213 câu Bài tập Tích phân cơ bản, nâng cao có lời giải (P5)

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = \sqrt{1-x^2}$ quanh trục Ox.

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right) = ax + \frac{b}{x^2}$,biết rằng F(-1) = 1; F(1) = 4; f(1) = 0

Tìm tất cả các giá trị thực dương của tham số m sao cho ${\int }_0^{m}x.e^{\sqrt{x^2+1}} = 2^{500}{e}^{\sqrt{m^2+1}}$.

Tính tích phân $I = {\int }_0^1\frac{x^n}{1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}+...+{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}}dx$,$n\in N^{*}$ ta được kết quả

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = x^2 + \frac{3}{x}-2\sqrt{x} (x>0)$.

Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = 4x^3-\frac{1}{x^2}+3x$ và thỏa mãn 5F(1) + F(2) = 43.Tính F(2).

Cho hàm số f(x) có nguyên hàm là F(x) trên đoạn [1;2], biết F(2)=1 và ${\int }_1^{2}F\left(x\right)dx = 5$. Tính $I = {\int }_1^2(x-1)f\left(x\right)dx$

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật (H) có một cạnh nằm trên trục hoành, và có hai đỉnh trên một đường chéo là A(-1;0) và $C(m;\sqrt{m})$, với m>0. Biết rằng đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ chia hình (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau, tìm m

Biết $I = {\int }_1^5\frac{\sqrt{2x-1}}{2x+3\sqrt{2x-1}+1}dx = a+b\ln 2+c\ln \frac{3}{5}$. Khi đó, giá trị $P = a^2-ab+2c$

Cho hàm số $f\left(x\right) = \tan x (2cotx- \sqrt{2}\cos x + {\cos }^{2}x)$ có nguyên hàm là F(x) và $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)= \frac{\mathrm{\pi }}{2}$ . Giả sử $F\left(x\right) = ax + \sqrt{b}\cos x - \frac{\cos cx}{2} -d$ . Chọn phát biểu đúng.

Tính tích phân $I = {\int }_1^{2^{1000}}\frac{\ln x}{{(x+1)}^2}dx$ , ta được kết quả

Tính tích phân $I = {\int }_0^1\frac{{\left(x-3\right)}^8}{{\left(2x+1\right)}^{10}}dx$ ta được

Cho vật thể H nằm giữa hai mặt phẳng x = 0; x = 1 . Biết rằng thiết diện của vật thể H cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x là một tam giác đều có cạnh là $\sqrt[4]{\ln (1+x)}$ . Giả sử thể tích V của vật thể có kết quả là $V =a\sqrt{b}(c\ln 2 - 1)$  với a, b, c là các số nguyên. Tính tổng $S = a^2-ab+c$

Cho hàm số f(x)  liên tục trên R và thỏa mãn $f\left(x\right) + f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}-x\right) = \frac{1}{3}\frac{\sin x}{\cos x (8{\cos }^{3}x +1)}$. Biết tích phân $I = {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}f\left(x\right)dx$ được biểu diễn dưới dạng $I = \frac{a}{b}\ln \frac{c}{d}$  và các phân số là các phân số tối giản. Tính $S = a^3+ab-c+d$

Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right) = \cos x\sqrt{\sin x + 1}$

Cho hàm số y = f(x)  liên tục trên R  và hàm số $y =g\left(x\right) = xf\left(x^2\right)$  có đồ thị trên đoạn [1;2]  như hình vẽ bên.

Biết phần diện tích miền được tô màu là S = 5/2 , tính tích phân $I = {\int }_1^{4}f\left(x\right)dx$

Giả sử hàm số y = f(x)  liên tục, nhận giá trị dương trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$  và thỏa mãn f(1) = 1; $f\left(x\right) = f\text{'}\left(x\right)\sqrt{3x+1}$. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề dưới đây

Cho hàm số y = f(x)  là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [-1;1]  và thỏa mãn ${\int }_0^{\frac{1}{2}}f\left(x\right)dx = 3$; ${\int }_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}f\left(2x\right)dx = 10$ . Tính ${\int }_{\frac{-\mathrm{\pi }}{2}}^0\cos f\left(\sin x\right) dx$

Cho a là số thực dương, tính tích phân $I = {\int }_{-1}^a\left|x\right|dx$ theo a

Biết  ${\int }_0^1\frac{x^2-2}{x+1}dx = \frac{-1}{m} + n\ln 2$, với m, n là các số nguyên. Tính m + n

Biết ${\int }_{-\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}\frac{{\cos }^{2}x}{1+3^{-x}}dx = m$. Tính giá trị của ${\int }_{-\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}\frac{{\cos }^{2}x}{1+3^x}dx$

Cho hàm số $y = f\left(x\right) = a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y= 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành xung quanh trục hoành Ox.

Cho hàm số $y = a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị (C) biết rằng (C) đi qua điểm A(-1;0) tiếp tuyến d tại A của (C) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x=0; x=2 có diện tích bằng  28/5     (phần gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x=-1; x = 0 có diện tích bằng: