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình sau:
Số nghiệm thực của phương trình 4f2x−16=0 là
2
4
6
3
Ta có: 4f2x−16=0⇔fx=2fx=−2.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y=2 cắt đồ thị hàm số ỳ(x) tại 2 điểm phân biệt và đường thẳng y=−2 cắt đồ thị hàm số y=fx tại 2 điểm phân biệt nên phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Biết SA vuông góc với mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD, BC bằng
a
2a
a22
a2
Vì BC // AD⇒BC // SAD
⇒dBC,SD=dBC,(SAD)=dB,(SAD).
Ta có: AB⊥SAAB⊥AD⇒AB⊥SAD⇒dB,(SAD)=BA=a.
Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình z2+2z+5=0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w=i2020−2z0?
M2;−1
M−1;2
M−5;0
M0;−5
Giải phương trình ta có: w=i2021−2z0=−5i.
Vậy điểm M0;−5 biểu diễn số phức w.
Cho hàm số fx=log2ex+πm thỏa mãn f'ln2=1ln2. Mệnh đề nào sau đây đúng?
m∈−1;1
m∈1;3
m∈0;2
m∈−2;−1
Ta có fx=log2ex+πm⇒f'x=exex+πmln2.
Vậy f'ln2=1ln2⇔22+πmln2=1ln2⇔m=0∈−1;1.
Trong không gian Oxyz, cho ΔABC biết A2;0;0,B0;2;0,C1;1;3. Hx0;y0;z0là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC. Khi đó x0+y0+z0 bằng
389
3411
3011
1134
Đường thẳng BC có véctơ chỉ phương là BC→=1;−1;3.
Nên phương trình đường thẳng BC: x=ty=2−tz=3tt∈ℝ.
Gọi Ht;2−t;3t∈BC.
Khi đó: AH→=t−2;2−t;3t.
Mà H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC nên
AH→⊥BC→⇔AH→.BC→=0⇔t−2−2+t+9t=0⇔t=411.
⇒H411;1811;1211⇒x0+y0+z0=3411.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị f’(x) như hình vẽ, biết rằng S2>S1. Khẳng định nào sau đây đúng?
fc>fb>fa
fb>fc>fa
fc>fa>fb
fb>fa>fc
Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’, biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng a6. Thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ là
3a328
3a3228
3a324
3a3216
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có A'AM⊥A'BC theo giao tuyến A'M.
Trong A'AM kẻ OH⊥A'M H∈M⇒OH⊥A'BC.
Suy ra: dO,(A'BC)=OH=a6;SΔABC=a234.
Ta có: ΔA'AM ΔOHM, suy ra OHA'A=OMA'M⇒a6A'A=13.a32A'A2+AM2
⇒1A'A=3A'A2+a322⇒A'A=a64.
Thể tích VABC.A'B'C'=SΔABC.A'A=a64.a234=3a3216.
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log4x=log9y=log6xy4+1. Giá trị của biểu thức P=xlog46+ylog96 bằng
2
5
4
6
Đặt log4x=log9y=log6xy4+1=t⇒x=4t,y=9t,xy=4.6t−4
⇒62t−4.6t+4=0⇒6t=2⇒t=log62.
Khi đó log4x+log9y=log6xy4+1=t=log62⇔x=4log62,y=9log62.
Do đó P=4log62log46+9log62log96=4log46log62+9log96log62=6log62+6log62=4.
Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 24π, diện tích toàn phần bằng 42π. Thể tích khối trụ là
V=36π
V=9π
V=18π
V=32π
Ta có Sxq=2πRh=24π và Stp=Sxq+2πR2=42π⇒R=3,h=4.
Vậy thể tích khối trụ trên là: V=πR2h=π.32.4=36π.
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z−2i=z¯+4 trong mặt phẳng Oy là
đường thẳng Δ:2x+y+3=0
đường thẳng Δ:x+y−3=0.
đường thẳng Δ:2x−y+3=0.
đường thẳng Δ:x+y+3=0
Gọi z=x+yi với x,y∈ℝ. Khi đó điểm Mx;y là điểm biểu diễn cho số phức z.
Ta có z−2i=z¯+4⇔x+yi−2i=x−yi+4
⇔x2+y−22=x+42+y2⇔8x+4y+12=0⇔2x+y+3=0.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng Δ:2x+y+3=0.
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên sau
Số nghiệm của phương trình fx−1=2 là
5
4
2
3
Từ bảng biến thiên của hàm số đã cho ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y=fx−1 như sau (trong đó x1,x2,x3 là các nghiệm của phương trình fx=0):
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình fx−1=2 có 5 nghiệm.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A2;2;1 và đường thẳng d1:x2=y−11=z−22,d2:x−31=y−22=z3 . Phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với d1và cắt d2 là
d:x−21=y−2−3=z−1−5
d:x−12=y3=z−2−4
d:x=2+ty=2z=1−tt∈ℝ
d:x−21=y−22=z−1−3
Trong khai triển 2x2+1xn , hệ số của x3 là 26Cn9. Tính n.
n=12
n=13
n=14
n=15
Ta có: 2x2+1xn=∑k=0nCnk2n−kx2n−3k⇒ak=Cnk2n−kx2n−3k.
Hệ số chứa x3 là 26Cn9⇒Cnk2n−k=26.Cn92n−3k=3⇒n=15.
Cho hàm số y=ex có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=ex,x=−1,x=k và S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=ex,x=k,x=1. Xác định k để S1=S2.
k=lne+1e−ln2
k=2lne−1e−1
k=2ln2−1
k=ln2
Ta có: ∫−1kexdx=∫k1exdx⇔ex−1e=e−ek⇔k=lne+1e−ln2.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M0;2;0 và đường thẳng d:x=4+3ty=2+tz=−1+t. Đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d có phương trình là
x−1=y−21=z2
x−11=y−1=z−2
x−11=y−11=z2
x−1=y1=z−12
Ta có: d đi qua N4;2;−1 và có véctơ chỉ phương ud→=3;1;1.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d
⇔MH⊥dH∈d⇔MH→.ud→=0H∈d⇔x=4+3ty=2+tz=−1+t3x+y−2+z=0⇒H1;1;−2.
Đường thẳng Δ đi qua M và vuông góc với d có véctơ chỉ phương là u→=−1. MH→=1;−1;−2.
Phương trình Δ:x−1=y−21=z2.
Phương trình 32x+2x3x+1−4.3x−5=0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm?
1
2
0
3
Ta có: 32x+2x3x+1−4.3x−5=0⇔32x−1+2x3x+1−4.3x+4=0
⇔3x−13x+1+2x−43x+1=0⇔3x+2x−53x+1=0⇔3x+2x−5=0.
Xét hàm số fx=3x+2x−5, ta có: f1=0 và f'x=3xln3+2>0;∀x∈ℝ. Do đó hàm số f(x) đồng biến trên R.
Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x=1.
Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R . Nếu ∫−11fx1+exdx=1010 thì ∫01fxdxbằng
4040
505
2020
1010
Do f(x) là hàm số chẵn nên f−x=fx và ∫−11fxdx=2∫01fxdx.
Xét I=∫−11fx1+exdx=1010. Đặt x=−t⇒dx=−dt.
Đổi cận: x=−1⇒t=1.
x=1⇒t=−1.
⇒I=∫−11fx1+exdx=∫1−1f−t1+e−t−dt=∫−11et.f−t1+etdt=∫−11et.ft1+etdt=∫−11ex.fx1+exdx
⇒∫−11fx1+exdx=∫−11ex.fx1+exdx=1010.
Khi đó: ∫−11fx1+exdx+∫−11ex.fx1+exdx=∫−11ex+1.fx1+exdx=∫−11fxdx=1010+1010=2020
⇒2∫01fxdx=2020⇒∫01fxdx=1010.
Cho hàm số fx=asinx+bcosx (với a,b∈ℝ;b>0), cóf'0=1 . Gọi hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số fx với các trục hoành, trục tung và đường thẳng x=π. Khi quay (H) quanh trục Ox thì ta được một vật thể tròn xoay có thể tích bằng 17π22. Khi đó giá trị biểu thức T=2021a+b10 thuộc khoảng nào sau đây?
210;310
310;410
410;510
72020;92020
Thể tích của vật thể là:
17π22=π∫0πasinx+bcosx2dx=π∫0πa2sin2x+b2cos2x+2absinxcosxdx
=π∫0πa21−cos2x2+b21+cos2x2+absin2xdx
=πa2x2−sin2x4+b2x2+sin2x4−ab2cos2x0π=a2+b2π22.
Suy ra có a2+b2=17.
Mặt khác f'x=acosx−bsinx⇒1=f'0=a⇒a=1⇒b=4.
Ta được T=2020+410.
Cho hai số phức z, w thỏa mãn z+2w=3, 2z+3w=6 và z+4w=7 Tính giá trị của biểu thứcP=z.w¯+z¯.w .
P=−14i
P=−28i
P=−14
P=−28
Ta có: z+2w=3⇔z+2w2=9⇔z+2w.z+2w¯=9⇔z+2wz¯+2w¯=9
⇔z.z¯+2z.w¯+z¯.w+4w.w¯=9⇔z2+2P+4w2=9 (1).
Tương tự:
2z+3w=6⇔2z+3w2=36⇔2z+3w2z¯+3w¯=36⇔4z2+6P+9w2=36 (2).
z+4w=7⇔z+4wz¯+4w¯=49⇔z2+4P+16w2=49 (3).
Giải hệ phương trình gồm (1), (2), (3) ta có: z2=33P=−28w2=8⇒P=−28.
Cho hàm số fx=ax4+bx2+c có đồ thị như hình vẽ. Số các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số gx=2020xfxfx−m có tổng số 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là
4
3
3
2
: Ta có g(x) là hàm phân thức hữu tỉ với bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu nên limx→±∞gx=0, do đó đồ thị hàm số g(x) luôn có một tiệm cận ngang là y=0.
Phương trình fx=0⇔x=x1∈−2;−1x=x2∈−1;0x=x3∈0;1x=x4∈1;2.
Ta thấy phương trình fx=0 có 4 nghiệm phân biệt đều khác 0 nên x=x1,x=x2,x=x3,x=x4 là 4 tiệm cận đứng đồ thị hàm số g(x).
Vậy để đồ thị hàm số g(x) có đúng 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng thì phương trình fx=m phải có đúng 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác với 4 nghiệm xi (i=1,4¯) ⇔−32<m<2m≠0 mà m∈ℤ nên m∈−1;1.
Cho hàm số y=fx, y=gx. Hai hàm số y=f'xvà y=g'x có đồ thị như hình sau. Trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số .
Hàm số hx=fx−gxnghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
−∞;−115
−135;−1310
−910;−25
110;36
Ta có: h'x=f'x−g'x. Với x∈−910;−25, ta có:
Đồ thị y=f'x nằm hoàn toàn phía dưới đồ thị y=g'x nên h'x<0, ∀x∈−910;−25.
Nên hàm số h(x) nghịch biến trên khoảng −910;−25.
Cho m=logaab với a,b>1 và P=1010loga2b+2020logba. Khi đó giá trị của m để P đạt giá trị nhỏ nhất là
1
2
4
5
Ta có P=1010loga2b+2020logba=1010loga2b+2020logab.
Đặt t=logab. Khi đó P=1010t2+2020t.
Vì a,b>1 nên t=logab>0. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
P=1010t2+2020t=1010t2+1010t+1010t≥3101033=3030.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1010t2=1010t⇒t=1.
Ta có m=logaab=12logaab=121+logab=121+t=121+1=1.
Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm A1;1;1,B2;0;2,C−1;−1;0, D0;3;4. Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' thỏa mãn ABAB'+ACAC'+ADA=4. Phương trình mặt phẳng biết tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất là phương trình nào sau đây?
16x+40y−44z+39=0
16x+40y+44z−39=0
16x−40y−44z+39=0
16x−40y−44z−39=0
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 4=ABAB'+ACAC'+ADA≥3AB.AC.ADAB'.AC'.AD'3.
⇒AB'.AC'.AD'AB.AC.AD≥2764⇒VAB'C'D'VABCD=AB'.AC'.AD'AB.AC.AD≥2764⇒VAB'C'D'≥2764VABCD
Để VAB'C'D' nhỏ nhất khi và chỉ khi AB'AB=AC'AC=AAD=34⇒AB'→=34AB→⇒B'74;14;74B'C'D' // BCD.
Ta có CB→=3;1;2, CD→=1;4;4 suy ra mặt phẳng (BCD) có véctơ pháp tuyến là
n→=CB→;CD→=−4;−10;11.
Lúc đó mặt phẳng B'C'D' song song với mặt phẳng BCD và đi qua B'74;14;74
⇒B'C'D':16x+40y−44z+39=0.
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi paraboly=x2, cung tròn y=2x−x2 và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của hình H bằng
π2−13
π4−13
π4+13
π2+13
Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và cung tròn: x2=2x−x2⇔x=1x=0.
Khi đó: S=∫01x2dx+∫122x−x2dx=13+∫121−x−12dx.
Đặt x−1=sint,t∈−π2;π2⇒dx=costdt.
Đổi cận: x=1⇒t=0; x=2⇒t=π2.
Suy ra S=13+∫0π2cos2tdt=13+12∫0π21+cos2tdt=13+12t+12sin2t0π2=13+π4.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=a2,AC=a5 . Hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng ABC trùng với điểm của đoạn thẳng BC. Biết rằng góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAC) bằng 60°. Thể tích của khối chóp S.ABC là
5a3612
5a31012
a321024
a33012
Gọi H là trung điểm của BC, M là trung điểm của AC, P là trung điểm của AB, kẻ .
Ta có SAB∩SAC=SA, kẻ BE⊥SA và GH // BE, suy ra
(SAC),(SAB)^=GH,(SAC)^=HGI^=60°.
SH=hĐặt SA=h2+7a24, ta tính được SP=h2+5a24 và BE=2SSABSA=a2.h2+5a24h2+7a24.
Vậy HI=MH2.SH2MH2+SH2=a22hh2+a22
Tam giác GIH vuông tại I có
IHHG=sin60°⇒32.a22h2+5a24h2+7a24=ha22h2+a24⇒h4+7a24h2−15a48=0⇒h=2a34.
Vậy VSABC=16AB.AC.SH=a33012.
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'có thể tích bằng V. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BB',A'C'. Thể tích của khối tứ diện CMNP bằng
524V
14V
724V
13V
Gọi I là trung điểm AC⇒NP∩BI=J.
Lại có BP=12NI và BN // IP suy ra BN là đường trung bình tam giác PIJ. Suy ra B là trung điểm IJ.
Suy ra CM∩BI=G là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có: SJCMSBCM=JGBG mà JG=BJ+BG=BI+23BI=53BI
⇒SJCMSBCM=53BI23BI=52⇒SJCM=52SBCM⇒SJCM=54.SABC.
Ta có V1=VP.MJC=13hSJMC=512V; V2=VN.MJC=13.12hSJMC=13.h.58SABC=524V.
Vậy VP.CMN=V1−V2=524V.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S:x−12+y−22+z−32=9 và mặt phẳng P:2x−2y+z+3=0 . Gọi Ma;b;c là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nahát. Khẳng định nào sau đây đúng?
a+b+c=8
a+b+c=5
a+b+c=6
a+b+c=7
Mặt cầu (S) có tâm I1;2;3,R=3.
Ta có: dI,(P)=2.1−2.2+3+322+−22+12=43<R nên mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn.
Gọi Ma;b;c là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất thì điểm M thuộc đường thẳng∆ đi qua điểm I và vuông góc với(P).
Phương trình Δ:x=1+2ty=2−2tz=3+t. Thay vào mặt cầu (S) ta có: 2t2+−2t2+t2=9⇒9t2=9⇒t=±1.
Với t=1 ta có: M3;0;4⇒dM,(P)=2.3−2.0+4+322+−22+12=133.
Với t=-1 ta có: M−1;4;2⇒dM,(P)=2.−1−2.4+2+322+−22+12=53.
Vậy M3;0;4 nên a+b+c=7.
Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tham số a để hàm số y=|f(x)+a| có ba điểm cực trị.
1≤a≤3
x=-1 hoặc x= 3
a≤−1 hoặc a≥3
a≥-3 hoặc a≥1
Đồ thị hàm số y=f(x)+a là đồ thị y=f(x) tịnh tiến lên trên một đoạn thẳng bằng a khi a>0 tịnh tiến xuống dưới một đoạn bằng |a| khia<0.
Hơn nữa đồ thị y=|f(x)+a| là:
+) Phần đồ thị của y=f(x)+a nằm phía trên trục Ox.
+) Lấy đối xứng phần đồ thị của y=f(x)+a nằm dưới Ox qua Ox và bỏ đi phần đồ thị của y=f(x)+a nằm dưới Ox.
Vậy để đồ thị hàm số y=|f(x)+a| có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số y=f(x)+a xảy ra hai trường hợp:
+) Đồ thị hàm số y=f(x)+a có điểm cực tiểu nằm phía trên trục hoành hoặc thuộc trục hoành và cực đại dương. Khi đó a≥3.
+) Đồ thị hàm số y=f(x)+a có điểm cực đại nằm phía dưới trục hoành hoặc thuộc trục hoành và cực tiểu âm. Khi đó a≤−1.
Vậy giá trị a cần tìm là a≤−1 hoặc a≥3.
Giá trị nhỏ nhất của P=a2+b2 để hàm số fx=x4+ax3+bx2+ax+1 có đồ thị cắt trục hoành là
P=54
P=25
P=52
P=45
Xét phương trình: x4+ax3+bx2+ax+1=0⇒x+1x2+ax+1x+b−2=0 x≠0.
Đặt t=x+1x t≥2⇒t2+at+b−2=0 (*)
Xét đường thẳng Δ:tx+y+t2−2=0 t≥2 và đường tròn C:x2+y2=P có tâm O(0;0), bán kính R=P.
Để (*) có nghiệm thì Δ và ( C) tiếp xúc hoặc cắt nhau:
⇔dO,Δ≤R⇔t2−2t2+1≤P⇒P≥t2−22t2+1 t≥2; t2−22t2+1=u−32u u=t2+1≥5.
Xétfu=u−32u,u≥5⇒fu≥45⇒P≥45 khi u=5⇒x+1x=±2.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau, chia hết cho 4, nhỏ hơn 4567 và có chữ số hàng chục là chữ số lẻ?
170
171
172
173
Gọi m0 là số nguyên để phương trình log3x22020−m+xx2+m=2020x,
có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãnx12020+x22020=21011 . Với m0 đó giá trị của biểu thức P=lnx1+x22+2+lnx2+x12+2 thuộc vào khoảng nào dưới đây?
(-5;1)
1;5
2018;2020
2020;2025
Điều kiện: x≠0m<2020.
Phương trình có dạng: log3x2+x3=log32020−m+x2020−m
⇔log3x+log3x2+x3=log3x+log32020−m+x2020−m
⇔log3x3+x3=log3x2020−m+x2020−m (1).
Xét hàm số: ft=t+log3t trên D=0;+∞.
Vì f't=1+1tln3>0,∀t∈D nên hàm số f(x) đồng biến trên D.
Từ phương trình (1) ⇔fx3=fx2020−m
⇔x3=x2020−m⇒x2=2020−m⇔x=2020−mx=−2020−mm<2020 (2).
Mà x12020+x22020=21011⇔22020−m1010=21011⇒2020−m=2⇔m=2018.
Khi đó x1=2x2=−2.
Vậy P=lnx1+x22+2+lnx2+x12+2=ln2+2+ln−2+2=ln2≈0,693.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [-1;1] và thỏa mãn f(1) = 0,f'(x)2+4f(x)=8x2+16x−8 với mọi x thuộc
[-1;1]. Giá trị của ∫01fxdx bằng
−53
23
15
-13
Ta có:
f'(x)2+4fx=8x2+16x−8⇒∫−11f'x2dx+2∫−112fxdx=∫−118x2+16x−8dx (1).
Xét I=∫−112fxdx, đặt u=fxdv=2dx⇒du=f'xdxv=2x+2.
Do đó I=∫−112fxdx=2x+2fx−11−∫−112x+2f'xdx=−∫−112x+2f'xdx.
Từ (1) suy ra ∫−11f'x2dx+2∫−112fxdx=∫−118x2+16x−8dx
⇔∫−11f'x2dx−2∫−112x+2f'xdx+∫−112x+22dx=∫−1112x2+24x−4dx
⇔∫−11f'x−2x+22dx=0⇒f'x=2x+2⇒fx=x2+2x+C.
Vì f(1)=0 nên C=-3. Suy ra ∫01fxdx=∫01x2+2x−3dx=−53.
Cho hàm số bậc ba y=fx có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình fx3−3x=m+110−m có 10 nghiệm phân biệt?
9
5
Vô số.
6
Xét phương trình: fx3−3x=m+110−m (1).
Đặt t=x3−3x, ta có: t'=3x2−3, t'=0⇔x=±1.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có:
Ứng với mỗi giá trị t > 2 hoặc t< -2 thì phương trình x3−3x=t có một nghiệm x duy nhất.
Ứng với mỗi giá trị t = 2 hoặc t=-2 thì phương trình x3−3x=t có 2 nghiệm x.
Ứng với mỗi giá trị -2<t<2 thì phương trình x3−3x=t có 3 nghiệm x.
Phương trình (1) trở thành ft=m+110−m với .
Từ đồ thị hàm số y=f(x) ban đầu, ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y=|f(t)| như sau:
(trong đó f(a) >1),
Từ bảng biến thiên của hàm số y=|f(t)| để phương trình fx3−3x−m+110−m=0 có 10 nghiệm phân biệt thì phương trình ft=m+110−m có 6 nghiệm thỏa mãn t1<−2<t2<t3<2<t4<t5<t6.
Hay 0<m+110−m<1⇔−1<m<92. Do m∈ℤ nên m∈0;1;2;3;4.
Xét số phức z thỏa mãn 4z+i+3z−i=10 . Gọi P; p tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z|. Giá trị của bằng
5
6
18
2
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P:x+y−z+2=0 và các điểm A1;1;1,B2;3;1 . Mặt cầu (S) thay đổi qua A, B và tiếp xúc với (P) tại C. Biết rằng C luôn chạy trên một đường tròn cố định. Diện tích S đường tròn đó bằng
5π
10π
20π
126π
