200 Bài tập nguyên hàm tích phân cơ bản, nâng cao (P2)

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=\sqrt{1-x^2}$ ; y=0 quanh trục Ox

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=ax+\frac{b}{x^2}$(x khác 0), biết rằng F(-1)=1, F(1)=4, f(1)=0

Tìm tất cả các giá trị thực dương của tham số m sao cho ${\int }_o^{m}x{e}^{\sqrt{x^2+1}}dx=2^{500}{e}^{\sqrt{m^2+1}}$.

Cho đồ thị biểu diên vận tốc của hai xe A và B khởi hành cùng một lúc, bên cạnh nhau và trên cùng một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của xe A là một đường Parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc của xe B là một đường thẳng ở hình bên. Hỏi sau khi đi được 5 giây khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu mét.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. và thỏa mãn ${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}cotx.f\left({\sin }^{2}x\right)dx={\int }_1^{16}\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{x}dx=1$ . Tính I=${\int }_{\frac{1}{8}}^1\frac{f\left(4x\right)}{x}dx.$

Cho a là số thực dương, tính tích phân $I={\int }_{-1}^a\left|x\right|dx$ theo a

Biết ${\int }_0^1\frac{x^2-2}{x^2+1}dx=\frac{-1}{m}+n\ln 2$, với m,n là các số nguyên. Tính m+n.

Biết ${\int }_{-\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}\frac{{\cos }^{2}x}{1+3^{-x}}dx=m$. Tính giá trị của ${\int }_{-\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}\frac{{\cos }^{2}x}{1+3^{-x}}dx$

Tính tích phân ${\int }_1^{2^{100}}\frac{\ln x}{{(x+1)}^2}dx$, 

Cho hàm số y=f(x)=$a{x}^3+b{x}^2+cx+d,(a,b,c,d \in R,$a khác 0) có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số y=$f\text{'}\left(x\right)$ cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng H giời hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành xung quanh trục hoành Ox

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2+\frac{3}{x}-2\sqrt{x} (x>0)$ là

Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=4x^3-\frac{1}{x^2}+3x$ và thỏa mãn 5F(1)+F(2)=43. Tính F(2).

Cho hàm số f(x) có nguyên hàm là F(x) trên đoạn [1;2], biết F(2) = 1 và ${\int }_1^{2}F\left(x\right)dx=5$. Tính I=${\int }_1^2(x-1)f\left(x\right)dx$

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật (H) có một cạnh nằm trên trục hoành, và có hai đỉnh trên một đường chéo là A (-1; 0) và $C(m;\sqrt{m})$, với m > 0. Biết rằng đồ thị hàm số y=$\sqrt{x}$ chia hình (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau, tìm m .

Biết $I={\int }_1^5\frac{2x-1}{2x+3\sqrt{2x-1}+1}dx=a+b\ln 2+c\ln \frac{3}{5} (a,b,c Z)$. Khi đó, giá trị P=$a^2-ab+2c$ là

Cho hàm số f(x) là hàm số lẻ, liên tục trên [-4;4]. Biết rằng ${\int }_{-2}^{0}f(-x)dx=2$ và ${\int }_1^{2}f(-2x)dx=4$. Tính tích phân I=${\int }_0^{4}f\left(x\right)dx$

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=\cos x\sqrt{\sin x+1}$ 

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{1+\sin 2x}$ với $x\in R\setminus \{\frac{-\mathrm{\pi }}{4}+k\mathrm{\pi }, \mathrm{k}\in \mathrm{ℝ}\}$. Biết F(0)=1,F($\mathrm{\pi }$)=0, tính giá trị biểu thức $P=F\left(\frac{-\mathrm{\pi }}{12}\right)-F\left(\frac{11\mathrm{\pi }}{12}\right)$

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn  và ${\int }_1^{2}f(x-1)dx=3$ và f(1)=4. Tích phân ${\int }_0^1{x}^{3}f\text{'}\left(x^2\right)dx$ bằng

Cho hàm số y=f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [-1;1] và thỏa mãn ${\int }_0^{\frac{1}{2}}f\left(x\right)dx=3, {\int }_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}f\left(2x\right)dx=1$. Tính I=${\int }_{\frac{-\mathrm{\pi }}{2}}^0\cos xf\left(\sin x\right)dx$ 

Cho  hàm  số  f(x)= tanx(2cotx-$\sqrt{2}\cos x+2{\cos }^{2}x$) có nguyên hàm là  F(x) và F($\frac{\mathrm{\pi }}{4}$)=$\frac{\mathrm{\pi }}{2}$. Giả sử F(x)= ax+$\sqrt{b}\cos x-\frac{\cos cx}{2}-d$. chọn phát biểu đúng.

Tính tích phân I=${\int }_1^{2^{100}}\frac{\ln x}{{(x+1)}^2}dx$, ta được kết quả

Tính tích phân $I={\int }_0^1\frac{{(x-3)}^8}{{(2x+1)}^{10}}dx$ ta được

Cho vật thể H nằm giữa hai mặt phẳng x=0;x=1. Biết rằng thiết diện của vật thể H cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x($0\le x\le 1$) là một tam giác đều có cạnh là 4$\sqrt{\ln (1+x)}$ Giả sử thể tích V của vật thể có kết quả là $V=a\sqrt{b}(c\ln 2-1)$ với a, b, c là các số nguyên. Tính tổng S=$a^2-ab+c$