213 câu Bài tập Tích phân cơ bản, nâng cao có lời giải (P7)

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn điều kiện: ${\int }_0^1{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^{2}dx = {\int }_0^1(x+1)e^{x}f\left(x\right)dx = \frac{e^x-1}{4}$ và f(1)=0 Tính giá trị tích phân

Tìm $\int x\cos 2x.dx$

Tính $I = {\int }_0^1{e}^{3x}dx$

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f\text{'}\left(x\right) = \frac{1}{2x-1}$ và f(1) = 1 Giá trị f(5) bằng:

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và $\sqrt{3x^2-2}$

Biết rằng ${\int }_1^2\ln (x+1)dx = a\ln 3+b\ln 2+c$  với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a+b+c

Cho F(x)  là một nguyên hàm của hàm số f(x) = |1+x| - |1-x| trên tập R và thỏa mãn F(1) = 3 Tính tổng T = F(0) + F(2) + F(-3)

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn f(2) = -2; ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx = 1$ Tính tích phân $I = {\int }_0^{4}f\text{'}\left(\sqrt{x}\right)dx$

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s = \frac{1}{2}\left(t^4 + 3t^2\right)$ (t: giây), s được tính bằng m. Vận tốc của chuyển động tại t = 4 (giây) là:

Biết ${\int }_0^{2}2x\ln (x+1)dx = a\ln b$ với $a,b\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ và b là số nguyên tố. Tính 6a+7b

Cho hàm số $f_1\left(x\right) = \sqrt{x-1}$, $f_2\left(x\right) = x$, $f_3\left(x\right) = \tan x$, $f_4\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-1}{x-1} khi x\ne 1\\ 2 khi x = 1\end{array}\right.$ Hỏi trong bốn hàm số trên, hàm số nào liên tục trên R

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn ${\int }_{-5}^{1}f\left(x\right)dx = 9$ Tính ${\int }_0^2\left[f(1-3x) + 9\right]dx$

Cho đồ thị hàm số $y = x^3$ và đường tròn (C) $x^2+y^2=2$ Tính diện tích hình phẳng được tô đậm trên hình?

Giả sử rằng $\int (x-2)\sin 3x dx = -\frac{(x-3)\cos 3x}{n}+\frac{\sin 3x}{p}+c$. Tính giá trị của m+n+p

Cho f  là một hàm số. Tìm số thực a>0 sao cho $\forall x>0$ ${\int }_a^x\frac{f\left(t\right)}{t^2}dt + 6 =2\sqrt{x}$

Cho f(x) là hàm liên tục và a>0. Giả sử rằng với mọi x thuộc [0;a] ta có f(x)>0 và f(x).f(a-x) = 1 Hãy tính $I = {\int }_0^a\frac{dx}{1+f\left(x\right)}$ theo a.

Hàm số $f\left(x\right) = {\int }_{e^x}^{e^{2x}}t\ln tdt$

Giả sử $S = a\ln \frac{b}{c}-1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{x+1}{x-2}$ với các trục tọa độ. Hỏi mệnh đề nào là đúng?

Cho (P) $y = x^2+1$ và đường thẳng d: mx-y+2=0. Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất:

Tìm giá trị của m để $\left(C_m\right): y = x^4 - (m^2+2)x^2+1$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi trục hoành phần phía trên trục hoành có diện tích bằng 96/15

Cho hàm số $y = (x^2+1)e^x$. Tính vi phân của y.

Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left\{\begin{array}{l}\left(P\right): y = x^2-6x+5\\ Ox: y = 0\end{array}\right.$ khi quay quanh trục Oy.

Cho hàm số $y = \frac{x^3}{3}\sin \left(3x+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$. Tính đạo hàm y’.

Xét hình chắn phía parabol (P) y = x², phía trên đường thẳng đi qua điểm A(1;4) và hệ số góc k. Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất.