200 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong không gian nâng cao (P8)

Chọn D

Gọi A (a;0;0), B (0;b;0), C (0;0;c), do A, B, C thuộc ba tia Ox, Oy, Oz nên a, b, c > 0.

Chọn B

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMN.

Ta áp dụng tính chất sau: “Cho tam giác OMN với I là tâm đường tròn nội tiếp, ta có  với a = MN, b = ON, c = OM. 

Ta có:

Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0.

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) nên mặt cầu có bán kính R = d (I, (Oxz)) = 1.

Vậy phương trình mặt cầu là x²+ (y-1)²+ (z-1)²=1.

Chọn A

Phương trình tham số của đường thẳng Δ₁ là 

Gọi I (x;y;z) là giao điểm của Δ₁ và (R).

Khi đó tọa độ của I là thỏa mãn: 

Mặt phẳng (R) có VTPT ; Đường thẳng Δ₁ có VTCP .

Đường thẳng Δ₂ nằm trong mặt phẳng (R) đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng Δ₁.

Do đó Δ₂ đi qua I = (0;0;1) và nhận  làm một VTCP.

Vậy phương trình của Δ₂ là 

Chọn B

Đặt A= (a;0;0), B= (0;b;0), C= (0;0;c) với a, b, c>0.

Khi đó phương trình mặt phẳng (α) là 

Vì (α) đi qua M (1;1;4) nên 

Thể tích của tứ diện OABC là 

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có 

Dấu bằng xảy ra khi a=b=3 ; c=12.

Vậy tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất bằng 

Chọn C

Phương trình tham số của . Gọi M = d ∩ (P).

Khi đó M ∈ d nên M (1+t;-t;2+t) ; M ∈ (P) nên 2(1 + t) – (- t) – 2 (2 + t) + 1 = 0 ó t = 1.

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại M (2;-1;3).

Gọi  lần lượt là vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Khi đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là .

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 

Chọn C

Phương trình tham số của đường thẳng Δ: 

Gọi tâm I ∈ Δ => I (3+2t;1-t;1-2t)

Vì mặt cầu (S) đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng (α₁) và (α₂) nên ta có

Do đó có vô số mặt cầu thỏa yêu cầu đề bài.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi OD = OE = 1

Chú ý: Sau khi chứng minh được OD=OE=1 thì ta có thể tìm trung điểm I của DE như sau:

Chọn A

Nhận thấy tam giác ABC đều có trọng tâm G (2;2;2), và OG ⊥ (ABC) nên hình chiếu của O lên (ABC) là điểm G

Vì OG và  cố định nên thể tích  nhỏ nhất khi và chỉ khi AM. AN nhỏ nhất.

Vì M, N, G thẳng hàng nên , suy ra . Đẳng thức xảy ra khi .

Khi đó mặt phẳng (P) đi qua O và nhận  là một vectơ pháp tuyến, do đó (P): x+y-2z=0.

Chọn B

Mặt cầu (S): (x-1)²+ (y-2)²+ (z-3)²=9 có tâm I (1;2;3), bán kính R=3.

IA = √6 < R nên A nằm trong mặt cầu.

Gọi r là bán kính đường tròn thiết diện, ta có 

Trong đó h là khoảng cách từ I đến (P).

Diện tích thiết diện là

Vậy diện tích hình tròn (C) đạt nhỏ nhất khi h = IA. Khi đó  là véc tơ pháp tuyến của (P).

Phương trình mặt phẳng (P) là 1 (x-0)+2 (y-0)+ (z-2)=0 ó x + 2y + z – 2 = 0

Chọn C

Phương trình mặt phẳng 

Ta thấy 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng (do D ∈ (ABC)).

Chọn 3 trong 5 điểm có 

Chọn 3 trong 4 điểm đồng phẳng A, B, C, D có

Vậy có 10 - 4 + 1 = 7 => mặt phẳng phân biệt đi qua 5 điểm đã cho.

Chọn D

Phương trình đường thẳng qua hai điểm A, O có dạng 

Gọi (P) là mặt phẳng cùng đi qua hai điểm A, O nên (P) : a(x-y)+bz=0, a²+b² > 0. Khi đó véctơ pháp tuyến của (P) có dạng $\overrightarrow{n}\left(a;-a;b\right)$

Ta có: $d\left(B;\left(P\right)\right)=\sqrt{3}\iff \frac{\left|a+2b\right|}{\sqrt{a^2+a^2+b^2}}=\sqrt{3}\iff 5a^2-4ab-b^2=0\iff \left[\begin{array}{c}\frac{a}{b}=1\Rightarrow a=b\\ \frac{a}{b}=-\frac{1}{5}\Rightarrow b=-5a\end{array}\right.$

Với a = b thì VTPT của một trong hai mặt phẳng là: $\overrightarrow{n}=\left(a;-a;a\right)=a\left(1;-1;1\right)$

Với b = -5a thì VTPT của một trong hai mặt phẳng là: $\overrightarrow{n}=\left(a;-a;-5a\right)=a\left(1;-1;-5\right)$

Chọn C

Giả sử B (0;b;0) và C (0;0;c), với b, c > 0.

Khi đó phương trình mặt phẳng (α) là:

Chọn B

Ta có VTCP của đường thẳng d là: $\overrightarrow{u_d}\left(2;1;3\right)$

VTPT của mặt phẳng (P) là: $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\left(1;-1;-1\right)$

Vì $\left\{\begin{array}{l}∆\perp d\\ ∆\perp \left(P\right)\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{u_{∆}}=\left[\overrightarrow{u_d};\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right]=\left(2;5;-3\right)$

Δ có vectơ chỉ phương   $\overrightarrow{u_{∆}}=\left(2;5;-3\right)$và đi qua A (1;1;-2) nên có phương trình:

Chọn A

Gọi I (a;b;c)

Ta có IA=IO=R ó hình chiếu của I lên OA là trung điểm  của OA.

Theo bài ra ta có:

Hình vuông ABCD có độ dài đường chéo bằng a√2 suy ra hình vuông đó có cạnh bằng a.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có A (0;0;0), B (a;0;0), C (a;a;0), S (0;0;a).

Chọn D

Mặt phẳng (P) có vec tơ pháp tuyến  và đường thẳng d có vec tơ chỉ phương  

Vì Δ song song với mặt phẳng (P) nên

Mặt khác ta có

Xét hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có max f(t) = f (0) = 5 suy ra  bé nhất khi m = 0 => n = 2. Do đó T = m²-n² = -4.

Làm theo cách này thì không cần đến dữ kiện: đường thẳng Δ đi qua E (-2;1;-2).

Vậy mặt phẳng (ABC) luôn tiếp xúc mặt cầu tâm O, bán kính R = 2.

Chọn B

Phương trình tham số của đường phân giác trong góc 

Gọi D là điểm đối xứng với M qua (d). Khi đó D ∈ AC => đường thẳng AC có một vectơ chỉ phương là .

Ta xác định điểm D.

Gọi K là giao điểm MD với (d). Ta có K (t;6-4t;6-3t); 

Chọn A

Mặt phẳng (P) song song và cách đều hai đường thẳng  và  nên:

 (P) có một véc tơ pháp tuyến là  suy ra (P):y-z+D=0

 Và d (A, (P))=d (B, (P)) ó |D| = |D – 1| => D = 1/2

Vậy (P): 2y-2z+1=0.

Chọn A

Thay tọa độ hai điểm A (3;1;0), B (-9;4;9) vào vế trái phương trình mặt phẳng (P), ta có

2. 3-1+0+1=6 > 0 và 2. (-9)-4+9+1 = -12 < 0.

Nên suy ra, hai điểm A, B nằm khác phía với mặt phẳng (P).

Gọi A'  là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P). Khi đó: 

+) Phương trình đường thẳng AA' nhận VTPT của mặt phẳng (P) là VTCP và đi qua điểm A(3;1;0) là:

$\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=1-t\\ z=t\end{array}\right.$

+) Gọi H(3+2t;1-t;t) là giao điểm của AA' và mặt phẳng (P). Khi đó tọa độ điểm H thỏa mãn:

2(3+2t) - (1-t) + t +1 =0

$$\begin{gathered} \iff 6+6t=0 \\ \iff t=-1 \\ \Rightarrow H\left(1; 2; -1\right) \end{gathered}$$

+) Vì H là trung điểm của AA' nên$\Rightarrow A\text{'}(-1; 3; -2)$

+) Xét $∆IA\text{'}B$ ta có: (bất đẳng thức trong tam giác)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A', B, I thẳng hàng và I nằm ngoài đoạn A'B. Suy ra I là giao điểm của đường thẳng A'B và mặt phẳng (P).

Ta có , nên suy ra phương trình đường thẳng A'B là .

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình

Vậy I (7;2;13) nên a+b+c=7+2+ (-13)=-4.

Mặt cầu (S) có tâm I (1;0;-2) và bán kính R=2.

Đường thẳng d đi qua điểm N (2; 0; m-1) và có véc tơ chỉ phương 

Điều kiện để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt là d (I; (d))<R

Khi đó, tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với IA và IB nên góc giữa chúng là góc (IA;IB).

Vậy T= {-3;0}. Tổng các phần tử của tập hợp T bằng -3.