Đề kiểm tra Đạo hàm (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Số gia của hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2}\) ứng với số gia của đối số tại \({x_0} = - 1\) là:
\[\frac{1}{2}{\left( {\Delta x} \right)^2} - \Delta x\].
\[\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\Delta x} \right)}^2} - \Delta x} \right]\].
\[\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + \Delta x} \right]\].
\[\frac{1}{2}{\left( {\Delta x} \right)^2} + \Delta x\].
Gọi \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \({x_0} = - 1\) và \(\Delta y\) tương ứng là số gia của hàm số.
Ta có:
\[\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = \frac{{{{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}^2}}}{2} - \frac{{x_0^2}}{2} = \frac{{{{\left( { - 1 + \Delta x} \right)}^2}}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{{1 - 2\Delta x + {{\left( {\Delta x} \right)}^2} - 1}}{2} = \frac{1}{2}{\left( {\Delta x} \right)^2} - \Delta x\]
Cho hàm \(f\) xác định bởi \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{x}\,\,\,\,\,(x \ne 0)}\\{0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(x = 0)}\end{array}} \right.\]. Giá trị \(f'\left( 0 \right)\) bằng
\(0\).
\(1\).
\(\frac{1}{2}\).
không tồn tại.
Ta có: (0)=limx→0f(x)−f(0)x−0=limx→0x2+1−1x2=limx→01x2+1+1=12
Cho hàm số \(f\) Xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\) bởi \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^3} - 4{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 3x + 2}}\,\,\left( {x \ne 1} \right)\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x = 1} \right)\end{array} \right.\,\,\,\,\). Giá trị của \(f'\left( 1 \right)\) bằng?
\(\frac{3}{2}\).
\(1\).
\(0\).
Không tồn tại.
\[f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 4{x^2} + 3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = + \infty \]
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = f(x)\] tại điểm \(M({x_0};{y_0})\), trong đó\({y_0} = f({x_0})\) là
\[k = f'({x_0})\].
\(k = f'({y_0})\).
\(k = f({x_0})\).
\(k = f({y_0})\).
Theo định nghĩa về hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = f(x)\] tại điểm \(M({x_0};{y_0})\), trong đó\({y_0} = f({x_0})\) có phương trình là
\(y - {y_0} = f'({x_0})(x - {x_0})\).
\(y - {y_0} = f({x_0})(x - {x_0})\).
\(y - {y_0} = f'({y_0})(x - {x_0})\).
\(y - {y_0} = f({y_0})(x - {x_0})\).
Theo định nghĩa về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Hệ số góc \[k\] của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {x^2} + x - 2\] tại điểm \[M\left( {1;0} \right)\] là
\[k = - 1.\]
\[k = 1.\]
\[k = 2.\]
\[k = 3.\]
Ta có: \(f'(x) = 2x + 1 \Rightarrow k = f'(1) = 3.\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {x^3}\] tại điểm \(M(1;1)\) có phương trình là
\[y = 3x - 2.\]
\[y = 3x - 1.\]
\[y = 3x - 4.\]
\[y = 3x - 3.\]
Ta có: \(f'(x) = 3{x^2} \Rightarrow k = f'(1) = 3.\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {x^3}\] tại điểm \(M(1;1)\): \[y = 3(x - 1) + 1\]
\[ = 3x - 2\].
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin x\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\)
\(\cos \frac{x}{2}\).
\(2\sin \frac{x}{2}\).
\(\cos x\).
\( - \cos x\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \left( {x + h} \right) - \sin x}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2\cos \left( {x + \frac{h}{2}} \right)\sin \frac{h}{2}}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}}\cos \left( {x + \frac{h}{2}} \right) = 1.\cos x = \cos x\)
Vì:\(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}} = 1\).
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {x^3} + 2\] tại điểm \[{x_0} = 1\] có hệ số góc là
3.
10.
2.
-5.
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2 - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + x + 1) = 3\]
Vậy hệ số góc cần tìm là f'(x0)=f'(1)=3
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{{x + 1}}\] tại điểm có hoành độ \[{x_{_0}} = - 2\].
\( - 1\).
0.
1.
2.
Tập xác định: \[D = R\backslash \{ - 1\} \]
Đặt \[f(x) = \frac{1}{{x + 1}}\] suy ra \[f'(x) = \frac{{ - 1}}{{{{(x + 1)}^2}}}\] \[f'( - 2) = \frac{{ - 1}}{{{{( - 1 + 1)}^2}}} = - 1\].
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{{x + 1}}\] là \( - 1\).
Một vật di chuyển theo phương thẳng đứng lên trên từ độ cao \[20m\] so với mặt đất với vận tốc ban đầu là \[15m/s\]. Độ cao \(s\) của nó tính bằng mét sau \(t\) giây kể từ khi bắt đầu chuyển động\(t = 0\) được cho bởi công thức \(s = 20 + 15t - 5{t^2}\). Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.
\(5m/s\).
\(15m/s\).
\(25m/s\).
\( - 25m/s\).
Vận tốc của vật tại thời điểm \[t\] là vt=s't=15−10t
Khi vật chạm đất thì s=0⇒20+15t−5t2=0⇒t=−1t=4
Vật sau khi chuyển động sẽ chạm đất khi \[t = 4\]
Vậy vận tốc của vật khi nó chạm đất là v4=s'4=15−10.4=−25m/s
Vậy tốc độ khi vật chạm đất là −25m/s
Trong một trò chơi điện tử, máy bay xuất hiện ở góc trái màn hình rồi bay sang phải theo quỹ đạo \(\left( C \right)\) là đồ thị của hàm số \(y = - 1 - \frac{1}{x},\left( {x > 0} \right)\). Biết rằng tên lửa được bắn ra từ máy bay tại một điểm thuộc \(\left( C \right)\) sẽ bay theo phương tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm đó. Tìm hoành độ \({x_0}\) thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tên lửa bắn ra từ đó sẽ bắn trúng mục tiêu ở trên màn hình có tọa độ \(\left( {4,0} \right)\).
\({x_0} = - 1 + \sqrt 5 \).
\({x_0} = - 1 + \sqrt 3 \).
\({x_0} = 2\).
\({x_0} = - 1 + \sqrt 2 \).
Với \({x_0} > 0\) tùy ý, ta có
\[f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 1 - \frac{1}{x} - \left( { - 1 - \frac{1}{{{x_0}}}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x - {x_0}}}{{x.{x_0}\left( {x - {x_0}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{x.{x_0}}} = \frac{1}{{x_0^2}}\].
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm \({x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} = \frac{1}{{x_0^2}}\left( {x - {x_0}} \right) - 1 - \frac{1}{{{x_0}}}\).
Vì tiếp tuyến đi qua điểm \(\left( {4,0} \right)\) nên \(\frac{1}{{x_0^2}}\left( {4 - {x_0}} \right) - 1 - \frac{1}{{{x_0}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = - 1 + \sqrt 5 \\{x_0} = - 1 - \sqrt 5 \end{array} \right.\).
Đối chiếu với điều kiện \({x_0} > 0\), khi đó ta được \({x_0} = - 1 + \sqrt 5 \).
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) tại điểm \({x_0} = 0\) ta được \({f^\prime }(0) = a\). Khi đó:
\({f^\prime }\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}\)
\({f^'}\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{4}{{x + 1}}\)
Phương trình \({3^x} = 3\) có nghiệm bằng \(x = a - 2\)
\({\log _a}9 = 3\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{f^\prime }(0)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{x - 2}}{{x + 1}} - ( - 2)}}{x}}\\{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x}}{{x(x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{3}{{x + 1}} = 3.}\end{array}\)
Vậy \({f^\prime }(0) = 3\).
Cho hàm số \(f(x) = \frac{2}{{1 - x}}\) có đồ thị \((C)\) và điểm \(M(3; - 1) \in (C)\). Khi đó:
Hệ số góc của tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M\) bằng \(\frac{1}{2}\)
Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) song song với đường thẳng \(y = - \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}\)
Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) vuông với đường thẳng \(y = - 2x - \frac{5}{2}\)
Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) đi qua điểm \(A\left( {0; - \frac{5}{2}} \right)\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Từ ví dụ 4, ta có: \({f^\prime }(x) = {\left( {\frac{2}{{1 - x}}} \right)^\prime } = \frac{2}{{{{(1 - x)}^2}}}\) nên tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) có hệ số góc là: \({f^\prime }(3) = \frac{2}{{{{(1 - 3)}^2}}} = \frac{1}{2}\).
Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) là: \(y - ( - 1) = \frac{1}{2}(x - 3) \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}\).
Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 9}}{{x + 1}}\) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d:x - 2y + 2 = 0\). Khi đó:
Có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn.
Hệ số góc của tiếp tuyến bằng \( - 2\)
Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {1;5} \right)\)
Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm \(B\left( {1; - 7} \right)\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
Đường thẳng \(d:x - 2y + 2 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + 1\) nên đường thẳng \(d\) có hệ số góc là \({k_d} = \frac{1}{2}\).
Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc \(k\) vuông góc với đường thẳng \(d\)
\( \Rightarrow k \cdot {k_d} = - 1 \Rightarrow k = - \frac{1}{{{k_d}}} = - 2.{\rm{ }}\)
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình \({y^\prime } = k \Rightarrow \frac{{ - 8}}{{{{(x + 1)}^2}}} = - 2 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = - 3}\end{array}} \right.\).
Với \(x = 1\), phương trình tiếp tuyến là \(y = - 2x + 7\).
Với \(x = - 3\), phương trình tiếp tuyến là \(y = - 2x - 9\).
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là \({d_1}:y = - 2x + 7;y = - 2x - 9\).
Cho hàm số \[y = f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 1\\2x - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x < 1\end{array} \right.\]. Khi đó :
\[f'\left( 1 \right) = 1\].
Hàm số có đạo hàm tại \[{x_0} = 1\].
Hàm số liên tục tại \[{x_0} = 1\].
\[f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}2x\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x \ge 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x < 1\end{array} \right.\].
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có: \[f(1) = 1\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^2} = 1\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2x - 1) = 1\].
Vậy hàm số liên tục tại \[{x_0} = 1\]. C đúng.
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 2\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(2x - 1) - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = 2\]
Vậy hàm số có đạo hàm tại \[{x_0} = 1\] và \[ \Rightarrow y' = - 2\sin 2x \Rightarrow y'' = - 4\cos 2x \Rightarrow y''\left( 0 \right) = - 4\]
Vậy a sai.
Cho hàm số \(y = f(x) = - 2{x^3} + x\) có đồ thị \((C)\).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm \(M( - 2;14)\).
Ta có: \({f^\prime }(x) = {\left( { - 2{x^3} + x} \right)^\prime } = - 6{x^2} + 1\) nên hệ số góc của tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M( - 2;14)\) là: \({f^\prime }( - 2) = - 6 \cdot {( - 2)^2} + 1 = - 23\).
Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M\) là:
\(y - 14 = - 23(x + 2) \Leftrightarrow y = - 23x - 32.{\rm{ }}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt {{x^2} + 1} \) tại \({x_0} = - 1\).
\({f^\prime }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt 2 }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt 2 } \right)(x - 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 1}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt 2 } \right)}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 1}&{{\rm{ khi }}x \le 1}\\{{x^2} + bx + 1}&{{\rm{ khi }}x > 1}\end{array}} \right.\).
Tìm \(b\) để hàm số này có đạo hàm tại \(x = 1\).
Ta có: \(f(1) = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2x + 1) = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + bx + 1} \right) = b + 2\).
Hàm số \(f(x)\) có đạo hàm tại \(x = 1\) thì \(f(x)\) liên tục tại \(x = 1\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) \Rightarrow b + 2 = 3 \Rightarrow b = 1.{\rm{ }}\)Với \(b = 1\), thì \({f^\prime }\left( {{1^ + }} \right) = {f^\prime }\left( {{1^ - }} \right) = 3\).
Vậy \(b = 1\) thì hàm số đã cho có đạo hàm tại \(x = 1\).
Một người gửi tiết kiệm khoản tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất \(7\% /\) năm. Tính tổng số tiền vốn và lãi (làm tròn đến hàng phần nghìn) mà người đó nhận được sau 1 năm, nếu tiền lãi được tính theo thể thức:
Lãi kép với kì hạn 6 tháng;
Số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau một năm theo thể thức lãi kép với kì hạn 6 tháng là:
\(T = A \cdot {\left( {1 + \frac{r}{2}} \right)^2} = 100{(1 + 3,5\% )^2} = 107,123\) (triệu đồng)
Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất, biết độ cao \(h\) của nó (tính bằng mét) sau \(t\) giây được cho bởi phương trình \(h(t) = 24,5t - 4,9{t^2}\). Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.
Khi vật chạm đất thì \(h = 0 \Leftrightarrow 24,5t - 4,9{t^2} = 0 \Rightarrow t = 5\).
Ta có: \(v(t) = {h^\prime }(t) = 24,5 - 9,8t\) nên tốc độ của vật tại thời điểm nó chạm đất \(t = 5\) là \(v(5) = \left| {{h^\prime }(5)} \right| = |24,5 - 9,8.5| = 24,5(\;m/s)\)
Ông Năm gửi tiết kiệm 200 triệu đồng với lãi suất \(9,1\% /\) năm. Tính tổng số tiền vốn và lãi mà ông Năm nhận được sau một năm nếu tiền lãi được tính theo thể thức lãi kép với kì hạn 3 tháng (làm tròn đến chũ số thập phân thứ nhất).
Ta có: \(A = 200;r = 14\% \) và \(n = \frac{{12}}{3} = 4\).
Vậy tổng số tiền vốn và lãi mà ông Năm nhận được sau một năm nếu tiền lãi được tính theo thể thức lãi kép với kì hạn 3 tháng là \(T = A{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n} = 200 \cdot {\left( {1 + \frac{{9,1\% }}{4}} \right)^4} \approx 218,8\) triệu đồng.
