Đề kiểm tra Đạo hàm (có lời giải) - Đề 2

Tập xác định: \[D = R\backslash \{  - 1\} \]

Đặt \[f(x) = \frac{1}{{x + 1}}\] suy ra \[f'(x) = \frac{{ - 1}}{{{{(x + 1)}^2}}}\] \[f'( - 2) = \frac{{ - 1}}{{{{( - 1 + 1)}^2}}} =  - 1\].

Với \({x_0} > 0\) tùy ý, ta có

\[f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 1 - \frac{1}{x} - \left( { - 1 - \frac{1}{{{x_0}}}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x - {x_0}}}{{x.{x_0}\left( {x - {x_0}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{x.{x_0}}} = \frac{1}{{x_0^2}}\].

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm \({x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} = \frac{1}{{x_0^2}}\left( {x - {x_0}} \right) - 1 - \frac{1}{{{x_0}}}\).

Vì tiếp tuyến đi qua điểm \(\left( {4,0} \right)\) nên \(\frac{1}{{x_0^2}}\left( {4 - {x_0}} \right) - 1 - \frac{1}{{{x_0}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} =  - 1 + \sqrt 5 \\{x_0} =  - 1 - \sqrt 5 \end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{f^\prime }(0)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{x - 2}}{{x + 1}} - ( - 2)}}{x}}\\{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x}}{{x(x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{3}{{x + 1}} = 3.}\end{array}\)

Vậy \({f^\prime }(0) = 3\).

Từ ví dụ 4, ta có: \({f^\prime }(x) = {\left( {\frac{2}{{1 - x}}} \right)^\prime } = \frac{2}{{{{(1 - x)}^2}}}\) nên tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) có hệ số góc là: \({f^\prime }(3) = \frac{2}{{{{(1 - 3)}^2}}} = \frac{1}{2}\).

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) là: \(y - ( - 1) = \frac{1}{2}(x - 3) \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}\).

Đường thẳng \(d:x - 2y + 2 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + 1\) nên đường thẳng \(d\) có hệ số góc là \({k_d} = \frac{1}{2}\).

Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc \(k\) vuông góc với đường thẳng \(d\)

\( \Rightarrow k \cdot {k_d} =  - 1 \Rightarrow k =  - \frac{1}{{{k_d}}} =  - 2.{\rm{ }}\)

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình \({y^\prime } = k \Rightarrow \frac{{ - 8}}{{{{(x + 1)}^2}}} =  - 2 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x =  - 3}\end{array}} \right.\).

Với \(x = 1\), phương trình tiếp tuyến là \(y =  - 2x + 7\).

Với \(x =  - 3\), phương trình tiếp tuyến là \(y =  - 2x - 9\).

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là \({d_1}:y =  - 2x + 7;y =  - 2x - 9\).

Ta có: \[f(1) = 1\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^2} = 1\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }}  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2x - 1) = 1\].

Vậy hàm số liên tục tại \[{x_0} = 1\]. C đúng.

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 2\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(2x - 1) - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = 2\]

Vậy hàm số có đạo hàm tại \[{x_0} = 1\] và \[ \Rightarrow y' =  - 2\sin 2x \Rightarrow y'' =  - 4\cos 2x \Rightarrow y''\left( 0 \right) =  - 4\]

Vậy a sai.

Ta có: \({f^\prime }(x) = {\left( { - 2{x^3} + x} \right)^\prime } =  - 6{x^2} + 1\) nên hệ số góc của tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M( - 2;14)\) là: \({f^\prime }( - 2) =  - 6 \cdot {( - 2)^2} + 1 =  - 23\).

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M\) là:

\(y - 14 =  - 23(x + 2) \Leftrightarrow y =  - 23x - 32.{\rm{ }}\)

\({f^\prime }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - \sqrt 2 }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt 2 } \right)(x - 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 1}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt 2 } \right)}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Ta có: \(f(1) = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2x + 1) = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + bx + 1} \right) = b + 2\).

Hàm số \(f(x)\) có đạo hàm tại \(x = 1\) thì \(f(x)\) liên tục tại \(x = 1\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) \Rightarrow b + 2 = 3 \Rightarrow b = 1.{\rm{ }}\)Với \(b = 1\), thì \({f^\prime }\left( {{1^ + }} \right) = {f^\prime }\left( {{1^ - }} \right) = 3\).

Vậy \(b = 1\) thì hàm số đã cho có đạo hàm tại \(x = 1\).

Số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau một năm theo thể thức lãi kép với kì hạn 6 tháng là:

\(T = A \cdot {\left( {1 + \frac{r}{2}} \right)^2} = 100{(1 + 3,5\% )^2} = 107,123\) (triệu đồng)

Khi vật chạm đất thì \(h = 0 \Leftrightarrow 24,5t - 4,9{t^2} = 0 \Rightarrow t = 5\).

Ta có: \(v(t) = {h^\prime }(t) = 24,5 - 9,8t\) nên tốc độ của vật tại thời điểm nó chạm đất \(t = 5\) là \(v(5) = \left| {{h^\prime }(5)} \right| = |24,5 - 9,8.5| = 24,5(\;m/s)\)

Ta có: \(A = 200;r = 14\% \) và \(n = \frac{{12}}{3} = 4\).

Vậy tổng số tiền vốn và lãi mà ông Năm nhận được sau một năm nếu tiền lãi được tính theo thể thức lãi kép với kì hạn 3 tháng là \(T = A{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n} = 200 \cdot {\left( {1 + \frac{{9,1\% }}{4}} \right)^4} \approx 218,8\) triệu đồng.