20 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 1. Đạo hàm (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm thỏa mãn f'(5) = 12. Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 5 \right)}}{{x - 5}}\).12.
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{3}\).
2.
A
Có \(f'\left( 5 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 5 \right)}}{{x - 5}} = 12\).
Trong các khẳng định dưới đây. Tìm khẳng định đúng.
\(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\).
(C)' = C, C là hằng số.
Hệ số góc của tiếp tuyến tạo điểm M(x0; f(x0)): f(x).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M(x0; f(x0)): y = f'(x)(x – x0) + f(x0).
A
Ta có (C)' = 0.
Hệ số góc của tiếp tuyến tạo điểm M(x0; f(x0)): f(x0).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M(x0; f(x0)): y = f'(x0)(x – x0) + f(x0).
\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}}\).
\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}}\).
\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x + 1}}\).
\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}}\).
A
Ta có f(1) = 12 + 2.1 = 3.
Khi đó theo định nghĩa \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}}\).
1.
2.
0.
3.
A
\(f'\left( 4 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 4 \right)}}{{x - 4}} = 6\).
Khi đó ta có x2 – 6x = 6 Û x2 – 6x − 6 = 0 Û \(\left[ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt {15} > 0\\x = 3 - \sqrt {15} < 0\end{array} \right.\).
Do đó phương trình có 1 nghiệm dương.
x + y + 2 = 0.
y = x + 2.
y = x – 2.
y = −x + 2.
A
Ta có \(y' = - \frac{1}{{{x^2}}}\). Hệ số góc của tiếp tuyến là \(k = y'\left( { - 1} \right) = - 1\).
Với x0 = −1 Þ y0 = −1.
Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −(x + 1) – 1 = −x – 2 Û x + y + 2 = 0.
−4.
4.
2.
−2.
A
Ta có f'(x) = (x2)' = 2x nên f'(−2) = 2.(−2) = −4.
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) = x2 tại điểm có hoành độ x0 = −2 là k = f'(−2) = −4.
2.
−4.
1.
4.
D
Có f'(x) = 4x.
Suy ra tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm x0 = 1 có hệ số f'(1) = 4.1 = 4.
Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = t2, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2 giây.
2 m/s.
3 m/s.
4 m/s.
5 m/s.
C
Ta tính được s'(t) = 2t.
Vận tốc của chất điểm v(t) = s'(t) = 2t Þ v(2) = 2.2 = 4 m/s.
1690 m.
1069 m.
1906 m.
1960 m.
D
Ta có s'(t) = 196 – 9,8t.
Vận tốc của viên đạn v(t) = s'(t) = 196 – 9,8t Þ v(t) = 0 Û 196 – 9,8t = 0 Û t = 20.
Khi viên đạn cách mặt đất một khoảng h = s(20) = 196.20 – 4,9.202 = 1960 m.
t = 1s.
t = 2s.
t = 3s.
t = 6s.
A
Ta có s'(t) = 3t2 – 6t + 9.
Vận tốc của chất điểm v(t) = s'(t) = 3t2 – 6t + 9 = 3(t – 1)2 + 6 ≥ 6.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t = 1.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = x2 + 3x tại điểm x0 = 1.
a) \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\).
b) \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{x - 1}}\).
c) \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 4} \right)\).
d) f'(1) = a Þ a > 6.
a) \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\).
b) f(1) = 4.
\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{x - 1}}\).
c) \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 4} \right) = 5\).
d) f'(1) = 5 < 6.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Một viên đạn được bắn lên cao theo phương thẳng đứng có phương trình chuyển động s(t) = 2 + 196t – 4,9t2 trongđó t ≥ 0, t(s) là thời gian chuyển động, s(m) là độ cao so với mặt đất.
a) Sau 20 s kể từ khi bắn thì viên đạn đạt được độ cao 1962 m.
b)Vận tốc tức thời của viên đạn ngay khi viên đạn được bắn ra là 196 m/s.
c) Vận tốc tức thời của viên đạn khi viên đạn đạt được độ cao 1962 m là 5 m/s.
d) Tại thời điểm viên đạn đạt vận tốc tức thời bằng 98 m/s thì viên đạn đang ở độ cao 1472 m so với mặt đất.
a) s(20) = 2 + 196.20 – 4,9.202 = 1962 m.
b) v(t) = s'(t) = 196 – 9,8t.
Khi đó v(0) = 196 m/s.
c) Thời điểm viên đạn đạt được độ cao 1962 m là 20 s.
Khi đó v(20) = 196 – 9,8.20 = 0.
d) Theo đề có v(t) = 98 Û 196 – 9,8t = 98 Û t = 10 s.
Kkhi đó độ cao của viên đạn là s(10) = 2 + 196.10 – 4,9.102 = 1472 m.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) tại điểm \({x_0} = 0\) ta được \(f'\left( 0 \right) = a\). Khi đó:
a)\(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\).
b) \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{4}{{x + 1}}\).
c) Phương trình \({3^x} = 3\) có nghiệm bằng \(x = a - 2\).
d) \({\log _a}9 = 3\).
a) b)Ta có: \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{x - 2}}{{x + 1}} - \left( { - 2} \right)}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{3}{{x + 1}} = 3\).
Vậy \(f'\left( 0 \right) = 3\).
c) Ta có 3x = 3Û x = 1 = 3 – 2.
d) log39 = 2.
a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số \(y = f(x) = 2{x^3}\) có đồ thị \((C)\) và điểm \(M\) thuộc \((C)\) có hoành độ \({x_0} = - 1\). Khi đó:
a) Hệ số góc của tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M\) bằng \(6\).
b) Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) đi qua điểm \(A\left( {0;4} \right)\).
c) Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) cắt đường thẳng \(d:y = 3x\) tại điểm có hoành độ bằng 4.
d) Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta :y = - \frac{1}{6}x\).
a) Ta có: \(f'\left( x \right) = 6{x^2}\) nên tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) có hệ số góc là:
\(f'\left( { - 1} \right) = 6 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} = 6;f\left( { - 1} \right) = - 2\)
Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) là: \(y - f( - 1) = 6(x + 1)\)\( \Leftrightarrow y + 2 = 6(x + 1)\)\( \Leftrightarrow y = 6x + 4\).
b) Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(0; 4).
c) Phương trình hoành độ giao điểm: 6x + 4 = 3x \( \Leftrightarrow x = \frac{{ - 4}}{3}\).
d) Có \(6.\left( {\frac{{ - 1}}{6}} \right) = - 1\) nên phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta :y = - \frac{1}{6}x\).
a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{2}{{1 - x}}\) với x ≠ 1. Khi đó:
a) Với bất kì x0 ≠ 1, ta có \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{2}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 - {x_0}} \right)}}\).
b) f'(2) = 2.
c) \(f'\left( 3 \right) = \frac{1}{3}\).
d) \(f'\left( 2 \right) + f'\left( 3 \right) = \frac{3}{2}\).
a) Với x ≠ 1, \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{2}{{1 - x}} - \frac{2}{{1 - {x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{2}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 - {x_0}} \right)}}\).
b) \(f'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{2}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ - 2}}{{1 - x}} = 2\).
c) \(f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{2}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 - 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 1}}{{1 - x}} = \frac{1}{2}\).
d) \(f'\left( 2 \right) + f'\left( 3 \right) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\).
a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = 2{x^3} + 1\) tại \({x_0} = 2\).
\({\rm{ Ta c\'o }}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^3} - 16}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 2\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) = 24.\)
Vậy \({\rm{ }}f'\left( 2 \right) = 24.{\rm{ }}\)
Trả lời: 24.
Cho hàm số \(y = f(x) = - 2{x^3} + x\) có đồ thị \((C)\).
Tính hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Ta có: \(f'(x) = - 6{x^2} + 1\) nên hệ số góc của tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm có hoành độ bằng 1 là: \(f'\left( 1 \right) = - 6 \cdot {\left( 1 \right)^2} + 1 = - 5\).
Trả lời: −5.
Một chất điểm chuyển động xác định bởi phương trình \(s\left( t \right) = \frac{1}{2}{t^2}\), trong đó t là thời gian tính bằng giây và s là quãng đường đi được trong t giây tính bằng mét. Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại t = 5.
v(t) = s'(t) = t.
Vận tốc tức thời của chất điểm tại t = 5 là v(5) = 5 m/s.
Trả lời: 5.
Một người gửi tiết kiệm khoản tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7%/năm. Tính tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 1 năm, nếu tiền lãi được tính theo thể thức: Lãi kép với kì hạn 6 tháng (đơn vị: triệu đồng).
Tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau 1 năm là:
\(T = 100000000.{\left( {1 + \frac{{0,07}}{2}} \right)^2} \approx 107\) triệu đồng.
Trả lời: 107.
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = t2 – 2t + 3, trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2s.
Ta có v(t) = S'(t) = 2t – 2.
Khi đó v(2) = 2.2 – 2 = 2 (m/s).
Trả lời: 2.
