22 bài tập Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn có lời giải
22 câu hỏi
Một người đi xe đạp từ A đến \(B\) cách nhau 60 km. Sau đó 1 giờ, trên cùng quãng đường đó, một xe máy cũng đi từ A đến B và đến B sớm hơn xe đạp 2 giờ. Tính tốc độ của mỗi xe, biết rằng tốc độ của xe máy gấp 4 lần tốc độ của xe đạp.
Lời giải
Gọi \(x(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})\) là tốc độ của xe đạp \(({\rm{x}} > 0)\).
Tốc độ của xe máy là \(4{\rm{x}}({\rm{km}}/{\rm{h}})\).
Thời gian xe đạp đi từ A đến B là \(\frac{{60}}{{\rm{x}}}\) (giờ).
Thời gian xe máy đi từ A đến B là \(\frac{{60}}{{4{\rm{x}}}}\) (giờ).
Ta có phương trình: \(\frac{{60}}{x} - \frac{{60}}{{4x}} = 3\)
\(60 \cdot 4 - 60 = 3 \cdot 4x\)
\(12x = 180\)
\(x = 15\)(thoả mãn).
Vậy tốc độ của xe đạp là \(15\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\), tốc độ của xe máy là \(60\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\).
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số 9 đơn vị. Nếu thêm tử số 1 đơn vị và thêm mẫu số 2 đơn vị thì được phân số mới bằng \(\frac{1}{3}\). Tìm phân số đã cho.
Lời giải
Gọi \(x\) là tử số của phân số đã cho ( \(x \in \mathbb{Z}\) và \(x \ne - 9\) ).
Mẫu số của phân số là \(x + 9\).
Nếu thêm tử số 1 đơn vị và thêm mẫu số 2 đơn vị ta có phương trình:\(\frac{{x + 1}}{{x + 11}} = \frac{1}{3}\)
Giải phương trình, ta được \(x = 4\) (thoả mãn).
Vậy tử số là 4, mẫu số là \(4 + 9 = 13\). Phân số phải tìm là \(\frac{4}{{13}}\).
Một vòi nước chảy vào một bể không có nước. Cùng lúc đó một vòi khác chảy từ bể ra mỗi giờ lượng nước chảy ra bằng \(\frac{4}{5}\) lượng nước chảy vào. Sau 5 giờ nước trong bể đạt \(\frac{1}{8}\) dung tích bể. Hỏi nếu bể không có nước mà chỉ mở vòi chảy vào thì sau bao lâu đầy bể?
Lời giải
Gọi \(x\) (giờ) là thời gian vòi chảy vào đầy bể \((x > 0)\).
Trong 1 giờ vòi chảy được \(\frac{1}{x}\) bể.
Lượng nước chảy ra trong 1 giờ là \(\frac{4}{{5{\rm{x}}}}\) bể.
Ta có phương trình: \(5.\left( {\frac{1}{{\rm{x}}} - \frac{4}{{5{\rm{x}}}}} \right) = \frac{1}{8}\).
Giải phương trình, ta được \(x = 8\) (thoả mãn).
Vậy nếu bể không có nước mà chỉ mở vòi chảy vào thì sẽ đầy bể trong 8 giờ.
Một nhóm thợ đóng giày dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày. Nhưng do cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày đã vượt mức 6 đôi giày, do đó chẳng những nhóm thợ đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vượt mức 104 đôi giày. Tính số đôi giày nhóm thợ phải làm theo kế hoạch.
Lời giải
Gọi \(x\) là số đôi giày mà nhóm thợ đóng được mỗi ngày theo kế hoạch \(\left( {{\rm{x}} \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Số đôi giày đóng được theo kế hoạch là \(26x\) (đôi giày).
Số đôi giày mỗi ngày đóng được thực tế là \(x + 6\) (đôi giày).
Tổng số đôi giãy đóng được thực tế \(26x + 104\) (đôi giày).
Vìnhóm thợ hoàn thành công việc trong 24 ngày nên ta có phương trình:\(\frac{{26x + 104}}{{x + 6}} = 24\)
Giải phương trình, ta được \({\rm{x}} = 20\) (thoả mãn).
Vậy số đôi giày phải đóng theo kế hoạch là \(26.20 = 520\) (đôi giày).
Một người dự định đi bằng ô tô trên quãng đường AB dài 120 km trong một thời gian nhất định. Nửa quãng đường đầu xe đi vào đường cao tốc với tốc độ hơn dự định
\(15\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\). Sau khi ra khỏi đường cao tốc, trên nửa quãng đường còn lại, xe đi với tốc độ chậm hơn dự định \(10\;{\rm{km}}/{\rm{h}}\). Biết ô tô đến đúng giờ dự định. Tính thời gian dự định đi quãng đường AB của người đó.
Lời giải
Gọi \(x({\rm{km}}/{\rm{h}})\) là tốc độ ô tô dự định đi quãng đường \({\rm{AB}}({\rm{x}} > 0)\).
Xe đi nửa quãng đường đầu với tốc độ là \(x + 15(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})\).
Xe đi nửa quãng đường sau với tốc độ là \(x - 10(\;{\rm{km}}/{\rm{h}})\).
Theo đề ra ta có phương trình: \(\frac{{120}}{x} = \frac{{60}}{{x + 15}} + \frac{{60}}{{x - 10}}\).
Giải phương trình, ta được \(x = 60\) (thoả mãn).
Vậy thời gian dự định đi quãng đường AB là \(120:60 = 2\) (giờ).
Một khu đất có dạng hình chữ nhật với chiều dài hơn chiều rộng \(16{\rm{\;m}}\). Trên khu đất đó, người ta làm một mảnh vườn trồng hoa có dạng hình thoi \(ABCD\) với đường chéo \(AC\) bằng chiều rộng của khu đất và đường chéo \(BD\) bằng chiều dài của khu đất (Hình 1). Tính chiều dài của khu đất, Hinh 1 biết diện tích của phần đất còn lại là \(96{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).
Lời giải
Gọi \(x\left( {{\rm{\;m}}} \right)\) là chiều dài của khu đất với \(x > 16\). Khi đó, chiều rộng của khu đất là \(x - 16\left( {{\rm{\;m}}} \right)\) và mảnh vườn trồng hoa có \(AC = x - 16\left( {{\rm{\;m}}} \right)\) và \(BD = x\left( {{\rm{\;m}}} \right)\).
Do đó, diện tích của khu đất là: \(\left( {x - 16} \right)x\left( {{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}} \right)\) và diện tích của mảnh vườn trồng hoa là: \(\frac{1}{2}\left( {x - 16} \right)x\left( {{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}} \right)\). Vì diện tích của phần đất còn lại là \(96{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) nên ta có phương trình: \(\left( {x - 16} \right)x - \frac{1}{2}\left( {x - 16} \right)x = 96\) hay \(\frac{1}{2}\left( {x - 16} \right)x = 96\). Tức là, \({x^2} - 16x - 192 = 0\).
Giải phương trình:
\({x^2} - 16x - 192 = 0\)
\(\left( {{x^2} - 16x + 64} \right) - 256 = 0\)
\({(x - 8)^2} - {16^2} = 0\)
\(\left( {x - 24} \right)\left( {x + 8} \right) = 0\)
\[x = 24\] hoặc \(x\)\( = - 8\)
Do \(x > 16\) nên \(x = 24\). Vậy chiều dài của khu đất là \(24{\rm{\;m}}\).
Một công nhân dự định làm 14 sản phẩm trong thời gian đã định. Nhưng trên thực tế công ty đã giao 21 sản phẩm nên để hoàn thành đúng thời gian đã định, người đó phải làm mỗi giờ thêm 3 sản phẩm. Tính năng suất dự định của công nhân đó.
Lời giải
Gọi \(x\) (sản phẩm/giờ) là năng suất dự định của người công nhân đó với \(x \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\). Khi đó, năng suất thực tế của người đó là \(x + 3\) (sản phẩgiờ).
Theo giả thiết, ta có phương trình: \(\frac{{14}}{x} = \frac{{21}}{{x + 3}}\).
Giải phương trình:
\[\begin{array}{*{20}{r}}{\frac{{14}}{x}}&{\; = \frac{{21}}{{x + 3}}}\\{\frac{{14\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)}}}&{\; = \frac{{21x}}{{x\left( {x + 3} \right)}}}\\{14\left( {x + 3} \right)}&{\; = 21x}\\{14x + 42}&{\; = 21x}\\{7x}&{\; = 42}\\x&{\left. { = 6{\rm{ }}\;{\rm{ (tho}}a{\rm{ }}\;{\rm{ m }}\widetilde {\rm{a}}{\rm{ n }}\;{\rm{ }}x \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right).}\end{array}\]
Vậy năng suất dự định của người công nhân đó là 6 sản phẩm/giờ.
Một ô tô đi quãng đường \(AB\) dài \(61,5{\rm{\;km}}\). Sau khi đi được \(30{\rm{\;km}}\) với tốc độ không đổi, ô tô đi tiếp quãng đường còn lại với tốc độ tăng thêm \(2{\rm{\;km}}/{\rm{h}}\). Tính tốc độ ban đầu của ô tô, biết thời gian ô tô đi trên \(30{\rm{\;km}}\) đầu bằng thời gian ô tô đi trên \(31,5{\rm{\;km}}\) còn lại.
Lời giải
Gọi \(x\left( {{\rm{\;km}}/{\rm{h}}} \right)\) là tốc độ ban đầu của ô tô với \(x > 0\). Ta lập được phương trình: \(\frac{{30}}{x} = \frac{{31,5}}{{x + 2}}\). Giải phương trình, ta tìm được \(x = 40\) (thoả mãn \(x > 0\)). Vậy tốc độ ban đầu của ô tô là \(40{\rm{\;km}}/{\rm{h}}\).
Một ca nô đi xuôi đòng từ địa điểm \(A\) đến địa điểm \(B\), rồi lại đi ngược dòng từ địa điểm \(B\) trở về địa điểm \(A\). Thời gian ca nô đi xuôi dòng và thời gian ca nô đi ngược dòng chênh lệch nhau 40 phút. Tính tốc độ của ca nô khi nước yên lặng. Biết rằng độ dài quãng đường \(AB\) là \(24{\rm{\;km}}\), tốc độ của dòng nước là \(3{\rm{\;km}}/{\rm{h}}\) và tốc độ của ca nô khi nước yên lặng không đổi trên suốt quãng đường.
Lời giải
Gọi \(x\left( {{\rm{\;km}}/{\rm{h}}} \right)\) là tốc độ của ca nô khi nước yên lặng với \(x > 3\). Ta lập được phương trình: \(\frac{{24}}{{x - 3}} - \frac{{24}}{{x + 3}} = \frac{2}{3}\). Giải phương trình, ta tìm được \(x = 15\) (thoả mãn \(x > 3\)) hoặc \(x = - 15\) (không thoả mãn \(x > 3\)). Vậy tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là \(15{\rm{\;km}}/{\rm{h}}\).
Cho một phân số có mẫu số lớn hơn tử số là 2. Nếu bớt tử số đi 3 đơn vị và bớt mẫu số đi 6 đơn vị thì ta được một phân số mơi bằng phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Lời giải
Gọi \(x\) là tử số của phân số cần tìm với \(x \in \mathbb{Z}\) và \(x \ne - 2;x \ne 0;x \ne 4\). Ta lập được phương trình: \(\frac{{x - 3}}{{x + 2 - 6}} = \frac{{x + 2}}{x}\) hay \(\frac{{x - 3}}{{x - 4}} = \frac{{x + 2}}{x}\). Giải phương trình, ta tìm được \(x = 8\) (thoả mãn \(x \in \mathbb{Z}\) và \(x \ne - 2;x \ne 0;x \ne 4\)). Vậy phân số cần tìm là \(\frac{8}{{10}}\).
Biết khối lượng riêng của kim loại \({\rm{A}}\) lớn hơn khối lượng riêng của kim loại \({\rm{B}}\) là \(6,24{\rm{\;kg}}/{{\rm{m}}^3}\). Thể tích của \(45{\rm{\;kg}}\) kim loại \({\rm{B}}\) bằng thể tích của \(149{\rm{\;kg}}\) kim loại \({\rm{A}}\). Tính khối lượng riêng của kim loại \({\rm{B}}\).
Lời giải
Gọi \(x\left( {{\rm{\;kg}}/{{\rm{m}}^3}} \right)\) là khối lượng riêng của kim loại \({\rm{B}}\) với \(x > 0\). Ta lập được phương trình: \(\frac{{45}}{x} = \frac{{149}}{{x + 6,24}}\). Giải phương trình, ta tìm được \(x = 2,7\) (thoả mãn \(x > 0\)). Vậy khối lượng riêng của kim loại \({\rm{B}}\) là \(2,7{\rm{\;kg}}/{{\rm{m}}^3}\).
Bác Lan dự định dùng hết số tiền 480 nghìn đồng để mua gạo nếp gói bánh chưng nhân dịp tết Nguyên đán. Khi đến cửa hàng, loại gạo mà bác Lan dự định mua đã tăng 2 nghìn đồng \(/{\rm{kg}}\). Do vậy, bác Lan đã mua lượng gạo giảm \(\frac{1}{{16}}\) lần so với dự định. Tính giá tiền mỗi kilôgam gạo mà bác Lan đã mua.
Lời giải
Gọi \(x\) (nghìn đồng) là giá tiền mỗi kilôgam gạo mà bác Lan đã mua với \(x > 2\). Ta lập được phương trình: \(\frac{{480}}{x} = \frac{{15}}{{16}} \cdot \frac{{480}}{{x - 2}}\). Giải phương trình, ta tìm được \(x = 32\) (thoả mãn \(x > 2\)). Vậy giá tiền mỗi kilôgam gạo mà bác Lan đã mua là 32 nghìn đồng.
Một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật với chiều rộng là \(10{\rm{\;m}}\). Chủ vườn đã làm con đường thảm cỏ (phần tô màu xám) với các kích thước như Hinh 2.
a) Tính chiều dài của mảnh vườn, biết tỉ số giữa diện tích của con đường thảm cỏ và diện tích của mảnh vườn là \(\frac{1}{3}\).
b) Biết rằng chi phí để hoàn thành mỗi mét vuông của con đường thảm cỏ là 100000 đồng. Tính số tiền mà chủ vườn đã chi để làm con đường thảm cỏ đó.
Hinh 2
Lời giải
a) Gọi \(x\left( {{\rm{\;m}}} \right)\) là chiều dài của mảnh vườn với \(x > 10\). Khi đó, diện tích của mảnh vườn là \(10x\left( {{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}} \right)\). Diện tích của con đường thảm cỏ là:
\(2 \cdot 10 \cdot 1 + 2 \cdot \left( {x - 2} \right) \cdot 1 + 1 \cdot \left( {10 - 2} \right) = 2x + 24\left( {{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Theo giả thiết, ta có phương trình: \(\frac{{2x + 24}}{{10x}} = \frac{1}{3}\). Giải phương trình, ta tìm được \(x = 18\) (thoả mãn \(x > 10\)). Vậy chiều dài của mảnh vườn là \(18{\rm{\;m}}\).
b) 6000000 đồng.
Một vật rơi tự do từ độ cao so với mặt đất là 120 mét. Bỏ qua sức cản không khí, quãng đường chuyển động \(s\) (mét) của vật rơi tự do sau thời gian \(t\) được biểu diễn gần đúng bởi công thức \(s = 4,9{t^2}\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây. Sau bao nhiêu giây kể từ khi bắt đầu rơi thì vật này chạm mặt đất (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị)?
Lời giải
Thời gian \(t\) (giây) \((t > 0)\) để vật chạm đất là nghiệm của phương trình:\(4,9{t^2} = 120\)
\({t^2} = 120:4,9\)
\(t \approx 5\) (giây)
Vậy sau khoảng 5 giây kể từ khi bắt đầu rơi thì vật này chạm mặt đất.
Một ca nô đi xuôi dòng từ địa điểm \(A\) đến địa điểm \(B\), rồi lại đi ngược dòng từ địa điểm \(B\) trở về địa điểm \(A\). Thời gian cả đi và về là 3 giờ. Tính tốc độ của dòng nước. Biết tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là 27km/h và độ dài quãng đường AB là 40km.
Lời giải
Gọi tốc độ của dòng nước là \(x{\rm{ }}\left( {km/h} \right)\), \(0 < x < 27\).
Khi đó, tốc độ của ca nô khi đi xuôi dòng là \(27 + x{\rm{ }}\left( {km/h} \right)\) và tốc độ của ca nô khi đi ngược dòng là \(27 - x{\rm{ }}\left( {km/h} \right)\).
Thời gian ca nô đi xuôi dòng quãng đường \(AB\) là \(\frac{{40}}{{27 + x}}{\rm{ }}\)(giờ).
Thời gian ca nô đi ngược dòng quãng đường \(AB\) là \(\frac{{40}}{{27 - x}}{\rm{ }}\)(giờ).
Theo bài, thời gian cả đi và về là 3 giờ nên ta có phương trình: \(\frac{{40}}{{27 + x}} + \frac{{40}}{{27 - x}} = 3\)
Giải phương trình \(\frac{{40}}{{27 + x}} + \frac{{40}}{{27 - x}} = 3\)
\( \Leftrightarrow \frac{{40\left( {27 - x} \right)}}{{\left( {27 + x} \right)\left( {27 - x} \right)}} + \frac{{40\left( {27 + x} \right)}}{{\left( {27 + x} \right)\left( {27 - x} \right)}} = \frac{{3\left( {27 - x} \right)\left( {27 + x} \right)}}{{\left( {27 - x} \right)\left( {27 + x} \right)}}\)
\( \Rightarrow 40\left( {27 - x} \right) + 40\left( {27 + x} \right) = 3\left( {27 + x} \right)\left( {27 - x} \right)\)\( \Leftrightarrow 1080 - 40x + 1080 + 40x = 2187 - 3{x^2}\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 27 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 9 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow x + 3 = 0\) hoặc \(x - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow x = - 3\) hoặc \(x = 3\)
Do \(0 < x < 27\) nên \(x = 3\). Vậy tốc độ của dòng nước là \(3{\rm{ }}km/h\)
</></>
Một doanh nghiệp sử dụng than để sản xuất sản phẩm. Doanh nghiệp đó lập kế hoạch tài chính cho việc loại bỏ chất ô nhiễm khí thải theo dự kiến sau: Để loại bỏ \(p\% \) chất ô nhiễm trong khí thải thì chi phí \(C\) (triệu đồng) được tính theo công thức: \(C = \frac{{80}}{{100 - p}}\) với \(0 \le p < 100\)(Nguồn: John W.Cell, Engineering Problems Illustrating Mathematics, MeGraw – Hill Book Company, Inc. New York and London, năm 1943)</> . Với chi phí là 420 triệu đồng thì doanh nghiệp loại bỏ được bao nhiêu phần trăm chất gây ô nhiễm trong khí thải (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Lời giải
Với chi phí là 420 triệu đồng thì ta có \(C = 420\), tức là ta có phưuong trình \(\frac{{80p}}{{100 - p}} = 420\)
Giải phương trình \(\frac{{80p}}{{100 - p}} = 420\)\( \Leftrightarrow \frac{{80p}}{{100 - p}} = \frac{{420\left( {100 - p} \right)}}{{100 - p}}\)
\( \Rightarrow 80p = 42000 - 420p\)\( \Leftrightarrow 500p = 42000\)\( \Leftrightarrow p = 84{\rm{ }}\left( {TM} \right)\)
Vậy với chi phí là 420 triệu đồng thì doanh nghiệp loại bỏ được 84% chất gây ô nhiễm trong khí thải.
Bạn Hoa dự định dùng hết số tiền 600 nghìn đồng để mua một số chiếc áo đồng giá tặng các bạn có hoàn cảnh khó khăn. Khi đến cửa hàng, loại áo mà bạn Hoa dự định mua được giảm giá 30 nghìn đồng/chiếc. Do vậy, bạn Hoa đã mua được số lượng áo gấp 1,25 lần so với số lượng dự định. Tính giá tiền của mỗi chiếc áo mà bạn Hoa đã mua.
Lời giải
Gọi giá tiền của mỗi chiếc áo mà bạn Hoa đã mua là \(x\) (nghìn đồng), \(x > 30\).
Giá tiền của chiếc áo sau khi giảm giá 30 nghìn đồng/chiếc là \(x - 30\)(nghìn đồng).
Số chiếc áo bạn Hoa dự định mua là \(\frac{{600}}{x}\) (chiếc). Số chiếc áo bạn Hoa đã mua thực tế là \(\frac{{600}}{{x - 30}}\) (chiếc).
Theo bài, thực tết bạn Hoa đã mua được số lượng áo gấp 1,25 lần so với số lượng dự định nên ta có phương trình: \(\frac{{600}}{{x - 30}} = 1,25.\frac{{600}}{x}\).
Giải phương trình \(\frac{{600}}{{x - 30}} = 1,25.\frac{{600}}{x}\)\( \Leftrightarrow \frac{{600x}}{{x\left( {x - 30} \right)}} = \frac{{1,25.600.\left( {x - 30} \right)}}{{x\left( {x - 30} \right)}}\)
\( \Rightarrow 600x = 1,25.600.\left( {x - 30} \right)\)\( \Leftrightarrow - 150x = - 22500\)\( \Leftrightarrow x = 150{\rm{ }}\left( {TM} \right)\)
Vậy giá tiền của mỗi chiếc áo mà bạn Hoa đã mua là 150 nghìn đồng.
Một mảnh đất có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng \(52m\). Trên mảnh đất đó, người ta làm một vườn rau có dạng hình chữ nhật với diện tích là \[112{\rm{ }}{m^2}\;\]và một lối đi xung quanh vườn rộng 1 m (Hình 2). Tính các kích thước của mảnh đất đó.
Lời giải
Nửa chu vi của mảng đất hình chữ nhật là 52 : 2 = 26 (m).
Gọi chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là \(x\left( m \right),{\rm{ }}x < 13\). Khi đó, chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là \[26--x{\rm{ }}\left( m \right).\]
Chiều rộng của vườn rau là \[x--1--1{\rm{ }} = x--2{\rm{ }}\left( m \right).\] Chiều dài của vườn rau là \[26--x--1--1 = 24--x{\rm{ }}\left( m \right).\]
Diện tích của vườn rau là \[\left( {x--2} \right)\left( {24--x} \right){\rm{ }}\left( {{m^2}} \right).\]
Theo bài, vườn rau có dạng hình chữ nhật với diện tích là \(112{m^2}\) nên ta có phương trình: \[\left( {x--2} \right)\left( {24--x} \right) = 112\]
Giải phương trình: \[\left( {x--2} \right)\left( {24--x} \right) = 112\]
\[ \Leftrightarrow 24x--{x^2}--48 + 2x--112 = 0\]\[ \Leftrightarrow {x^2}--26x + 160 = 0\]\( \Leftrightarrow {x^2} - 10x - 16x + 160 = 0\)
\[ \Leftrightarrow x\left( {x--10} \right)--16\left( {x--10} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow \left( {x--10} \right)\left( {x--16} \right) = 0\]\( \Leftrightarrow x - 10 = 0\) hoặc \(x - 16 = 0\)
\( \Leftrightarrow x = 10\) hoặc \(x = 16\)
Do \(x < 13\) nên \(x = 10\). Vậy mảnh đất có chiều rộng là 10 m và chiều dài là \[26--10 = 16{\rm{ }}m.\]
</></>
Một người đi xe đạp từ \(A\) đến \(B\) cách nhau 60 km. Sau 1 giờ 40 phút, trên cùng quãng đường đó, một xe máy đi từ \(A\) đến \(B\) và đến B sớm hơn xe đạp 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng tốc độ của xe máy gấp 3 lần tốc độ của xe đạp.
Lời giải
Gọi tốc độ của xe đạp là \[x\left( {km/h} \right),{\rm{ }}x > 0\].
Thời gian xe đạp đi quãng đường từ \(A\) đến \(B\) là \(\frac{{60}}{x}\)(giờ). Tốc độ của xe máy là \(3x\left( {km/h} \right)\).
Thời gian xe máy đi quãng đường từ \(A\) đến \(B\) là \(\frac{{60}}{{3x}} = \frac{{20}}{x}\)(giờ).
Đổi 1 giờ 40 phút = \(\frac{5}{3}\) giờ. Vì xe máy xuất phát sau xe đáp 1 giờ 40 phút và đến sớm hơn xe đạp 1 giờ nên ta có phương trình:
\(\frac{{60}}{x} - \frac{{20}}{x} = \frac{5}{3} + 1\)
\(\frac{{40}}{x} = \frac{8}{3}\)
\(\frac{{40.3}}{{3x}} = \frac{{8x}}{{3x}}\)
Vậy \(x = 15\)
Ta thấy \(x = 15\) thoả mãn điều kiện \(x > 0\). Vậy tốc độ của xe đạp là \(15{\rm{ }}km/h\); tốc độ của xe máy là \(45{\rm{ }}km/h\)
Một xí nghiệp dự định chia đều 12 600 000 đồng để thưởng cho các công nhân tham gia hội thao nhân ngày thành lập xí nghiệp. Khi đến ngày hội thao chỉ có 80% số công nhân tham gia, vì thế mỗi người tham gia hội thao được nhận thêm 105 000 đồng. Tính số công nhân dự định tham gia lúc đầu.
Lời giải
Gọi số công nhân dự định tham gia lúc đầu là \(x\) (người), \(x \in {\mathbb{N}^*}\).
Số tiền thưởng dự định mỗi công nhân nhận được là \(\frac{{12{\rm{ }}600{\rm{ }}000}}{x}\) (đồng).
Số công nhận thực tế tham gia là \(80\% x = 0,8x\) (người).
Số tiền thưởng thực tế mỗi công nhân nhận được là \(\frac{{12{\rm{ }}600{\rm{ }}000}}{{0,8x}} = \frac{{15{\rm{ }}750{\rm{ }}000}}{x}\) (đồng).
Vì thực tế mỗi người tham gia hội thảo được nhận thêm 105 000 đồng nên ta có phương trình:
\(\frac{{15{\rm{ }}750{\rm{ }}000}}{x} - \frac{{12{\rm{ }}600{\rm{ }}000}}{{0,8x}} = 105{\rm{ 000}}\)\(\frac{{3{\rm{ }}150{\rm{ }}000}}{x} = \frac{{105{\rm{ }}000x}}{x}\)
=>\(3{\rm{ }}150{\rm{ }}000 = 10{\rm{ }}5000x\)\(x = 30\)(thoả mãn điều kiện)
Vậy số công nhân dự định tham gia lúc đầu là 30 người.
Bác An có một mảnh đất hình chữ nhật với chiểu dài \(14\;{\rm{m}}\) và chiểu rộng \(12\;{\rm{m}}\). Bác dự định xây nhà trên mảnh đất đó và dành một phẩn diện tích đất để làm sân vườn như Hình 2.3. Biết diện tích đất làm nhà là \(100\;{{\rm{m}}^2}\). Hỏi \(x\) băng bao nhiêu mét?
Lời giải
Chiều dài của phần đất làm nhà là: \(14 - \left( {x + 2} \right) = 12 - x\left( m \right)\). Điều kiện \(x < 12\). Chiều rộng của phần đất làm nhà là: \(12 - x\left( m \right)\).
Diện tích đất làm nhà là: \({(12 - x)^2}\left( {{m^2}} \right)\).Theo bài, diện tích đất làm nhà là \(100{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) nên ta có phương trình: \({(12 - x)^2} = 100.\left( {\rm{*}} \right)\)
Giải phương trình \(\left( * \right)\)
\({(12 - x)^2} = 100 \Leftrightarrow {(12 - x)^2} - {10^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {12 - x - 10} \right)\left( {12 - x + 10} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( {22 - x} \right) = 0\)
Suy ra \(2 - x = 0\) hoặc \(22 - x = 0\). Do đó \(x = 2\) hoặc \(x = 22\). Ta thấy \(x = 2\) thỏa mãn điều kiện \(x < 12\).Vậy \(x = 2\).
</></>
Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 8 giờ. Hai người cùng làm được 4 giờ thì người thứ nhất bị điều đi làm công việc khác. Người thứ hai tiếp tục làm việc trong 12 giờ nữa thì xong công việc. Gọi \(x\) là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (đơn vị tính là giờ, \(x > 0\) ).
a) Hãy biểu thị theo \(x\) :
- Khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 1 giờ;
- Khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ.
b) Hãy lập phương trình theo \(x\) và giải phương trình đó. Sau đó cho biết, nếu làm một mình thì mổi người phải làm trong bao lâu mới xong công việc đó.
Lời giải
a) Do x là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (đơn vị tính là giờ, x \( > 0\) ) nên khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 1 giờ là \(\frac{1}{x}\) (công việc).
Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 8 giờ nên khối lượng công việc mà hai người làm được trong 1 giờ là \(\frac{1}{8}\) (công việc).
Khi đó, khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ là \(\frac{1}{8} - \frac{1}{x}\) (công việc).
b) Hai người cùng làm trong 4 giờ được khối lượng công việc là \(4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}\) (công việc).
Người thứ hai tiếp tục làm việc trong 12 giờ được khối lượng công việc là \(12 \cdot \left( {\frac{1}{8} - \frac{1}{x}} \right) = \frac{3}{2} - \frac{{12}}{x}\) (công việc).
Theo bài, ta có phương trình: \(\frac{1}{2} + \left( {\frac{3}{2} - \frac{{12}}{x}} \right) = 1\). (*)
Giải phương trình (*):\(\frac{1}{2} + \left( {\frac{3}{2} - \frac{{12}}{x}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{{12}}{x} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{2} - \frac{{12}}{x} = 1 \Leftrightarrow 2 - 1 = \frac{{12}}{x} \Leftrightarrow 1 = \frac{{12}}{x}\)
Suy ra \(x = 12\). Giá trị \(x = 12\) thỏa mãn điều kiện \(x > 0\).Khi đó, khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ là \(\frac{1}{8} - \frac{1}{{12}} = \frac{3}{{24}} - \frac{2}{{24}} = \frac{1}{{24}}\) (công việc).
Vậy nếu làm một mình, để hoàn thành công việc thì người thứ nhất cần 12 giờ và người thứ hai cần 24 giờ.
