200 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong không gian nâng cao (P6)

Chọn D

Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là , a²+b²+c²>0.

Phương trình mặt phẳng (P): a(x-4)+b (y-3)+c (z-4)=0.

Do (P) // Δ nên -3a+2b+2c=0 => 3a = 2 (b + c)

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên

Thay 3a=2 (c+b ) vào (*) ta được:

TH1: 2b-c=0, chọn b=1; c=2 => a = 2 => (P): 2x+y+2z-19=0 (thỏa).

TH2: b-2c=0, chọn c=1; b=2 => a = 2 => (P): 2x+2y+z-18=0 (loại do Δ ⊂ (P))

Chọn A

Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua M (2;2; -3) và song song với mặt phẳng (P).

Suy ra (Q):2x + y + z - 3 = 0.

Do Δ // (P) nên Δ ⊂ (Q).

d(N, Δ) đạt giá trị nhỏ nhất ó Δ đi qua N', với N' là hình chiếu của N lên (Q).

Gọi d là đường thẳng đi qua N và vuông góc (P), 

Ta có N’ ∈ d => N' (-4 + 2t; 2 + t; 1 + t); N’ ∈ (Q) => t = $\frac{4}{3}$

  cùng phương 

Do |a|, |b| nguyên tố cùng nhau nên chọn 

Vậy  |a| + |b| + |c| = 15.

Chọn C

Gọi (P) là mặt phẳng thỏa mãn bài toán.

Ta có A (1; 0; 0) ∈ (S) => nếu tồn tại (P) thì (P) tiếp xúc với (S) tại A.

Ta thấy B (0; 0 ; 2) ∈ (P)

Nên có duy nhất một mặt phẳng (P) thỏa mãn bài toán.

Ghi chú: Bài toán dạng này thường thì sẽ có hai mặt phẳng thỏa mãn, nhưng với số liệu của bài này thì chỉ có một mặt phẳng thỏa mãn bài toán.

Chọn D

Gọi G (2;2;-2) là trọng tâm tam giác ABC, khi đó 

Ta có:

đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên mặt phẳng (P). Khi đó tọa độ của M (a;b;c) và vecto  cùng phương với vecto pháp tuyến n (1;-2;2) thỏa mãn hệ 

Vậy a+b+c=3.

Chọn B

Ta có AB=3, AC=6. Gọi I (x; y; z) là điểm thuộc cạnh BC sao cho AI là phân giác trong của góc A

Phương trình mặt phẳng (Oxy) là: z=0.

Giao điểm của đường thẳng AI với mặt phẳng (Oxy) là M (2; 7/3; 0)

Vậy 3b-a=5.

Chọn B

VTPT của ($\alpha$),($\beta$),(P) lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$=(3; -7; 1) , $\overrightarrow{n_2}$=(1; -9; -2), $\overrightarrow{n}$=(5; m ; 4)

Gọi $∆=\left(\alpha \right)\cap \left(\beta \right)\Rightarrow VTCP \overrightarrow{u_{∆}}=\left[\begin{array}{cc}\overrightarrow{n_1};& \overrightarrow{n_2}\end{array}\right]=(23 ; 7 ; -20 )$

Đường thẳng $∆$ đi qua điểm $A(\frac{1}{7};0; \frac{18}{7})$

$$\begin{gathered} ∆\subset \left(P\right)\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u_{∆}.}\overrightarrow{n}=0\\ A\in \left(P\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=-5\\ n=-11\end{array}\right. \\ \Rightarrow m+n=-16 \end{gathered}$$

Chọn D

Vậy thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (A'MN) là hình bình hành A'EFG.

Ta có:

Mặt cầu (S) có tâm I (1;-2;3) và bán kính R= 3√3.

Vì (α): ax + by - z + c = 0 đi qua hai điểm A (0; 0; -4), B (2; 0; 0) nên c = -4 và a = 2.

Suy ra (α): 2x + by - z - 4 = 0.

Gọi H là hình chiếu của I lên ($\alpha$)

Đặt IH = x, với 0 < x < 3√3 ta có

Thể tích khối nón là

Chọn A

Vì A thuộc  nên A (1+2t;1-t;-1+t).

Vì B thuộc  nên B (-2+3t';-1+t';2+2t').

Thay vào (3) ta được t=1, t'=2 thỏa mãn.

Khi đó A(3; 0; 0) và B(4; 1; 6)

Vậy AB = $\sqrt{38}$

Chọn A

Phương trình đường thẳng d qua M vuông góc với (P) là

Gọi H = d ∩ (P) => H (0; 1; -1).

M' đối xứng với M qua (P) nên H là trung điểm MM' => M’ (-4; 0; -3)

Chọn B

Gọi I là trung điểm của AB suy ra  và (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

Mặt phẳng (P) đi qua I và nhận  làm vec tơ pháp tuyến có phương trình là:

Gọi J là trung điểm của AC suy ra  và (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AC

Mặt phẳng (Q) đi qua J và nhận  làm vec tơ pháp tuyến có phương trình là:

Khi đó d = (P) ∩ (Q)

Ta có d có vectơ chỉ phương  và đi qua M là nghiệm của hệ , ta chọn x = 4 suy ra y = 2 và z = 9/4. Vậy 

Phương trình tham số của d là:

Thay tọa độ điểm A và B vào vế trái của phương trình mặt phẳng (P) ta có:

1+ (-3)+0-1=-3<0 và 5+ (-1)+ (-2)-1=1>0

Nên suy ra A và B nằm khác phía so với mặt phẳng (P).

Gọi  là điểm đối xứng với B qua (P). Ta có:

|MA – MB| = |MA – MB’| ≤ AB’.

Do đó |MA – MB| lớn nhất là bằng AB' khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng AB' với mặt phẳng (P).

Ta có  nên đường thẳng AB' có véc-tơ chỉ phương . Phương trình đường thẳng AB' là 

Tọa độ điểm M là nghiệm hệ 

Như vậy M (6;-1;-4) => abc = 6 (-1).(-4) = 24.

Chọn D

Mặt cầu (S) có tâm I (-1;3;-2) và bán kính R = √29.

Mặt phẳng (P) chứa d có dạng m (4x-5y-10)+n (y-8z+10)=0

ó 4mx + (n – 5m)y – 8nz + 10n – 10m = 0 với m²+n²>0.

(P) tiếp xúc với (S) nên d (I, (P)) = R

Trường hợp 1: m = -n, phương trình mặt phẳng (P): 2x - 3y + 4z - 10 = 0.

Khi đó giao điểm của (P) và Oz có tọa độ là (0; 0; $\frac{5}{2}$) (loại vì $\frac{5}{2}<3$)

Trường hợp 2: m = -3n, phương trình mặt phẳng (P): 3x - 4y + 2z - 10 = 0.

Khi đó giao điểm của (P) và Oz có tọa độ là (0; 0; 5) (nhận vì 5 > 3).

Chọn B

Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng d₁ và d₂

Khi đó (P) đi qua M (0;-1;0) và có cặp véctơ chỉ phương 

Gọi  là VTPT của (P). Khi đó 

Phương trình (P): -8x+3y+2z+3=0

Gọi H là giao điểm của đường thẳng d₂ và (P):

Đường thẳng d đi qua H và có VTCP   có phương trình:

Chọn C

Gọi giao điểm của Δ và d là B nên ta có: B (3+t;3+3t;2t) 

Vì đường thẳng Δ song song với mặt phẳng (α) nên:

Phương trình đường thẳng Δ đi qua A và nhận

Vậy phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d' là 

Chọn B

Ta có H (a;b;c) là trực tâm tam giác ABC nên ta có 

Đường thẳng đi qua trực tâm H (2;1;1) của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có vecto chỉ phương  có phương trình là

Chọn C

* Ta có: VTPT của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n}=\left(a; b; c\right)$  trong đó a;b;c không đồng thời bằng 0. Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) và bán kính R=5.

Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB nên ta có:

* Bán kính đường tròn giao tuyến là  trong đó

Để bán kính đường tròn nhỏ nhất điều kiện là d lớn nhất  lớn nhất  lớn nhất.

Coi hàm số  là một phương trình ẩn c ta được

5mc²-2 (4m+1)c+ (8m-3)=0,

phương trình có nghiệm c  lớn nhất

<=> c = 1 => a = 0 => M = 2a + b – c = 1

Mặt (S) cầu có tâm I (1;2;3), R=3.

 mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn

Gọi M (a;b;c) là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất.

Khi M thuộc đường thẳng Δ đi qua I và vuông góc với (P)

Vậy M (3;0;4). Khi đó  a + b + c = 7.

Chọn A

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên Δ, ta có d (A; Δ) = AH.

Mặt khác, vì M ∈ Δ nên AH ≤ AM. Do đó, 

Khi đó, đường thẳng Δ đi qua M, vuông góc với đường thẳng d và vuông góc với đường thẳng AM nên có véctơ chỉ phương là 

Chọn D

Gọi A (a;0;0), B (0;b;0); C (0;0;c). Ta có OA = |a|; |OB| = b; |OC| = |c|.

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là 

Theo giả thiết ta có điểm

Vì OA=OB=OC => |a| = |b| = |c| nên ta có hệ phương trình

Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn.

Chọn A

Phương trình tham số của 

Gọi M = d ∩ (P) nên 2(2 + 3t) -3(-1 + t) -5 - t - 6 = 0 $\iff$ t = 2 => M (8 ; 1 ; -7)

VTCP của Δ là $\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{u_d}; \overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right]= \left(-2;-5;-11\right)=-1\left(2;5;11\right)$

Δ đi qua M có VTCP có tọa độ là (2; 5; 11)  nên có phương trình: $\frac{x-8}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+7}{11}$