200 Bài tập nguyên hàm tích phân cơ bản, nâng cao (P4)

Cho ${\int }_1^e\left[\frac{1}{x}+\frac{\ln x}{x{(\ln x+2)}^2}\right]dx=a\ln 3+b\ln 2+\frac{c}{3}$với $a,b,c\in Z$. Giá trị của $a^2+b^2+c^2$ bằng

Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)={\sin }^{3}x\cos x$ Giá trị của biểu thức $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)-F\left(0\right)$ bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên $[0;\frac{3\mathrm{\pi }}{2}]$ và thỏa mãn ${\int }_0^{\frac{3\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right)dx=5, {\int }_{-\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}f\left(x\right)dx=2$ Khi đó giá trị của ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right)dx+{\int }_{\mathrm{\pi }}^{\frac{3\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right)dx$ bằng

Để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2+3ax+2a^2,a>0$ và trục hoành có diện tích bằng 36 thì

Biết ${\int }_0^1\frac{3x-1}{{(x+3)}^2}dx=\ln \frac{a}{b}-\frac{c}{d} (a,b,c,d\in Z)$ Giá trị của biểu thức a+b+c+d bằng

Cho $F\left(x\right)=4^x$ là một nguyên hàm của hàm số $2^x.f\left(x\right)$ Tích phân ${\int }_0^1\frac{f\text{'}\left(x\right)}{{\ln }^{2}2}dx$ bằng 

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (P):$y=\sqrt{3}{x}^2$ cung tròn $y=\sqrt{4-x^2} (0\le x\le 2)$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay (H)xung quanh trục Ox bằng

Công thức nào dưới đây là công thức tính tích phân từng phần?

Họ các nguyên hàm của hàm số f(x)=${(\sin x+\cos x)}^2$ là

Biết ${\int }_1^{\sqrt{2}}2x(x-\sqrt{x^2-1})dx=\frac{a\sqrt{2}+b}{3} (a,b\in Z)$  Tính S=a+b.

Cho hàm f(x) liên tục trên R và ${\int }_0^{1}x.f\left(x\right)dx=5$ Tích phân $-\frac{1}{4}{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}f\left(\cos 2x\right)d\left(\cos 4x\right)$ bằng

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\tan x, x=0, x=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ và trục hoành bằng

Biết  $F\left(x\right)=a\ln |x-1|+b\ln |x-2| (a,b\in Z)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x+1}{(x-1)(x-2)}$. Giá trị của biểu thức b-a bằng

Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) trên R thỏa mãn ${\int }_1^{e}F\left(x\right)d\left(\ln x\right)=3$ và $F\left(e\right)=5$ Tích phân ${\int }_1^e\ln x.f\left(x\right)dx$ bằng

Họ nguyên hàm của hàm $f\left(x\right)=e^{2x}-\frac{1}{x}+\ln x (x>0)$ là

Cho ${\int }_{\ln 2}^{\ln 3}(\frac{1}{x}+3)dx=\ln \left(a{\log }_{b}c\right)$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\frac{1}{x};y=0;x=1;x=a, (a>1)$ Tìm a để V = 2.

Cho ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\frac{({\cos }^{2}x-1)d\left(\cos x\right)}{{\cos }^{2}x}=\frac{a}{\sqrt{2}}+2b (a,b\in Z)$. Tính $\mathrm{S}={\mathrm{a}}^4-{\mathrm{b}}^4$ 

Cho hàm số f(x) thỏa mãn ${\int }_1^2(2x+3).f\text{'}\left(x\right)dx=15$ và $7.f\left(2\right)-5.f\left(1\right)=8$ Tính I=${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx$.

Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn $f\text{'}\left(x\right)+2xf\left(x\right)=e^{-x^2}, \forall x\in R$ và f(1)=0 Tính giá trị f(2).

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-1$ và tiếp tuyến của đồ thị này tại điểm (-1;-2). 

Có bao nhiêu số thực a thuộc $(\mathrm{\pi };3\mathrm{\pi })$ thỏa mãn ${\int }_{\mathrm{\pi }}^a\cos 2xdx=\frac{1}{4}$. 

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{{\ln }^{2}x}{x}$ là

Cho ${\int }_0^3\frac{x}{2\sqrt{x+1}+4}dx=\frac{a}{3}+\ln \left(\frac{3^b}{2^c}\right)$ Tính T=a+2b-c