150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản (P5)

Chọn D

Đặt

$\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=e^{2x}dx\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=\frac{1}{2}{e}^{2x}\end{array}\right.\right.$

Khi đó 

$$\begin{gathered} {\int }_0^{1}x.e^{2x}dx=\frac{1}{2}x.e^{2x}{|}_0^1-\frac{1}{2}{\int }_0^1{e}^{2x}dx \\ =\frac{1}{2}x.e^{2x}{|}_0^1-\frac{1}{4}{e}^{2x}{|}_0^1 \\ =\frac{1}{2}{e}^2-\frac{1}{4}{e}^2+\frac{1}{4}=\frac{1+e^2}{4} \end{gathered}$$

Chọn A

Đặt

$\left\{\begin{array}{l}u=x^2\\ dv=\cos xdx\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=2xdx\\ v=\sin x\end{array}\right.\right.$

$$\begin{gathered} {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{x}^2\cos xdx=x^2\sin x{|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}-2{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}x\sin xdx \\ =\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{4}-2{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}x\sin xdx \end{gathered}$$

* Tính: $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}x \sin xdx$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=\sin xdx\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=-\cos x\end{array}\right.\right.$

$$\begin{gathered} I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}x\sin xdx=-xcos x{|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}+{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos xdx \\ =-x.\cos x{|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}+\sin x{|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}=1 \end{gathered}$$

Thế I = 1 vào C ta được ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{x}^2 \cos xdx=\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{4}-2$

Chọn C

Đặt

$\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=\sin xdx\end{array}\Rightarrow \right.\left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=-\cos x\end{array}\right.$

Do đó 

$$\begin{gathered} I= {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}x \sin xdx \\ =\left(-x\cos x\right){|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}+{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos xdx \\ =0+\sin x{|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}=1 \end{gathered}$$

Chọn D

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln (x+1)\\ dv=xdx\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\frac{1}{x+1}dx\\ v=\frac{x^2-1}{2}\end{array}\right.\right.$

$$\begin{gathered} I={\int }_0^{e-1}x\ln (x+1)dx \\ =\left[\ln (x+1)\frac{x^2-1}{2}\right]{|}_0^{e-1}-\frac{1}{2}{\int }_0^{e-1}(x-1)dx \\ =\frac{e^2-2e}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{2}-x\right){|}_0^{e-1} \\ =\frac{e^2-2e}{2}-\frac{1}{2}\frac{e^2-4e+3}{2}=\frac{e^2-3}{4} \end{gathered}$$

Chọn C

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=2x+3\\ dv=\sin 4x.dx\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=2.dx\\ v=-\frac{1}{4}\cos 4x.dx\end{array}\right.\right.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow I=\left(-\frac{1}{4}(2x+3)\cos 4x\right){|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}+\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\cos 4xdx \\ =\left(-\frac{1}{4}(2x+3)\cos 4x+\frac{1}{2}.\frac{1}{4}.\sin 4x\right){|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}=\frac{\mathrm{\pi }}{8}+\frac{3}{2} \end{gathered}$$

Chọn D

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=\cos x dx\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=\sin x\end{array}\right.\right.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow I=x\sin x{|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}-{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin xdx \\ =\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\cos x{|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-1 \end{gathered}$$

Chọn C

$$\begin{gathered} I={\int }_0^{\mathrm{\pi }}{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}xdx \\ =\frac{1}{4}{\int }_0^{\mathrm{\pi }}{\sin }^{2}2xdx \\ =\frac{1}{8}{\int }_0^{\mathrm{\pi }}\left(1-\cos 4x\right)dx \\ =\frac{1}{8}\left(x-\frac{1}{4}\sin 4x\right){|}_0^{\mathrm{\pi }}=\frac{\mathrm{\pi }}{8} \end{gathered}$$

Chọn A

$I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\sin }^{2}x{\cos }^{3}xdx={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\cos xdx$

Đặt $t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx$; Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$; $x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}\Rightarrow t=1$

Do đó $I={\int }_0^1{t}^2\left(1-t^2\right)dt={\int }_0^1\left(t^2-t^4\right)dt=\left(\frac{t^3}{3}-\frac{t^5}{5}\right)|\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}=\frac{2}{15}$

Chọn D

$$\begin{gathered} I=\frac{1}{2}{\int }_{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\left(\cos x-\cos 5x\right)dx \\ =\frac{1}{2}\left(\sin x-\frac{1}{5}\sin 5x\right){|}_{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}=\frac{4}{5} \end{gathered}$$

Chọn B

Ta có: 

$$\begin{gathered} {\cos }^{4}2x=\frac{1}{4}(1+2\cos 4x+{\cos }^{2}4x) \\ =\frac{1}{8}(3+4\cos 4x+\cos 8x) \end{gathered}$$

Nên 

$$\begin{gathered} I=\frac{1}{8}{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}(3+4\cos 4x+\cos 8x)dx \\ =\frac{1}{8}\left(3x+\sin 4x+\frac{1}{8}\sin 8x\right){|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}=\frac{3\mathrm{\pi }}{32} \end{gathered}$$

Chọn C

Ta có 

$$\begin{gathered} \frac{x^2}{x^2-3x+2}=1+\frac{3}{2}\frac{2x-3}{x^2-3x+2}+\frac{5}{2}\frac{1}{x^2-3x+2} \\ =1+\frac{3}{2}\frac{2x-3}{x^2-3x+2}+\frac{5}{2}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}\right) \end{gathered}$$

Suy ra 

$$\begin{gathered} I=\left(x+\frac{3}{2}\ln \left|x^2-3x+2\right|+\frac{5}{2}\ln \left|\frac{x-2}{x-1}\right|\right){|}_3^4 \\ =1+\frac{3}{2}\ln 3+\frac{5}{2}\ln \frac{4}{3} \end{gathered}$$

Chọn D

Ta có: $x^3-3x+2={(x-1)}^2(x+2)$

$$\begin{gathered} 2x+3=a{(x-1)}^2+b(x+2)(x-1)+c(x+2) \\ \iff 2x+3=(a+b)x^2+(c-2a+b)x+a-2b+2c \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{c}a+b=0\\ -2a+b+c=2\\ a-2b+2c=3\end{array}\right. \\ \iff a=-\frac{1}{9},b=\frac{1}{9},c=\frac{5}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} J={\int }_2^3\left[-\frac{1}{9}\frac{1}{x+2}+\frac{1}{9}\frac{1}{x-1}+\frac{5}{3}\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}\right]dx \\ =\left(\frac{1}{9}\ln \left|\frac{x-1}{x+2}\right|-\frac{5}{3(x-1)}\right){|}_2^3=\frac{1}{9}\ln \frac{8}{5}+\frac{5}{6} \end{gathered}$$

Chọn D

Đặt $t=\sqrt[3]{2x+2}\iff t^3=2x+2$$\iff x=\frac{t^3-2}{2}\Rightarrow dx=\frac{3}{2}{t}^{2}dt$

Đổi cận: $x=-\frac{1}{2}\Rightarrow t=1$; $x=3\Rightarrow t=2$

Ta có: $I={\int }_1^2\frac{(t^3-2)}{2t}.\frac{3}{2}{t}^{2}dt={\int }_1^2\left(\frac{3}{4}{t}^4-\frac{3}{2}t\right)dt$$=\left(\frac{3}{20}{t}^5-\frac{3}{4}{t}^2\right){|}_1^2=\left(\frac{24}{5}-3\right)-\left(\frac{3}{20}-\frac{3}{4}\right)=\frac{12}{5}$

Chọn D

D quay xung quanh trục Oy

Ta có: $y={(x-2)}^2\iff x-2=\pm \sqrt{y}$$\iff x=2\pm \sqrt{y}$

$$\begin{gathered} V=\mathrm{\pi }{\int }_0^4\left[{\left(2+\sqrt{\mathrm{y}}\right)}^2-{\left(2-\sqrt{\mathrm{y}}\right)}^2\right]\mathrm{dy} \\ =8\mathrm{\pi }.{\int }_0^4\sqrt{\mathrm{y}}\mathrm{dy}=8\mathrm{\pi }.\frac{2}{3}{\mathrm{y}}^{\frac{3}{2}}{|}_0^{\mathrm{\pi }}=\frac{128\mathrm{\pi }}{3} đvtt \end{gathered}$$

Ta có

Vậy S =8  (đvdt).

Chọn A.

Ta có $x^3\ge 0$ trên đoạn[ 1;3] nên 

Chọn C

Ta có trên [-2;0] , $x^3\le 0$ . Trên [0; 2], $x^3\ge 0$

Chọn C

= 1,5 + ln2

Chọn C

Chọn A

Ta có diện tích cần tính là:

Mà 

nên ta có bảng xét dấu 

Do vậy 

=12 (đvdt)

Chọn C

Diện tích cần tính là:

Chọn B

$=e^2+\frac{2}{e}-\frac{3}{2} \left(đvdt\right)$

Chọn A

Chọn B

Đồ thị hàm số y = x³ - x; y = x - x² .Đặt f₁(x) = x³ - x, f₂(x) = x - x²

Ta có f₁(x) - f₂(x) = 0 <=> x³ + x² - 2x = 0 có 3 nghiệm x = -2; x = 0 ; x = 1

Vậy : Diện tích hình phẳng đã cho là :

=$\frac{37}{12}$

Ta có $\sqrt{x}\ge 0$ trên đoạn [1;4] nên 

\

Chọn D

Ta có $\sqrt[3]{x}\ge 0$  trên đoạn [1 ; 8] nên 

Chọn B

D quay xung quanh trục Ox

Chọn D

Chọn A

Ta có $\sin x\le 0$ trên đoạn $\left[\mathrm{\pi };\frac{3\mathrm{\pi }}{2}\right]$

Chọn D

Chọn B