200 Bài tập nguyên hàm tích phân cơ bản, nâng cao (P6)

Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0; x=\mathrm{\pi }$ Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ $x (0\le x\le \mathrm{\pi })$ là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng sinx+2 

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x-\sin 2x$ là

Nếu ${\int }_{-2}^0(4-e^{\frac{-\mathrm{\pi }}{2}})dx=a+2be$ thì giá trị của a + 2b là

Nếu $I={\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{1+\sin 2x}}dx=\frac{a}{b}\ln c, (a,b,c\in Z)$ thì a+2b+3c là

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{2x-1}$ là

Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;3] và ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx=1, {\int }_2^{3}f\left(x\right)dx=4$ Tính ${\int }_0^3\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}.$

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $(0;+\infty )$ Khi đó $\int \frac{f\text{'}\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}dx$ bằng

Biết ${\int }_1^{2}x\ln (x^2+1)dx=a\ln 5+b\ln 2+c$ với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính P = a + b + c.

Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol $\left(P\right): y=x^2$, tiếp tuyến với (P) tại M(2;4) và trục hoành. Tính diện tích của hình phẳng (H)?

Cho hình trụ có trục OO', bán kính đáy r và chiều cao $h=\frac{3r}{2}$ Hai điểm M, N di động trên đường tròn đáy (O) sao cho OMN là tam giác đều. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (O’MN). Khi M, N di động trên đường tròn (O) thì đoạn thẳng OH tạo thành mặt xung quanh của một hình nón, tính diện tích S của mặt này

Trong không gian (Oxyz), cho vật thể (H) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x=a và x=b (b>a) Gọi S(x) là diện tích thiết diện của (H) bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x, với $a\le x\le b$ Giả sử hàm số y=S(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Khi đó, thể tích V của vật thể (H) được cho bởi công thức:

Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số =$y=f\left(x\right)$ trục hoành và đường thẳng x=a;x=b (như hình vẽ bên). Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

Cho hàm $f:[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}] \to R$ là hàm liên tục thỏa mãn ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\left[f\right(x\left)\right]}^2-2f\left(x\right)(\sin x-\cos x)]dx=1-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$. Tính ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right)dx.$

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục có đồ thị như hình bên dưới. Biết $F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right), \forall x\in [-5;2]$ và ${\int }_{-3}^{-1}f\left(x\right)dx=\frac{14}{3}$ Tính F(2)-F(-5).

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên R và hàm số $y=g\left(x\right)=xf\left(x^2\right)$ có đồ thị trên đoạn [0;2] như hình vẽ. Biết diện tích miền tô màu là $S=\frac{5}{2}$ tính tích phân $I={\int }_1^{4}f\left(x\right)dx$

Cho đồ thị $\left(C\right): y=\sqrt{x}$ Gọi M là điểm thuộc (C), A(9;0). Gọi S₁ là diện tích hình phẳng giứi hạn bởi (C), đường thẳng x = 9 và trục hoành; S₂ là diện tích tam giác OMA. Tọa độ điểm M để S₁ = 2S₂ là:

Nếu $\int f\left(x\right)dx=\frac{1}{x}+\ln \left|x\right|+C$ thì $f\left(x\right)$ là:

Cho ${\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)dx=1, {\int }_{-2}^{4}f\left(t\right)dt=-4$. Tính ${\int }_2^{4}f\left(y\right)dy$

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=\frac{\ln 2x}{x^2}$

Cho đồ thị hàm số y=f(x) Diện tích hình phẳng (phần có dấu gạch trong hình) là

Biết ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{\cos x}{{\sin }^{2}x+3\sin x+2}dx=a\ln 2+b\ln 3$ với a, b. c là số nguyên. Tính P = 2a + b.

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y=\sin x$?

Tích phân ${\int }_1^2{e}^{2x}dx$ bằng

Cho hình (H) trong hình vẽ bên dưới quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng bao nhiêu?