Đề kiểm tra Đạo hàm (có lời giải) - Đề 1

Gọi \(\Delta Y\)là số gia của biến số tại điểm \(Y\)

Ta có \[\Delta C = C\left( {Y + \Delta Y} \right) - C\left( Y \right) = 2Y.\Delta Y + {\left( {\Delta Y} \right)^2} + 20\Delta Y\]

\( \Rightarrow \frac{{\Delta C}}{{\Delta Y}} = \frac{{2Y.\Delta Y + {{\left( {\Delta Y} \right)}^2} + 20\Delta Y}}{{\Delta Y}} = 2Y + \Delta Y + 20\)

\( \Rightarrow C'\left( Y \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta Y \to 0} \frac{{\Delta C}}{{\Delta Y}} = 2Y + 20\).

\( \Rightarrow C'\left( {100} \right) = 2.100 + 20 = 220\).

Gọi \[\Delta t\] là số gia của biến số tại \[{t_0}\]

\[\Delta s = {\left( {{t_0} + \Delta t} \right)^3} - 2{\left( {{t_0} + \Delta t} \right)^2} + 30\left( {{t_0} + \Delta t} \right) - \left( {{t_0}^3 - 2{t_0}^2 + 30{t_0}} \right)\]

\[ = \left( {{t_0}^3 + 3{t_0}^2\Delta t + 3{t_0}{{\left( {\Delta t} \right)}^2} + {{\left( {\Delta t} \right)}^3}} \right) - 2\left( {{t_0}^2 + 2{t_0}\Delta t + {{\left( {\Delta t} \right)}^2}} \right) + 30\Delta t - \left( {{t_0}^3 - 2{t_0}^2} \right)\].

\[\,\,\,\,\, = 3{t_0}^2\Delta t + 3{t_0}{\left( {\Delta t} \right)^2} + {\left( {\Delta t} \right)^3} + 30\Delta t - 4{t_0}\Delta t - 2{\left( {\Delta t} \right)^2}\]

\[\frac{{\Delta s}}{{\Delta t}}\, = 3{t_0}^2 + 3{t_0}\Delta t + {\left( {\Delta t} \right)^2} + 30 - 4{t_0} - 2\Delta t\].

\[v({t_0}) = s'({t_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left( {3{t_0}^2 + 3{t_0}\Delta t + {{\left( {\Delta t} \right)}^2} + 30 - 4{t_0} - 2\Delta t} \right) = 3{t_0}^2\, - 4{t_0}\, + 30(m/s).\]

Vận tốc của vật là: \(v\left( {{t_0}} \right) = s'\left( {{t_0}} \right) = 3{t_0}^2\, - 4{t_0} + 30 = 3{\left( {{t_0} - \frac{2}{3}} \right)^2} + \frac{{86}}{3} \ge \frac{{86}}{3}\), dấu bằng khi \[{t_0} = \frac{2}{3}\]

Với bất kì \({x_0}{\rm{, ta c\'o : }}\begin{array}{*{20}{l}}{{f^\prime }\left( {{x_0}} \right)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2{x^3} - 2x_0^3}}{{x - {x_0}}}}\\{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x \cdot {x_0} + x_0^2} \right)}}{{x - {x_0}}}}\\{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2\left( {{x^2} + x \cdot {x_0} + x_0^2} \right)}}{1} = 6x_0^2.}\end{array}\)

Vậy \({f^\prime }(x) = {\left( {2{x^3}} \right)^\prime } = 6{x^2}\) trên \(\mathbb{R}\).

Với \({x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 1\)

Ta có \({f^\prime }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x + 3) = 3\)

Hàm số liên tục tại \(x = 1\) nên ta có \[a + b = \frac{1}{2}\].

Hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\) nên giới hạn 2 bên của \[\frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\] bằng nhau và ta có:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ax + b - \left( {a.1 + b} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{a\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} a = a\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x + 1} \right)}}{2} = 1\]

Toạ độ giao điểm của \((C)\) với trục hoành là điểm \(( - 1;0)\).

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(( - 1;0)\) là:

\(y - 0 = {f^\prime }( - 1)(x + 1) \Leftrightarrow y =  - \frac{1}{3}(x + 1) \Leftrightarrow y =  - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}.\)

Ta có: \(f(0) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^3} + {x^2} + 1}  - 1}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^3} + {x^2} + 1}  + 1}} = \frac{1}{2}\).

Vậy \({f^\prime }(0) = \frac{1}{2}\).

Ta có: \(\frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + x + |x + 1|}}{{x(x + 1)}}\)

Nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x(x + 1)}} = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x(x + 1)}} = 2\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}}\).

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm \({x_0} =  - 1\).

Vận tốc tức thời của chất điểm tại \(t = 5\) là:

\({s^\prime }(5) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{s(t) - s(5)}}{{t - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{\frac{1}{2}{t^2} - \frac{{25}}{2}}}{{t - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{\frac{1}{2}(t - 5)(t + 5)}}{{t - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{1}{2}(t + 5) = 5.{\rm{ }}\)

Vậy \(v(5) = {s^\prime }(5) = 5(\;m/s)\).

Với bất kì \({t_0}\), ta có:

\({s^\prime }\left( {{t_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{s(t) - s\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{4,9{t^2} - 4,9t_0^2}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} 4,9\left( {t + {t_0}} \right) = 9,8{t_0}.\)

Do đó, vận tốc của quả bóng tại thời điểm \(t\) là \(v(t) = {s^\prime }(t) = 9,8t\).

Mặt khác, vì chiều cao của toà tháp là \(461,3\;m\) nên quả bóng sẽ chạm đất tại thời điểm \({t_1}\).

Từ đó, ta có: \(4,9t_1^2 = 461,3 \Leftrightarrow {t_1} = \sqrt {\frac{{461,3}}{{4,9}}} \) (giây).

Vậy vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất là:

\(v\left( {{t_1}} \right) = 9,8{t_1} = 9,8 \cdot \sqrt {\frac{{461,3}}{{4,9}}}  \approx 95,1(\;m/s).\)

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ, sao cho đỉnh cầu là gốc tọa độ và mặt cắt của cây cầu có hình dạng parabol \(y =  - a{x^2}\) (với \(a\) là hằng số dương).

Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol bằng \(k = {y^\prime }\left( {{x_0}} \right) =  - 2a{x_0}, - 200 \le {x_0} \le 200\).

Hệ số góc xác định độ dốc của mặt cầu (độ dốc dương) là \(|k| = 2a|x| \le 400a\).

Vì độ dốc của mặt cầu không vượt quá ${10}^{°}$ nên ta có:

$400a\le \tan {10}^{°}\iff a\le \frac{4,408174518}{10000}.$

Chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là đoạn \(OI\), cũng chính là độ lớn của tung độ điểm \(B\) khi a đạt giá trị lớn nhất.

Do đó, $OI=\left|-a\cdot {200}^2\right|=17,6( m)$.

Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là \(17,6\;m\).