Đề kiểm tra Đạo hàm (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Cho hàm số \[f\left( x \right) = 2x\]. Số gia \[\Delta y\] của hàm số ứng với số gia \[\Delta x\] tại điểm \[{x_0} = 1\] là
\[\Delta y = \Delta x\].
\[\Delta y = 2\Delta x\].
\[\Delta y = - 2\Delta x\].
\[\Delta y = - \Delta x\].
Xét \[\Delta x\]là số gia của biến số tại điểm \[{x_0} = 1\].
Ta có: \[\Delta y = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)\]\[ = 2\left( {1 + \Delta x} \right) - \left( {2.1} \right) = 2\Delta x\]
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên khoảng \[\left( {a;b} \right)\] và có đạo hàm tại điểm \[{x_0} \in \left( {a;b} \right)\]. Khi đó, đạo hàm của hàm số \[y = f\left( x \right)\] tại điểm \[{x_o}\]là kết quả của giới hạn nào sau đây?
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - {x_0}}}{{x - {x_0}}}\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( {{x_0}} \right) - f\left( x \right)}}{{x - {x_0}}}\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( {{x_0}} \right) + f\left( x \right)}}{{x + {x_0}}}\].
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm.
Cho hàm số \[f\left( x \right) = - {x^2}\]. Số gia \[\Delta y\] của hàm số ứng với số gia \[\Delta x\] tại điểm \[{x_0} = 3\] là
\[\Delta y = - \Delta x - 6\].
\[\Delta y = \Delta x\left( {6 + \Delta x} \right)\].
\[\Delta y = - \Delta x\left( {6 + \Delta x} \right)\].
\[\Delta y = - \Delta x\left( {6 - \Delta x} \right)\].
Xét \[\Delta x\]là số gia của biến số tại điểm \[{x_0} = 3\].
Ta có: \[\Delta y = f\left( {3 + \Delta x} \right) - f\left( 3 \right)\]\[ = - {\left( {3 + \Delta x} \right)^2} - \left( { - {3^2}} \right)\]\[ = - \Delta x\left( {6 + \Delta x} \right)\]
Cho hàm số \(y = {x^2} + 2x\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 2 là
4.
6.
8.
10.
Ta có \(y = {x^2} + 2x = f\left( x \right)\).
Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 2 có hệ số góc là:
\[y'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{x - 2}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 4} \right) = 6\].
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tạo điểm \({x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right)\). Khẳng định nào sau đây sai?
\[f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\].
\[f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\].
\[f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\].
\[f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( {x + {x_0}} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\].
Đáp án \(A\), \(B\) đúng vì theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm.
Đáp án \(C\) đúng vì đặt \(h = \Delta x = x - {x_0}\).
Đáp án \(D\) sai.
Số gia của hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3}\) ứng với \({x_0} = 2\) và \(\Delta x = 1\) bằng bao nhiêu?
\[ - 19\].
\[7\].
\[19\].
\[ - 7\].
Gọi \(\Delta x\) là số gia của đối số và \(\Delta y\) tương ứng là số gia của hàm số.
Ta có:
\(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = {\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^3} - {2^3} = x_0^3 + {\left( {\Delta x} \right)^3} + 3{x_0}\Delta x\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - 8\).
Với \({x_0} = 2\) và \(\Delta x = 1\) thì \(\Delta y = 19\).
Hãy lập tỉ số \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) của hàm số \(f\left( x \right) = 2x\left( {x - 1} \right)\)?
\[4{x_0} + 2\Delta x + 2\].
\[4{x_0} + 2{\left( {\Delta x} \right)^2} + 2\].
\[4{x_0} + 2\Delta x - 2\].
\[4{x_0}\Delta x + 2{\left( {\Delta x} \right)^2} - 2\Delta x\].
Ta có: \(f\left( x \right) = 2x\left( {x - 1} \right) = 2{x^2} - 2x\).
Gọi \(\Delta x\) là số gia của đối số và \(\Delta y\) tương ứng là số gia của hàm số.
\(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = 2{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^2} - 2\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - \left( {2x_0^2 - 2{x_0}} \right) = 4{x_0}\Delta x + 2{\left( {\Delta x} \right)^2} - 2\Delta x\)
\(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{4{x_0}\Delta x + 2{{\left( {\Delta x} \right)}^2} - 2\Delta x}}{{\Delta x}} = 4{x_0} + 2\Delta x - 2\).
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((0; + \infty )\). Phát biểu nào sau đây là đúng về định nghĩa đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \({x_0} = 3\).
\(f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - f\left( 3 \right)}}{x}\) nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn.
\(f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}}\) nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn.
\(f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x)}}{{x - 3}}\) nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn.
\(f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x)}}{x}\) nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn.
Đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \({x_0} = 3\) là \(f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}}\)
( nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn).
Tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x) = - 3x\) tại điểm \({x_0} = 7\).
\(f'(7) = 0\).
\(f'(7) = - 3x\).
\(f'(7) = - 21\).
\(f'(7) = - 3\).
Ta có: \(f'(7){\rm{ }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{f(x) - f(7)}}{{x - 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{ - 3x + 21}}{{x - 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{ - 3(x - 7)}}{{x - 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} ( - 3) = - 3.\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x) = - {x^2} + 4\) tại điểm \({x_0} = - 1\).
\(f'( - 1) = 2\).
\(f'( - 1) = 3\).
\(f'( - 1) = - 2x\).
\(f'( - 1) = 6\).
Ta có: \(f'( - 1){\rm{ }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x - ( - 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - {x^2} + 4 - 3}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - (x - 1)(x + 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} ( - x + 1) = 2.\)
Giả sử chi phí \(C\) (USD) để sản xuất \(Y\) máy tính là \(C\left( Y \right) = {Y^2} + 20Y + 300\). Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ \(Y\) sản phẩm lên \(Y + 1\) sản phẩm. Giả sử chi phí biên được xác định bởi hàm số \(C'\left( Y \right)\). Nếu tăng số lượng sản phẩm từ 100 lên 101 thì chi phí tăng theo là bao nhiêu?
220 USD.
200 USD.
210 USD.
230 USD.
Gọi \(\Delta Y\)là số gia của biến số tại điểm \(Y\)
Ta có \[\Delta C = C\left( {Y + \Delta Y} \right) - C\left( Y \right) = 2Y.\Delta Y + {\left( {\Delta Y} \right)^2} + 20\Delta Y\]
\( \Rightarrow \frac{{\Delta C}}{{\Delta Y}} = \frac{{2Y.\Delta Y + {{\left( {\Delta Y} \right)}^2} + 20\Delta Y}}{{\Delta Y}} = 2Y + \Delta Y + 20\)
\( \Rightarrow C'\left( Y \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta Y \to 0} \frac{{\Delta C}}{{\Delta Y}} = 2Y + 20\).
\( \Rightarrow C'\left( {100} \right) = 2.100 + 20 = 220\).
Nếu tăng số lượng sản phẩm từ 100 lên 101 thì chi phí tăng theo là 220 (USD).
Một vật chuyển động theo quy luật \(s\left( t \right) = {t^3} - 2{t^2} + 30t\) với \(t\)(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và \(s\)(mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng \(5\) giây kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động vận tốc nhỏ nhất của vật là bao nhiêu?
\[0(m/s)\].
\[\frac{4}{3}(m/s)\].
\[30(m/s)\].
\[\frac{{86}}{3}(m/s)\].
Gọi \[\Delta t\] là số gia của biến số tại \[{t_0}\]
\[\Delta s = {\left( {{t_0} + \Delta t} \right)^3} - 2{\left( {{t_0} + \Delta t} \right)^2} + 30\left( {{t_0} + \Delta t} \right) - \left( {{t_0}^3 - 2{t_0}^2 + 30{t_0}} \right)\]
\[ = \left( {{t_0}^3 + 3{t_0}^2\Delta t + 3{t_0}{{\left( {\Delta t} \right)}^2} + {{\left( {\Delta t} \right)}^3}} \right) - 2\left( {{t_0}^2 + 2{t_0}\Delta t + {{\left( {\Delta t} \right)}^2}} \right) + 30\Delta t - \left( {{t_0}^3 - 2{t_0}^2} \right)\].
\[\,\,\,\,\, = 3{t_0}^2\Delta t + 3{t_0}{\left( {\Delta t} \right)^2} + {\left( {\Delta t} \right)^3} + 30\Delta t - 4{t_0}\Delta t - 2{\left( {\Delta t} \right)^2}\]
\[\frac{{\Delta s}}{{\Delta t}}\, = 3{t_0}^2 + 3{t_0}\Delta t + {\left( {\Delta t} \right)^2} + 30 - 4{t_0} - 2\Delta t\].
\[v({t_0}) = s'({t_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left( {3{t_0}^2 + 3{t_0}\Delta t + {{\left( {\Delta t} \right)}^2} + 30 - 4{t_0} - 2\Delta t} \right) = 3{t_0}^2\, - 4{t_0}\, + 30(m/s).\]
Vận tốc của vật là: \(v\left( {{t_0}} \right) = s'\left( {{t_0}} \right) = 3{t_0}^2\, - 4{t_0} + 30 = 3{\left( {{t_0} - \frac{2}{3}} \right)^2} + \frac{{86}}{3} \ge \frac{{86}}{3}\), dấu bằng khi \[{t_0} = \frac{2}{3}\]
Vận tốc nhỏ nhất của vật là \(\frac{{86}}{3}\,\,m/s\).
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = 2{x^3}\). Khi đó:
Với bất kì \({x_0}\): \({f^\prime }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
\({f^\prime }(1) = - 6\)
\({f^\prime }(0) = 0\)
\[{f^\prime }(2) = 24\]
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Với bất kì \({x_0}{\rm{, ta c\'o : }}\begin{array}{*{20}{l}}{{f^\prime }\left( {{x_0}} \right)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2{x^3} - 2x_0^3}}{{x - {x_0}}}}\\{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x \cdot {x_0} + x_0^2} \right)}}{{x - {x_0}}}}\\{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2\left( {{x^2} + x \cdot {x_0} + x_0^2} \right)}}{1} = 6x_0^2.}\end{array}\)
Vậy \({f^\prime }(x) = {\left( {2{x^3}} \right)^\prime } = 6{x^2}\) trên \(\mathbb{R}\).
Cho hàm số \(y = {x^2} + 3x + 1\) có đồ thị \((C)\). Viết được phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại giao điểm của \((C)\) với trục tung. Khi đó:
Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến bằng \(3.\)
Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\)
Phương trình tiếp tuyến cắt đường thẳng \(y = 2x + 1\) tại điểm có hoành độ bằng \(0\)
Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y = - \frac{1}{3}x + 1\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Với \({x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 1\)
Ta có \({f^\prime }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x + 3) = 3\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 3x + 1\)
Cho hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}{\rm{ khi }}x \ge 0\\ax + b{\rm{ khi }}x < 0\end{array} \right.\] . Khi đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = b\)
Hàm số liên tục tại \(x = 0 \Leftrightarrow b = 1\)
Hàm số có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) khi \(a = 1,b = 1\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 1 = f(0);\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = b\)
Hàm số liên tục tại \(x = 0 \Leftrightarrow b = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = - 1\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} a = a\)
Hàm số có đạo hàm tại điểm \(x = 0 \Leftrightarrow a = - 1\)
Vậy\(a = - 1,b = 1\) là giá trị cần tìm.
Cho hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{2}{\rm{ khi }}x \le 1\\ax + b{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.\]. Biết hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\). Khi đó:
\(a > 0\)
\(b > 0\)
\(a + b = \frac{1}{2}\)
\(a - b = 2\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Hàm số liên tục tại \(x = 1\) nên ta có \[a + b = \frac{1}{2}\].
Hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\) nên giới hạn 2 bên của \[\frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\] bằng nhau và ta có:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ax + b - \left( {a.1 + b} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{a\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} a = a\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x + 1} \right)}}{2} = 1\]
Vậy \(a = 1;b = - \frac{1}{2}\).
Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{{x + 1}}{{3x}}\) có đồ thị \((C)\).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \((C)\) tại giao điểm của \((C)\) với trục hoành.
Toạ độ giao điểm của \((C)\) với trục hoành là điểm \(( - 1;0)\).
Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(( - 1;0)\) là:
\(y - 0 = {f^\prime }( - 1)(x + 1) \Leftrightarrow y = - \frac{1}{3}(x + 1) \Leftrightarrow y = - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}.\)
Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {{x^3} + {x^2} + 1} - 1}}{x}}&{{\rm{ khi }}x \ne 0}\\0&{{\rm{ khi }}x = 0}\end{array}} \right.\) tại \(x = 0\).
Ta có: \(f(0) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^3} + {x^2} + 1} - 1}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^3} + {x^2} + 1} + 1}} = \frac{1}{2}\).
Vậy \({f^\prime }(0) = \frac{1}{2}\).
Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2} + x + |x + 1|}}{x}\) tại \({x_0} = - 1\).
Ta có: \(\frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + x + |x + 1|}}{{x(x + 1)}}\)
Nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x(x + 1)}} = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x(x + 1)}} = 2\).
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}}\).
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm \({x_0} = - 1\).
Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s(t) = \frac{1}{2}{t^2}\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây và \(s\) là quãng đường đi được trong \(t\) giây tính bằng mét. Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại \(t = 5\).
Vận tốc tức thời của chất điểm tại \(t = 5\) là:
\({s^\prime }(5) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{s(t) - s(5)}}{{t - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{\frac{1}{2}{t^2} - \frac{{25}}{2}}}{{t - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{\frac{1}{2}(t - 5)(t + 5)}}{{t - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{1}{2}(t + 5) = 5.{\rm{ }}\)
Vậy \(v(5) = {s^\prime }(5) = 5(\;m/s)\).
Một quả bóng được thả rơi tự do từ đài quan sát trên sân thượng của toà nhà Landmark 81 (Thành phố Hồ Chí Minh) cao \(461,3\;m\) xuống mặt đất, với phương trình chuyển động \(s(t) = 4,9{t^2}\). Tính vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất, bỏ qua sức cản không khí. (Đơn vị \(m/s\), kết quả gần đúng làm tròn đến hàng phần chục)
Với bất kì \({t_0}\), ta có:
\({s^\prime }\left( {{t_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{s(t) - s\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{4,9{t^2} - 4,9t_0^2}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} 4,9\left( {t + {t_0}} \right) = 9,8{t_0}.\)
Do đó, vận tốc của quả bóng tại thời điểm \(t\) là \(v(t) = {s^\prime }(t) = 9,8t\).
Mặt khác, vì chiều cao của toà tháp là \(461,3\;m\) nên quả bóng sẽ chạm đất tại thời điểm \({t_1}\).
Từ đó, ta có: \(4,9t_1^2 = 461,3 \Leftrightarrow {t_1} = \sqrt {\frac{{461,3}}{{4,9}}} \) (giây).
Vậy vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất là:
\(v\left( {{t_1}} \right) = 9,8{t_1} = 9,8 \cdot \sqrt {\frac{{461,3}}{{4,9}}} \approx 95,1(\;m/s).\)
Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là \(400\;m\). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá 10° (độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến chũ số thập phân thứ nhất).
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ, sao cho đỉnh cầu là gốc tọa độ và mặt cắt của cây cầu có hình dạng parabol \(y = - a{x^2}\) (với \(a\) là hằng số dương).
Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol bằng \(k = {y^\prime }\left( {{x_0}} \right) = - 2a{x_0}, - 200 \le {x_0} \le 200\).
Hệ số góc xác định độ dốc của mặt cầu (độ dốc dương) là \(|k| = 2a|x| \le 400a\).
Vì độ dốc của mặt cầu không vượt quá 10° nên ta có:
400a≤tan10°⇔a≤4,40817451810000.
Chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là đoạn \(OI\), cũng chính là độ lớn của tung độ điểm \(B\) khi a đạt giá trị lớn nhất.
Do đó, OI=−a⋅2002=17,6( m).
Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là \(17,6\;m\).
