20 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 1. Đạo hàm (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm thỏa mãn f'(5) = 12. Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 5 \right)}}{{x - 5}}\).
12.
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{3}\).
2.
A
Có \(f'\left( 5 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 5 \right)}}{{x - 5}} = 12\).
Trong các khẳng định dưới đây. Tìm khẳng định đúng.
\(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\).
(C)' = C, C là hằng số.
Hệ số góc của tiếp tuyến tạo điểm M(x0; f(x0)): f(x).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M(x0; f(x0)): y = f'(x)(x – x0) + f(x0).
A
Ta có (C)' = 0.
Hệ số góc của tiếp tuyến tạo điểm M(x0; f(x0)): f(x0).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M(x0; f(x0)): y = f'(x0)(x – x0) + f(x0).
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = x2 + 2x tại điểm x0 = 1 là
\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}}\).
\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}}\).
\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x + 1}}\).
\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}}\).
A
Ta có f(1) = 12 + 2.1 = 3.
Khi đó theo định nghĩa \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}}\).
Hàm số f(x) xác định trên ℝ thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 4 \right)}}{{x - 4}} = 6\). Phương trình x2 – 6x = f'(4) có bao nhiêu nghiệm dương?
1.
2.
0.
3.
A
\(f'\left( 4 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 4 \right)}}{{x - 4}} = 6\).
Khi đó ta có x2 – 6x = 6 Û x2 – 6x − 6 = 0 Û \(\left[ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt {15} > 0\\x = 3 - \sqrt {15} < 0\end{array} \right.\).
Do đó phương trình có 1 nghiệm dương.
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \(y = \frac{1}{x}\) tại điểm có hoành độ bằng −1.
x + y + 2 = 0.
y = x + 2.
y = x – 2.
y = −x + 2.
A
Ta có \(y' = - \frac{1}{{{x^2}}}\). Hệ số góc của tiếp tuyến là \(k = y'\left( { - 1} \right) = - 1\).
Với x0 = −1 Þ y0 = −1.
Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −(x + 1) – 1 = −x – 2 Û x + y + 2 = 0.
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) = x2 tại điểm có hoành độ x0 = −2 là
−4.
4.
2.
−2.
A
Ta có f'(x) = (x2)' = 2x nên f'(−2) = 2.(−2) = −4.
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) = x2 tại điểm có hoành độ x0 = −2 là k = f'(−2) = −4.
Cho hàm số f(x) = 2x2 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm x0 = 1 có hệ số góc bằng
2.
−4.
1.
4.
D
Có f'(x) = 4x.
Suy ra tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm x0 = 1 có hệ số f'(1) = 4.1 = 4.
Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = t2, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2 giây.
2 m/s.
3 m/s.
4 m/s.
5 m/s.
C
Ta tính được s'(t) = 2t.
Vận tốc của chất điểm v(t) = s'(t) = 2t Þ v(2) = 2.2 = 4 m/s.
Một viên đạn được bắn lên cao theo phương trình s(t) = 196t – 4,9t2 trong đó t > 0, t tính bằng giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên cao và s(t) là khoảng cách của viên đạn so với mặt đất được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?
1690 m.
1069 m.
1906 m.
1960 m.
D
Ta có s'(t) = 196 – 9,8t.
Vận tốc của viên đạn v(t) = s'(t) = 196 – 9,8t Þ v(t) = 0 Û 196 – 9,8t = 0 Û t = 20.
Khi viên đạn cách mặt đất một khoảng h = s(20) = 196.20 – 4,9.202 = 1960 m.
Một chất điểm chuyển động có phương trình s(t) = t3 – 3t2 + 9t + 2, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất?
t = 1s.
t = 2s.
t = 3s.
t = 6s.
A
Ta có s'(t) = 3t2 – 6t + 9.
Vận tốc của chất điểm v(t) = s'(t) = 3t2 – 6t + 9 = 3(t – 1)2 + 6 ≥ 6.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t = 1.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = x2 + 3x tại điểm x0 = 1.
a) \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\).
b) \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{x - 1}}\).
c) \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 4} \right)\).
d) f'(1) = a Þ a > 6.
a) \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\).
b) f(1) = 4.
\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{x - 1}}\).
c) \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 4} \right) = 5\).
d) f'(1) = 5 < 6.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Một viên đạn được bắn lên cao theo phương thẳng đứng có phương trình chuyển động s(t) = 2 + 196t – 4,9t2 trongđó t ≥ 0, t(s) là thời gian chuyển động, s(m) là độ cao so với mặt đất.
a) Sau 20 s kể từ khi bắn thì viên đạn đạt được độ cao 1962 m.
b)Vận tốc tức thời của viên đạn ngay khi viên đạn được bắn ra là 196 m/s.
c) Vận tốc tức thời của viên đạn khi viên đạn đạt được độ cao 1962 m là 5 m/s.
d) Tại thời điểm viên đạn đạt vận tốc tức thời bằng 98 m/s thì viên đạn đang ở độ cao 1472 m so với mặt đất.
a) s(20) = 2 + 196.20 – 4,9.202 = 1962 m.
b) v(t) = s'(t) = 196 – 9,8t.
Khi đó v(0) = 196 m/s.
c) Thời điểm viên đạn đạt được độ cao 1962 m là 20 s.
Khi đó v(20) = 196 – 9,8.20 = 0.
d) Theo đề có v(t) = 98 Û 196 – 9,8t = 98 Û t = 10 s.
Kkhi đó độ cao của viên đạn là s(10) = 2 + 196.10 – 4,9.102 = 1472 m.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) tại điểm \({x_0} = 0\) ta được \(f'\left( 0 \right) = a\). Khi đó:
a)\(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\).
b) \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{4}{{x + 1}}\).
c) Phương trình \({3^x} = 3\) có nghiệm bằng \(x = a - 2\).
d) \({\log _a}9 = 3\).
a) b)Ta có: \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{x - 2}}{{x + 1}} - \left( { - 2} \right)}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{3}{{x + 1}} = 3\).
Vậy \(f'\left( 0 \right) = 3\).
c) Ta có 3x = 3Û x = 1 = 3 – 2.
d) log39 = 2.
a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số \(y = f(x) = 2{x^3}\) có đồ thị \((C)\) và điểm \(M\) thuộc \((C)\) có hoành độ \({x_0} = - 1\). Khi đó:
a) Hệ số góc của tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M\) bằng \(6\).
b) Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) đi qua điểm \(A\left( {0;4} \right)\).
c) Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) cắt đường thẳng \(d:y = 3x\) tại điểm có hoành độ bằng 4.
d) Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta :y = - \frac{1}{6}x\).
a) Ta có: \(f'\left( x \right) = 6{x^2}\) nên tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) có hệ số góc là:
\(f'\left( { - 1} \right) = 6 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} = 6;f\left( { - 1} \right) = - 2\)
Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) là: \(y - f( - 1) = 6(x + 1)\)\( \Leftrightarrow y + 2 = 6(x + 1)\)\( \Leftrightarrow y = 6x + 4\).
b) Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(0; 4).
c) Phương trình hoành độ giao điểm: 6x + 4 = 3x \( \Leftrightarrow x = \frac{{ - 4}}{3}\).
d) Có \(6.\left( {\frac{{ - 1}}{6}} \right) = - 1\) nên phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta :y = - \frac{1}{6}x\).
a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{2}{{1 - x}}\) với x ≠ 1. Khi đó:
a) Với bất kì x0 ≠ 1, ta có \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{2}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 - {x_0}} \right)}}\).
b) f'(2) = 2.
c) \(f'\left( 3 \right) = \frac{1}{3}\).
d) \(f'\left( 2 \right) + f'\left( 3 \right) = \frac{3}{2}\).
a) Với x ≠ 1, \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{2}{{1 - x}} - \frac{2}{{1 - {x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{2}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 - {x_0}} \right)}}\).
b) \(f'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{2}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ - 2}}{{1 - x}} = 2\).
c) \(f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{2}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 - 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 1}}{{1 - x}} = \frac{1}{2}\).
d) \(f'\left( 2 \right) + f'\left( 3 \right) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\).
a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = 2{x^3} + 1\) tại \({x_0} = 2\).
\({\rm{ Ta c\'o }}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^3} - 16}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 2\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) = 24.\)
Vậy \({\rm{ }}f'\left( 2 \right) = 24.{\rm{ }}\)
Trả lời: 24.
Cho hàm số \(y = f(x) = - 2{x^3} + x\) có đồ thị \((C)\).
Tính hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Ta có: \(f'(x) = - 6{x^2} + 1\) nên hệ số góc của tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm có hoành độ bằng 1 là: \(f'\left( 1 \right) = - 6 \cdot {\left( 1 \right)^2} + 1 = - 5\).
Trả lời: −5.
Một chất điểm chuyển động xác định bởi phương trình \(s\left( t \right) = \frac{1}{2}{t^2}\), trong đó t là thời gian tính bằng giây và s là quãng đường đi được trong t giây tính bằng mét. Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại t = 5.
v(t) = s'(t) = t.
Vận tốc tức thời của chất điểm tại t = 5 là v(5) = 5 m/s.
Trả lời: 5.
Một người gửi tiết kiệm khoản tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7%/năm. Tính tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 1 năm, nếu tiền lãi được tính theo thể thức: Lãi kép với kì hạn 6 tháng (đơn vị: triệu đồng).
Tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau 1 năm là:
\(T = 100000000.{\left( {1 + \frac{{0,07}}{2}} \right)^2} \approx 107\) triệu đồng.
Trả lời: 107.
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = t2 – 2t + 3, trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2s.
Ta có v(t) = S'(t) = 2t – 2.
Khi đó v(2) = 2.2 – 2 = 2 (m/s).
Trả lời: 2.
