Đề kiểm tra Đạo hàm (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Phương trình tiếp tuyến của parabol \[y = {x^2} - 1\] tại điểm có hoành độ \({x_0} = 2\) là
\(y = 4x + 5\).
\(y = - 4x - 5\).
\(y = 4x - 5\).
\(y = - 4x + 5\).
Ta có: \(f'(x) = 2x\); \(f(2) = 3\).
Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là \(k = f'(2) = 4\).
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y - 3 = 4(x - 2)\) hay \(y = 4x - 5\).
Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol \[y = {x^2} - 1\] tại điểm có hoành độ \({x_0} = - 1\) là
\(k = 2\).
\(k = - 2\).
\(k = 1\).
\(k = - 1\).
Ta có: \(f'(x) = 2x\).
Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là \(k = f'( - 1) = - 2\).
Đạo hàm của hàm số \(y = f(x) = - {x^2} + 3x + 8\) tại \({x_0} = 2\) là
\[0\].
\[2\].
\( - 1\).
\[1\].
Ta có: \[f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ - {x^2} + 3x - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)(1 - x)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (1 - x) = - 1\]
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 6x - 5\). Đạo hàm \(f'\left( {{x_0}} \right)\) tại điểm \({x_0}\) bất kì là
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 6{{\rm{x}}_0}\).
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 5\).
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 6\).
\(f'\left( {{x_0}} \right) = - 5\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
Với \({x_0}\) bất kì, ta có: \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{\rm{6x}} - 5 - \left( {6{x_0} - 5} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{6\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 6 = 6\).
Tìm hệ số góc \(k\)của tiếp tuyến của parabol \(y = f(x) = 3{x^2}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\).
\(k = 6\).
\(k = 6x\).
\(k = 3\).
\(k = 0\).
Ta có: \(f'(1){\rm{ }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3{x^2} - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3(x - 1)(x + 1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 3(x + 1) = 6.\)
Vậy hệ số góc tiếp tuyến của parabol \(y = f(x) = 3{x^2}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) là \(k = f'(1) = 6\).
Tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x) = 2x + 3\).
\(f'(x) = 2x\).
\(f'(x) = 2x + 3\).
\(f'(x) = 2\).
\(f'(x) = 5\).
Với \({x_0}\) bất kì, ta có: \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{(2x + 3) - (2{x_0} + 3)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2(x - {x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 2 = 2.\)
Vậy hàm số \(y = f(x) = 2x + 3\) có đạo hàm là hàm số \(y' = 2\)
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \(\left( P \right):y = f(x) = - {x^2} + 1\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = - 2\).
\(y = 4x + 8\).
\(y = 4x + 5\).
\(y = 4x\).
\(y = 4x - 11\).
Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( { - 2} \right)\left( {x + 2} \right) + f\left( { - 2} \right)\)
Ta có: \(f'( - 2){\rm{ }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{f(x) - f( - 2)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{ - {x^2} + 1 + 3}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{ - (x - 2)(x + 2)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} ( - x + 2) = 4.\)
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = 4(x + 2) + ( - 3)\) hay \(y = 4x + 5\).
Đạo hàm của hàm số \(y = f(x) = \sqrt {x - 3} \) tại \({x_0} = 4\) là
\[1\].
\[\frac{1}{2}\].
\[\frac{3}{2}\].
Không tồn tại.
Ta có: \[f'(4) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{f(x) - f(4)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {x - 3} - 1}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x - 4}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {\sqrt {x - 3} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{1}{{\sqrt {x - 3} + 1}} = \frac{1}{2}\]
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\] tại giao điểm với trục tung bằng
\( - 2\).
2.
1.
\( - 1\).
Tập xác định: \[D = R\backslash \{ - 1\} \]
Đặt \[y = f(x) = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\] suy ra \[y' = f'(x) = \frac{2}{{{{(x + 1)}^2}}}\]
Đồ thị hàm số cắt trục tung nên \[{x_0} = 0\]. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị là
\[k = f'(0) = \frac{2}{{{{(0 + 1)}^2}}} = 2\]
Tìm \[m\] để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {x^3} - m{x^2} + \left( {2m - 3} \right)x - 1\] đều có hệ số góc dương.
\(m \ne 0\).
\(m > 1\).
\(m \ne 1\).
\(m \in \emptyset \).
Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {x^3} - m{x^2} + \left( {2m - 3} \right)x - 1\] là
\[y' = 3{x^2} - 2mx + 2m - 3\]
Vì hệ số góc dương với mọi \(x\) nên ta có
\[y' = 3{x^2} - 2mx + 2m - 3 > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3 > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 9 < 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 3} \right)^2} < 0 \Rightarrow m \in \emptyset \]
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s\left( t \right) = - \frac{1}{3}{t^3} + 4{t^2} + 9t\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét. Tính quãng đường vật đi được từ lúc \(t = 0\) đến lúc chuyển động có vận tốc bằng không.
\(172\).
\(270\).
\[81\].
\(162\).
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm của quãng đường vt=s't=−t2+8t+9
Vận tốc bằng không khi:
\(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - {t^2} + 8t + 9 = 0\)\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 1\left( {ktm} \right)}\\{t = 9\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\)
Quãng đường vật chuyển động được đến thời điểm \(t = 9\) là:
\(s\left( t \right) = - \frac{1}{3}{.9^3} + {4.9^2} + 9.9 = 162\left( m \right)\)
Một chất điểm chuyển động có phương trình \(s\left( t \right) = - {t^3} + 3{t^2} + \left( {9 + m} \right)t + 2\), trong đó \(t > 0,\) \(t\) tính bằng giây và \(s\left( t \right)\) tính bằng mét, \(m\) là tham số không âm. Tìm giá trị của tham số \(m \ge 0\) để tại thời điểm vận tốc của chất điểm đạt lớn nhất có giá trị bé nhất?
\(m = 0\).
\(m = 1\)
\(m = 3\)
\(m = 2\)
Dùng định nghĩa ta tính được đạo hàm của hàm số \(s\left( t \right)\) tại \({t_0}\) là \(s'\left( {{t_0}} \right) = - 3t_0^2 + 6{t_0} + 9 + m.\)
Vậy vận tốc của chất điểm tại thời điểm \({t_0}\) là
\[v\left( {{t_0}} \right) = s'\left( {{t_0}} \right) = - 3{t_0}^2 + 6{t_0} + 9 + m = - 3{\left( {{t_0} - 1} \right)^2} + 12 + m \le 12 + m.\]
Dấu \('' = ''\) xảy ra \( \Leftrightarrow {t_0} = 1.\)
Vận tốc của vật đạt giá trị lớn nhất \(v\left( {{t_0}} \right) = 12 + m\) khi \({t_0} = 1\left( {\rm{s}} \right){\rm{.}}\)
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}v\left( 1 \right) = 12 + m\\m \ge 0\end{array} \right.\) nên \(v\left( 1 \right) = 12\) là bé nhất khi \(m = 0\).
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x) = {x^2} + 2x\) tại điểm \({x_0} = 1\). Khi đó:
\({f^\prime }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}\)
\({f^\prime }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}}\)
\({f^\prime }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 4} \right)\)
\({f^\prime }(1) = a \Rightarrow a > 5\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
\({\rm{ Ta c\'o : }}\begin{array}{*{20}{l}}{{f^\prime }(1)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}}}\\{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(x + 3)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 3) = 4}\end{array}\)
Vậy \({f^\prime }(1) = 4\).
Cho hàm số \(y = f(x) = 2{x^3}\) có đồ thị \((C)\) và điểm \(M\) thuộc \((C)\) có hoành độ \({x_0} = - 1\). Khi đó:
Hệ số góc của tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M\) bằng \(6\)
Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) đi qua điểm \(A\left( {0;4} \right)\)
Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) cắt đường thẳng \(d:y = 3x\) tại điểm có hoành độ bằng 4
Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta :y = - \frac{1}{6}x\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Ta có: \({f^\prime }(x) = {\left( {2{x^3}} \right)^\prime } = 6{x^2}\) nên tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) có hệ số góc là:
\({f^\prime }( - 1) = 6 \cdot {( - 1)^2} = 6.;f( - 1) = - 2\)
Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) là:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{y - f( - 1) = 6(x + 1)}&{ \Leftrightarrow y + 2 = 6(x + 1)}\\{}&{ \Leftrightarrow y = 6x + 4.}\end{array}\)
Tính được đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra. Khi đó:
\(y = {x^2} - x\) tại \({x_0} = 1\) có \({f^\prime }(1) = 1\)
\(y = \sqrt x \) tại \({x_0} = 1\) có \({f^\prime }(1) = 1\)
\(y = \frac{1}{{{x^2} + 1}}\) tại \({x_0} = 0\) có \({f^\prime }(0) = 0\)
\(y = \frac{1}{{x + 1}}\) tại \({x_0} = 2\) có \({f^\prime }(2) = - \frac{1}{9}\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a) \({f^\prime }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - x - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - x}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x = 1\).
b) \({f^\prime }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{1}{2}\).
c) \({f^\prime }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{{{x^2} + 1}} - f(0)}}{x} = = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{{{x^2} + 1}} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - x}}{{{x^2} + 1}} = 0\).
d) \({f^\prime }(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\frac{1}{{x + 1}} - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{3}}}{{x - 2}} = = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ - 1}}{{3(x + 1)}} = - \frac{1}{9}\).
Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{4}{{x - 1}}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = - 1\). Khi đó:
Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến bằng \(1.\)
Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm \(M\left( { - 1;2} \right)\)
Phương trình tiếp tuyến cắt đường thẳng \(y = 2x + 1\) tại điểm có hoành độ bằng \(\frac{4}{3}\)
Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y = x + 1\)
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có: \({y^\prime } = - \frac{4}{{{{(x - 1)}^2}}} \Rightarrow {y^\prime }( - 1) = - 1\).
Vì \({x_0} = - 1\) nên \({y_0} = - 2 \Rightarrow \) Tiếp điểm \(M( - 1; - 2)\).
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M( - 1; - 2)\) là \(y = - x - 3\).
Cho hàm số \(y = f(x) = - 2{x^3} + x\) có đồ thị \((C)\).
Tính hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm có hoành độ bằng 1 ;
Ta có: \({f^\prime }(x) = {\left( { - 2{x^3} + x} \right)^\prime } = - 6{x^2} + 1\) nên hệ số góc của tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm có hoành độ bằng 1 là: \({f^\prime }(1) = - 6 \cdot {(1)^2} + 1 = - 5\).
Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = 2{x^3} + 1\) tại \({x_0} = 2\).
\({\rm{ Ta c\'o }}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^3} - 16}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 2\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) = 24.\)
Vậy \({\rm{ }}{f^\prime }(2) = 24.{\rm{ }}\)
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} - 3\).
Tại điểm có hoành độ bằng \[ - 2\].
Ta có: \({x_0} = - 2 \Rightarrow {y_0} = {( - 2)^3} + 2 \cdot {( - 2)^2} - 3 = - 3\)
\({f^\prime }( - 2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^3} + 2{x^2}}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2}(x + 2)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {x^2} = 4\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = {y^\prime }\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} = 4(x + 2) - 3 = 4x + 5\).
Một người gửi tiết kiệm 20 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất \(6\% \) / năm theo thể thức lãi kép liên tục. Tính số tiền người đó nhận được sau: 1 tháng;
Ta có \(r = 6\% = 0,06;1\) tháng \( = \frac{1}{{12}}\) năm.
Công thức tính tổng số tiền lãi và vốn sau \(t\) năm là \(T = A \cdot {e^{rt}}\)
Số tiền người đó nhận được sau 1 tháng là \(S = {20.10^6} \cdot {e^{0,06 \cdot \frac{1}{{12}}}} \simeq 20100250\) đồng.
Số lượng vi khuẩn trong một phòng thí nghiệm \(A\) được tính theo công thức \(s(t) = s(0) \cdot {2^t}\), trong đó \(s(0)\) là số lượng vi khuẩn \(A\) lúc ban đầu, \(s(t)\) là số lượng vi khuẩn sau \(t\) phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn \(A\) là 625 nghìn con. Tính thời gian kể từ lúc ban đầu, số lượng loại vi khuẩn \(A\) là 20 triệu con?
Ta có \(s(3) = 625\) nghìn con \( \Rightarrow s(0) \cdot {2^3} = 625 \Rightarrow s(0) = \frac{{625}}{8}\) nghìn con.
Để số lượng vi khuẩn là 20 triệu con \( \Rightarrow s(0) \cdot {2^t} = 20000 \Rightarrow {2^t} = 20000:\frac{{625}}{8}\)
\( \Rightarrow {2^t} = {2^8} \Rightarrow t = 8\).
Vậy thời gian để số vi khuẩn đạt 20 triệu con là 8 phút.
Người ta sử dụng công thức \(S = A \cdot {e^{n \cdot r}}\) để dự báo dân số của một quốc gia, trong đó \(A\) là số dân của năm lấy làm mốc tính, \(S\) là số dân sau \(n\) năm và \(r\) là tî lệ gia tăng dân số hàng năm. Biết rằng năm 2001, dân số của Việt Nam là 78685800 người. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi là \(1,2\% \). Hãy tính xem dân số nước ta đạt 110 triệu người vào năm nào?
Theo công thức tăng trưởng mũ: \(S = A \cdot {e^{n \cdot r}}\)
\( \Rightarrow 110000000 = 78685800 \cdot {e^{1,2\% \cdot n}} \Leftrightarrow n = \frac{1}{{1,2\% }}\ln \frac{{110000000}}{{78685800}} \simeq 27,91\)
\( \Rightarrow \) Sau 28 năm thì dân số Việt Nam đạt 110 triệu người.
Vậy dân số nước ta đạt 110 triệu người vào năm 2029.
