200 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong không gian nâng cao (P7)

Chọn C

Gọi R là bán kính của mặt cầu, H là trung điểm của AB.

Chu vi tam giác IAB là

Mặt cầu (S) có tâm I (2; 5; 3), bán kính R = 5.

Phương trình mặt cầu (S) là: 

nên phương trình có nghiệm duy nhất R=5.

Chọn D

Đường thẳng d đi qua A nên d (B; d) ≤ BA, do đó khoảng cách từ B đến d lớn nhất khi , với  là vectơ chỉ phương của d.

Chọn B

Ta có d₁ đi qua điểm M (1;2;-3) và có vtcp 

Đường thẳng d₂ đi qua điểm N (4;3;1) và có vtcp 

nên hai đường thẳng đã cho luôn chéo nhau và

Chọn C

Ta có: $A{H}^2=B{H}^2+B{A}^2-2BH.BA.\cos 60°$

$$\begin{gathered} =\frac{a^2}{4}+a^2-2.\frac{a}{2}.a.\frac{1}{2}=\frac{3a^2}{4} \\ \Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

Ta có: $\widehat{\left(SA;\left(ABC\right)\right)}=\widehat{SAH}$

Xét $∆SAH$ vuông tại H, ta có: $\tan \widehat{SAH}=\frac{SH}{AH}\Rightarrow SH=\tan \widehat{SAH}.AH=\tan 60°.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{2}$

Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho

Chọn A

Mặt phẳng (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C nên A (a;0;0), B (0;b;0), C (0;0;c) (a, b, c>0).

Phương trình mặt phẳng

+ Mặt phẳng (P) qua M nên

+ Thể tích khối tứ diện OABC:

Thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất khi  suy ra a=3, b=3, c=6.

Vậy S = 0

Chọn C

Phương trình tham số của đường thẳng 

I ∈ d => I (1+t;2+2t;3+t)

I ∈ (α) => 1 + t + 2 + 2t – (3 + t) -2 = 0 ó t = 1 =>  I (2;4;4).

Đường thẳng cần tìm qua điểm I (2;4;4), nhận một VTCP là  nên có PTTS (*)

Kiểm tra , thấy A (5;2;5) thỏa mãn phương trình (*). Vậy chọn C.

Ta có: d ⊂ (α) nên d và ∆ song song với nhau và cùng nằm trong mặt phẳng (α). 

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó

Ta có mặt phẳng (ABCD) có vectơ pháp tuyến là , mặt phẳng (GMN) có vectơ pháp tuyến là

Gọi (α) là góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD), ta có

Gọi $\phi$ là góc giữa (GMN) và (ABCD)

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M và N lên (ABCD). Suy ra E, F lần lượt là trung điểm của HC, HD.

Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Mà d ⊥ (SIH) nên góc giữa góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD) là

Chọn B

Gọi A (0;0;a). Đường thẳng AB qua A và vuông góc với (α) có phương trình 

B là hình chiếu của A lên (α) nên tọa độ B thỏa mãn hệ

Tam giác MAB cân tại M nên

·Nếu a=-3 thì tọa độ A (0;0;-3) và B (0;0;-3) trùng nhau, loại.

·Nếu a=3 thì tọa độ A (0;0;3), B (3;0;0).

Diện tích tam giác MAB bằng 

Chọn C

IA²+IB² không đổi nên MA²+MB² đạt giá trị nhỏ nhất khi MI đạt giá trị nhỏ nhất.

Suy ra M là hình chiếu của I trên trục Oz.

Suy ra M (0;0;3).

Chọn A

Ta có:

 AB² = 10, BC² = 24, AC² = 14 => ∆ABC vuông tại A.

Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của BC => I (0;2;0).

Đường thẳng d cần tìm đi qua I (0;2;0) và nhận vectơ  làm véc tơ chỉ phương nên phương trình chính tắc của đường thẳng d là: $\frac{x}{3}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{5}$.

Ta nhận thấy điểm M(3;1;5) thuộc vào đường thẳng trên nên phương trình chính tắc của đường thẳng d còn có thể viết dưới dạng là

Chọn C

Ta có . Suy ra ABCD là hình bình hành.

Ta lại có 

 E. ABCD là hình chóp đáy là hình bình hành nên các mặt phẳng cách đều 5 điểm là

+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm của 4 cạnh bên.

+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của ED, EC, AD, BC.

+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của EC, EB, DC, AB.

+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của EA, EB, AD, BC.

+ Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của EA, ED, AB, DC.

Gọi I = d ∩ ∆. Do I ∈ ∆ nên I (2t + 1; t – 1; -t). Suy ra 

Suy ra , từ đó suy ra d có một vectơ chỉ phương là  và đi qua M (2;1; 0) nên có phương trình:

Cho ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau (P), (Q), (R) tại I. Hạ AH, AD, AE lần lượt vuông góc với ba mặt phẳng trên thì ta luôn có: IA²=AD²+AH²+AE².

Chứng minh:

Chọn hệ trục tọa độ với I (0;0;0), ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là ba giao tuyến của ba mặt phẳng (P), (Q), (R).

Khi đó A (a, b, c) thì IA²=a²+b²+c²=d² (A, (Iyz))+d² (A, (Ixz))+d² (A, (Ixy)) hay IA²=AD²+AH²+AE² #đpcm~.

Áp dụng:

Mặt cầu (S) có tâm I (1;-1;2) và có bán kính r=4 ; 

Gọi và r_i là tâm và bán kính của các đường tròn i = {1;2;3}

Ta có tổng diện tích các đường tròn là

Chọn D

Ta có x + my + (2m + 1)z – m – 2 = 0 ó m(y + 2z – 1) + x + z – 2 = 0 (*)

Phương trình (*) có nghiệm với

Suy ra (P) luôn đi qua đường thẳng cố định 

Đường thẳng d có VTCP

Đặt hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Khi đó, ta có A (0;0;0), B (a;0;0), D (0; a√3 ; 0), S (0;0;a).

Ta có , nên đường thẳng BD có vectơ chỉ phương là .

Như vậy, mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến là 

Do đó, α là góc tạo bởi giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SBC) thì

Chọn B

Gọi B (0;0;b) là giao điểm của đường thẳng d và trục Oz.

Vì đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên:

Phương trình tham số của d đi qua A(1;2;3) nhận $\overrightarrow{u}\left(1;2;1\right)$ làm VTCP là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+2t\\ z=3+t\end{array}\right.$

Mặt khác ta thấy điểm M(0;0;2) thuộc vào d nên phương trình tham số của d còn có thể viết dưới dạng $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2t\\ z=2+t\end{array}\right.$

Vậy quỹ tích M trên (Oxy) là hình Elip với

Chọn C

Gọi I là trung điểm của 

Ta có: 

IA²+IB² không đổi nên MA²+MB² đạt giá trị nhỏ nhất khi MI đạt giá trị nhỏ nhất.

=> M là hình chiếu của I trên trục Oz.

=> M (0;0;3).

Chọn D

Vì tâm I thuộc tia Ox nên I (m;0;0) với m>0.

Vì (S) chứa A và có bán kính bằng 7 nên: 

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: ${\left(x-7\right)}^2+y^2+z^2=49$

Chọn D

Đường thẳng d₁ đi qua điểm M₁ = (3;-1;-1) và có một véctơ chỉ phương là 

Đường thẳng d₂ đi qua điểm M₂ = (0;0;1) và có một véctơ chỉ phương là 

Do  và M₁ ∉ d₁ nên hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau.

Gọi (α) là mặt phẳng chứa d₁ và d₂ khi đó (α) có một véctơ pháp tuyến là . Phương trình mặt phẳng (α) là x+y+z-1=0.

Do  không cùng phương với  nên đường thẳng AB cắt hai đường thẳng d₁ và d₂.

Vậy có 1 đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng trên

Chọn B

Gọi đường thẳng cần tìm là Δ, A là giao của Δ và d.

Khi đó: A (2+3t;-3+2t;1+t), 

Do Δ vuông góc với d' nên: 

Khi đó , hay vectơ chỉ phương của Δ là (3;-1;0).

Vậy phương trình Δ: