22 bài tập Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn có lời giải

Lời giải

Gọi \(x\) là tử số của phân số cần tìm với \(x \in \mathbb{Z}\) và \(x \ne - 2;x \ne 0;x \ne 4\). Ta lập được phương trình: \(\frac{{x - 3}}{{x + 2 - 6}} = \frac{{x + 2}}{x}\) hay \(\frac{{x - 3}}{{x - 4}} = \frac{{x + 2}}{x}\). Giải phương trình, ta tìm được \(x = 8\) (thoả mãn \(x \in \mathbb{Z}\) và \(x \ne - 2;x \ne 0;x \ne 4\)). Vậy phân số cần tìm là \(\frac{8}{{10}}\).

Lời giải

Gọi \(x\left( {{\rm{\;kg}}/{{\rm{m}}^3}} \right)\) là khối lượng riêng của kim loại \({\rm{B}}\) với \(x > 0\). Ta lập được phương trình: \(\frac{{45}}{x} = \frac{{149}}{{x + 6,24}}\). Giải phương trình, ta tìm được \(x = 2,7\) (thoả mãn \(x > 0\)). Vậy khối lượng riêng của kim loại \({\rm{B}}\) là \(2,7{\rm{\;kg}}/{{\rm{m}}^3}\).

Lời giải

Gọi \(x\) (nghìn đồng) là giá tiền mỗi kilôgam gạo mà bác Lan đã mua với \(x > 2\). Ta lập được phương trình: \(\frac{{480}}{x} = \frac{{15}}{{16}} \cdot \frac{{480}}{{x - 2}}\). Giải phương trình, ta tìm được \(x = 32\) (thoả mãn \(x > 2\)). Vậy giá tiền mỗi kilôgam gạo mà bác Lan đã mua là 32 nghìn đồng.

Lời giải

a) Gọi \(x\left( {{\rm{\;m}}} \right)\) là chiều dài của mảnh vườn với \(x > 10\). Khi đó, diện tích của mảnh vườn là \(10x\left( {{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}} \right)\). Diện tích của con đường thảm cỏ là:

\(2 \cdot 10 \cdot 1 + 2 \cdot \left( {x - 2} \right) \cdot 1 + 1 \cdot \left( {10 - 2} \right) = 2x + 24\left( {{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Theo giả thiết, ta có phương trình: \(\frac{{2x + 24}}{{10x}} = \frac{1}{3}\). Giải phương trình, ta tìm được \(x = 18\) (thoả mãn \(x > 10\)). Vậy chiều dài của mảnh vườn là \(18{\rm{\;m}}\).

b) 6000000 đồng.

Lời giải

Thời gian \(t\) (giây) \((t > 0)\) để vật chạm đất là nghiệm của phương trình:\(4,9{t^2} = 120\)

\({t^2} = 120:4,9\)

\(t \approx 5\) (giây)

Vậy sau khoảng 5 giây kể từ khi bắt đầu rơi thì vật này chạm mặt đất.

Lời giải

Gọi tốc độ của dòng nước là \(x{\rm{ }}\left( {km/h} \right)\), \(0 < x < 27\).

Khi đó, tốc độ của ca nô khi đi xuôi dòng là \(27 + x{\rm{ }}\left( {km/h} \right)\) và tốc độ của ca nô khi đi ngược dòng là \(27 - x{\rm{ }}\left( {km/h} \right)\).

Thời gian ca nô đi xuôi dòng quãng đường \(AB\) là \(\frac{{40}}{{27 + x}}{\rm{ }}\)(giờ).

Thời gian ca nô đi ngược dòng quãng đường \(AB\) là \(\frac{{40}}{{27 - x}}{\rm{ }}\)(giờ).

Theo bài, thời gian cả đi và về là 3 giờ nên ta có phương trình: \(\frac{{40}}{{27 + x}} + \frac{{40}}{{27 - x}} = 3\)

Giải phương trình \(\frac{{40}}{{27 + x}} + \frac{{40}}{{27 - x}} = 3\)

\( \Leftrightarrow \frac{{40\left( {27 - x} \right)}}{{\left( {27 + x} \right)\left( {27 - x} \right)}} + \frac{{40\left( {27 + x} \right)}}{{\left( {27 + x} \right)\left( {27 - x} \right)}} = \frac{{3\left( {27 - x} \right)\left( {27 + x} \right)}}{{\left( {27 - x} \right)\left( {27 + x} \right)}}\)

\( \Rightarrow 40\left( {27 - x} \right) + 40\left( {27 + x} \right) = 3\left( {27 + x} \right)\left( {27 - x} \right)\)\( \Leftrightarrow 1080 - 40x + 1080 + 40x = 2187 - 3{x^2}\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 27 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 9 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x + 3 = 0\) hoặc \(x - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow x = - 3\) hoặc \(x = 3\)

Do \(0 < x < 27\) nên \(x = 3\). Vậy tốc độ của dòng nước là \(3{\rm{ }}km/h\)

</></>

Lời giải

Với chi phí là 420 triệu đồng thì ta có \(C = 420\), tức là ta có phưuong trình \(\frac{{80p}}{{100 - p}} = 420\)

Giải phương trình \(\frac{{80p}}{{100 - p}} = 420\)\( \Leftrightarrow \frac{{80p}}{{100 - p}} = \frac{{420\left( {100 - p} \right)}}{{100 - p}}\)

\( \Rightarrow 80p = 42000 - 420p\)\( \Leftrightarrow 500p = 42000\)\( \Leftrightarrow p = 84{\rm{ }}\left( {TM} \right)\)

Vậy với chi phí là 420 triệu đồng thì doanh nghiệp loại bỏ được 84% chất gây ô nhiễm trong khí thải.

Lời giải

Gọi giá tiền của mỗi chiếc áo mà bạn Hoa đã mua là \(x\) (nghìn đồng), \(x > 30\).

Giá tiền của chiếc áo sau khi giảm giá 30 nghìn đồng/chiếc là \(x - 30\)(nghìn đồng).

Số chiếc áo bạn Hoa dự định mua là \(\frac{{600}}{x}\) (chiếc). Số chiếc áo bạn Hoa đã mua thực tế là \(\frac{{600}}{{x - 30}}\) (chiếc).

Theo bài, thực tết bạn Hoa đã mua được số lượng áo gấp 1,25 lần so với số lượng dự định nên ta có phương trình: \(\frac{{600}}{{x - 30}} = 1,25.\frac{{600}}{x}\).

Giải phương trình \(\frac{{600}}{{x - 30}} = 1,25.\frac{{600}}{x}\)\( \Leftrightarrow \frac{{600x}}{{x\left( {x - 30} \right)}} = \frac{{1,25.600.\left( {x - 30} \right)}}{{x\left( {x - 30} \right)}}\)

\( \Rightarrow 600x = 1,25.600.\left( {x - 30} \right)\)\( \Leftrightarrow - 150x = - 22500\)\( \Leftrightarrow x = 150{\rm{ }}\left( {TM} \right)\)

Vậy giá tiền của mỗi chiếc áo mà bạn Hoa đã mua là 150 nghìn đồng.

Lời giải

Nửa chu vi của mảng đất hình chữ nhật là 52 : 2 = 26 (m).

Gọi chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là \(x\left( m \right),{\rm{ }}x < 13\). Khi đó, chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là \[26--x{\rm{ }}\left( m \right).\]

Chiều rộng của vườn rau là \[x--1--1{\rm{ }} = x--2{\rm{ }}\left( m \right).\] Chiều dài của vườn rau là \[26--x--1--1 = 24--x{\rm{ }}\left( m \right).\]

Diện tích của vườn rau là \[\left( {x--2} \right)\left( {24--x} \right){\rm{ }}\left( {{m^2}} \right).\]

Theo bài, vườn rau có dạng hình chữ nhật với diện tích là \(112{m^2}\) nên ta có phương trình: \[\left( {x--2} \right)\left( {24--x} \right) = 112\]

Giải phương trình: \[\left( {x--2} \right)\left( {24--x} \right) = 112\]

\[ \Leftrightarrow 24x--{x^2}--48 + 2x--112 = 0\]\[ \Leftrightarrow {x^2}--26x + 160 = 0\]\( \Leftrightarrow {x^2} - 10x - 16x + 160 = 0\)

\[ \Leftrightarrow x\left( {x--10} \right)--16\left( {x--10} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow \left( {x--10} \right)\left( {x--16} \right) = 0\]\( \Leftrightarrow x - 10 = 0\) hoặc \(x - 16 = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 10\) hoặc \(x = 16\)

Do \(x < 13\) nên \(x = 10\). Vậy mảnh đất có chiều rộng là 10 m và chiều dài là \[26--10 = 16{\rm{ }}m.\]

</></>

Lời giải

Gọi tốc độ của xe đạp là \[x\left( {km/h} \right),{\rm{ }}x > 0\].

Thời gian xe đạp đi quãng đường từ \(A\) đến \(B\) là \(\frac{{60}}{x}\)(giờ). Tốc độ của xe máy là \(3x\left( {km/h} \right)\).

Thời gian xe máy đi quãng đường từ \(A\) đến \(B\) là \(\frac{{60}}{{3x}} = \frac{{20}}{x}\)(giờ).

Đổi 1 giờ 40 phút = \(\frac{5}{3}\) giờ. Vì xe máy xuất phát sau xe đáp 1 giờ 40 phút và đến sớm hơn xe đạp 1 giờ nên ta có phương trình:

\(\frac{{60}}{x} - \frac{{20}}{x} = \frac{5}{3} + 1\)

\(\frac{{40}}{x} = \frac{8}{3}\)

\(\frac{{40.3}}{{3x}} = \frac{{8x}}{{3x}}\)

Vậy \(x = 15\)

Ta thấy \(x = 15\) thoả mãn điều kiện \(x > 0\). Vậy tốc độ của xe đạp là \(15{\rm{ }}km/h\); tốc độ của xe máy là \(45{\rm{ }}km/h\)

Lời giải

Gọi số công nhân dự định tham gia lúc đầu là \(x\) (người), \(x \in {\mathbb{N}^*}\).

Số tiền thưởng dự định mỗi công nhân nhận được là \(\frac{{12{\rm{ }}600{\rm{ }}000}}{x}\) (đồng).

Số công nhận thực tế tham gia là \(80\% x = 0,8x\) (người).

Số tiền thưởng thực tế mỗi công nhân nhận được là \(\frac{{12{\rm{ }}600{\rm{ }}000}}{{0,8x}} = \frac{{15{\rm{ }}750{\rm{ }}000}}{x}\) (đồng).

Vì thực tế mỗi người tham gia hội thảo được nhận thêm 105 000 đồng nên ta có phương trình:

\(\frac{{15{\rm{ }}750{\rm{ }}000}}{x} - \frac{{12{\rm{ }}600{\rm{ }}000}}{{0,8x}} = 105{\rm{ 000}}\)\(\frac{{3{\rm{ }}150{\rm{ }}000}}{x} = \frac{{105{\rm{ }}000x}}{x}\)

=>\(3{\rm{ }}150{\rm{ }}000 = 10{\rm{ }}5000x\)\(x = 30\)(thoả mãn điều kiện)

Vậy số công nhân dự định tham gia lúc đầu là 30 người.

Lời giải

Chiều dài của phần đất làm nhà là: \(14 - \left( {x + 2} \right) = 12 - x\left( m \right)\). Điều kiện \(x < 12\). Chiều rộng của phần đất làm nhà là: \(12 - x\left( m \right)\).

Diện tích đất làm nhà là: \({(12 - x)^2}\left( {{m^2}} \right)\).Theo bài, diện tích đất làm nhà là \(100{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) nên ta có phương trình: \({(12 - x)^2} = 100.\left( {\rm{*}} \right)\)

Giải phương trình \(\left( * \right)\)

\({(12 - x)^2} = 100 \Leftrightarrow {(12 - x)^2} - {10^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {12 - x - 10} \right)\left( {12 - x + 10} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( {22 - x} \right) = 0\)

Suy ra \(2 - x = 0\) hoặc \(22 - x = 0\). Do đó \(x = 2\) hoặc \(x = 22\). Ta thấy \(x = 2\) thỏa mãn điều kiện \(x < 12\).Vậy \(x = 2\).

</></>

Lời giải

a) Do x là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (đơn vị tính là giờ, x \( > 0\) ) nên khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 1 giờ là \(\frac{1}{x}\) (công việc).

Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 8 giờ nên khối lượng công việc mà hai người làm được trong 1 giờ là \(\frac{1}{8}\) (công việc).

Khi đó, khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ là \(\frac{1}{8} - \frac{1}{x}\) (công việc).

b) Hai người cùng làm trong 4 giờ được khối lượng công việc là \(4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}\) (công việc).

Người thứ hai tiếp tục làm việc trong 12 giờ được khối lượng công việc là \(12 \cdot \left( {\frac{1}{8} - \frac{1}{x}} \right) = \frac{3}{2} - \frac{{12}}{x}\) (công việc).

Theo bài, ta có phương trình: \(\frac{1}{2} + \left( {\frac{3}{2} - \frac{{12}}{x}} \right) = 1\). (*)

Giải phương trình (*):\(\frac{1}{2} + \left( {\frac{3}{2} - \frac{{12}}{x}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{{12}}{x} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{2} - \frac{{12}}{x} = 1 \Leftrightarrow 2 - 1 = \frac{{12}}{x} \Leftrightarrow 1 = \frac{{12}}{x}\)

Suy ra \(x = 12\). Giá trị \(x = 12\) thỏa mãn điều kiện \(x > 0\).Khi đó, khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ là \(\frac{1}{8} - \frac{1}{{12}} = \frac{3}{{24}} - \frac{2}{{24}} = \frac{1}{{24}}\) (công việc).

Vậy nếu làm một mình, để hoàn thành công việc thì người thứ nhất cần 12 giờ và người thứ hai cần 24 giờ.