150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân nâng cao (P3)

Chọn B.

TH1: Nếu $a\ge 1$  khi đó

TH2: Nếu 0 < a < 1 khi đó
 

Khi đó $f\left(8\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{11}{3}+\frac{1}{8}=\frac{91}{24}$

Chọn A.

Cho $2^x-2^{-x}=0\iff \frac{2^{2x}-1}{2^x}=0\iff 2^{2x}=1\iff x=0$

Khi đó 

Chọn D.

Nhận xét $\left|x+1\right|=\left\{\begin{array}{l}x+1, -1\le x\le 2\\ -x-1 -2\le x\le -1\end{array}\right.$ Do đó

Chọn C.

Áp dụng phương pháp đồng nhất hệ số ta có:

Vậy $\frac{1}{2}$ a + b = 1.

Chọn A.

Đặt $t=\sqrt{2x+1}\Rightarrow t^2=2x+1\iff x=\frac{t^2-1}{2}\Rightarrow tdt=dx$

x = 4 => t = 3

x = 0 => t = 1

Chọn C.

Đặt x = sint khi đó dx = costdt

Đổi cận: với x=0=>t=0; $x=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow t=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

Ta có:

Chọn C.

Đặt

 $$\begin{gathered} u=\sqrt{x^2+1}\Rightarrow u^2=x^2+1\Rightarrow udu=xdx \\ x=0\Rightarrow u=1; \\ x=\sqrt{3}\Rightarrow u=2 \end{gathered}$$

Chọn A.

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=3+\ln x\\ dv=\frac{dx}{{\left(x+1\right)}^2}\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\frac{dx}{x}\\ v=\frac{-1}{x+1}\end{array}\right.\right.$

=$\frac{3-\ln 3}{4}+\ln \frac{3}{2}$

Chọn B

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x-2\\ dv=e^{2x+1}\end{array}\right.$ ta chọn $\left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=\frac{1}{2}{e}^{2x+1}\end{array}\right.$

Chọn D.

Ta có: 

$$\begin{gathered} \frac{1}{x{\left(x+1\right)}^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{\left(x+1\right)}+\frac{C}{{\displaystyle {\left(x+1\right)}^2}} \\ \iff 1=A{\left(x+1\right)}^2+Bx\left(x+1\right)+Cx (*) \end{gathered}$$

Cách 1:

$(*)\iff 1=\left(A+B\right)x^2+\left(2A+B+C\right)x+A.$

$\forall x\ne \left\{-1;0\right\}$ ta có hệ sau:

Cách 2:

Cho x = 0: thay vào (*) ta được: A = 1

Với A = 1 và cho x = -1: thay vào (*) ta được: C = -1.

Với A = 1 và C = -1, ta cho x = 1 => B = -1.

$\Rightarrow \frac{1}{x{\left(x+1\right)}^2}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$

Vậy 

Chọn C.

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(x+2\right)\\ dv=\left(2x^2+x+1\right)dx\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\frac{1}{x+2}dx\\ v=\frac{2}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+x\end{array}\right.\right.$

Chọn A.

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(x+1\right)\\ dv=x^{2}dx\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\frac{1}{x+1}dx\\ v=\frac{x^3}{3}\end{array}\right.\right.$

Tính

Chọn A.

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=-cotx\end{array}\right.\right.$, ta có

$$\begin{gathered} \Rightarrow m=\frac{1}{4}; n=\frac{1}{2} \\ P=2m+n=2.\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=1 \end{gathered}$$

Chọn D.

Chọn D.

Tính $I={\int }_{\frac{1}{2}}^3\frac{dx}{\left(x+1\right)\sqrt{2x+3}}$

Đặt $t=\sqrt{2x+3}\Rightarrow t^2=2x+3\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2tdt=2dx\\ x=\frac{t^2-3}{2}\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}dx=tdt\\ x+1=\frac{t^2-1}{2}\end{array}\right.\right.$

Vậy: m = 2, n = -1, T = 3.2 - 1 = 5.

Chọn D.

Xét $I={\int }_0^{1}f\text{'}\left(\sqrt{x}\right)dx$.

 Đặt $t=\sqrt{x}\to t^2=x\to 2tdt=dx$

Đổi cận  $\left\{\begin{array}{l}x=0\to t=0\\ x=1\to t=1\end{array}\right.$. Khi đó $I=2{\int }_0^{1}tf\text{'}\left(t\right)dt=2A$

Tính  $A={\int }_0^{1}tf\text{'}\left(t\right)dt$. Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=t\\ dv=f\text{'}\left(t\right)dt\end{array}\to \left\{\begin{array}{l}du=dt\\ v=f\left(t\right)\end{array}\right.\right.$

Khi đó 

Chọn C.

Đặt  $t=f\left(x\right)\to dt=f\text{'}\left(x\right)dx$. Đổi cận: $\left\{\begin{array}{l}x=2016\to t=f\left(2016\right)=a\\ x=2017\to t=f\left(2017\right)=b\end{array}\right.$

Khi đó 

Chọn C

Ta có 

Đặt t=2x suy ra dt=2dx . Đổi cận: $\left\{\begin{array}{l}x=0\to t=0\\ x=1\to t=2\end{array}\right.$

Khi đó $I={\int }_0^{2}f\left(t\right)dt={\int }_0^{2}f\left(x\right)dx=3$

Chọn A.

Từ giả thiết, suy ra $f\left(a-x\right)=\frac{1}{f\left(x\right)}$

Đặt t = a - x suy ra dt = -dx . Đổi cận: $\left\{\begin{array}{l}x=0\to t=a\\ x=a\to t=0\end{array}\right.$

Khi đó

Gọi F(t) là một nguyên hàm của hàm số $\frac{f\left(t\right)}{t^2}$ trên đoạn [a; x].

Khi đó ta có

$\Rightarrow F\text{'}\left(x\right) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Suy ra

Suy ra $2\sqrt{x}-2\sqrt{a}=2\sqrt{x}-6\iff a=9$

Chọn A

Đặt $J={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{e^x.\cos x}{1+\sin 2x}dx$

Ta xét hệ: