100 câu trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ nâng cao (P4)

Chọn C.

Theo đầu bài ta có; b(b² - a²) = c(c² - a²)

Hay b³ - c³ = a²(b - c)

Mà b - c ≠ 0 nên b² + bc + c² = a²

Theo định lí côsin thì a² = b² + c² - 2bccosA

Do đó: b² + bc + c² = b² + c² - 2bccosA

Suy ra: cos A = - ½  hay góc A bằng 120⁰.

Do đó tam giác ABC tù

Chọn D.

Ta có:

Vậy  sin C = cosA + cos B khi và chỉ khi

Hay 

cS= (a+b)(p-a)(p-b)

$$\begin{gathered} c^2.p.\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)={(a+b)}^2{\left(p-a\right)}^2{\left(p-b\right)}^2 \\ \iff c^2.p.\left(p-c\right)={(a+b)}^2\left(p-a\right)\left(p-b\right) \end{gathered}$$

Nên c²[(a + b) ² - c²]= (a + b)²[ c² - (a - b)²]

Do đó; c⁴ = (a² - b²) ²

Suy ra a² = b² + c² hoặc b² = c² + a²

Suy ra; tam giác ABC vuông tại A hoặc B.

Chọn D.

Ta có: AB² + CD² - BC² - AD²

Do 2  đường chéo AC và BD vuông góc với nhau nên =$\overrightarrow{0}$

Từ đó; AB² + CD² - BC² - AD² = 0 hay AB² + CD² = BC² + AD²

Chọn C

Theo đầu bài ta có: AC² + BD² = AD² + BC² nên AC² - AD² = BC² - BD²

Suy ra: 

Hay

Tương đương 

Chọn D.

Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{x}; \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{y}$$\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right)$

Do AB và AD vuông góc với nhau và AB = AD nên $\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y}=\overrightarrow{0}; {\overrightarrow{x}}^2={\overrightarrow{y}}^2$ 

Khi đó :

Ta có

Mặt khác

Vậy tam giác BMN vuông cân tại đỉnh M.

Chọn C.

Ta có

Do AM và PN vuông góc với nhau nên 

Chọn B.

Xét đáp án B

Đặt  và BA = a; BC = b và BK = c.

Do M là trung điểm của AK nên ,

Do đó $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{b}-\frac{\overrightarrow{c}}{2}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\right)=\frac{1}{4}\left(2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}+2.\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}-{\overrightarrow{c}}^2\right)$

Vì  và  nên 

Suy ra MN và BM vuông góc với nhau

Do đó góc BMN bằng 90⁰.

Chọn C.

Do I là trung điểm của DC nên ta có:

Lại có:

suy ra

Vậy AI ⊥ BD.

Chọn B.

Ta có:  = AB. AC.cos BAC

Mà: 

Suy ra: 

Chọn C.

Điểm D nằm trên trục Ox nên D( x; 0)

Mà: DA = DB ⇔DA² = DB²

⇔ (2 – x)² + 4² = (1 – x)² + 2²

⇔ 4 – 4x + x² + 16 = 1 – 2x + x² + 4

⇔ -2x = -15 ⇔x = 15/2. Suy ra: 

Chọn C.

Điểm M ∈ Ox ⇒ M(x; 0).

Khi đó 

ΔMAB vuông tại M nên 

Hay (–3 – x)(4 – x) + 2.3 = 0

⇔ –12 + 3x – 4x + x² + 6 = 0

⇔ x² – x – 6 = 0 ⇔ .

Vậy: M₁(3; 0), M₂(-2; 0) và tổng hoành độ của chúng là : 3 + (-2) = 1.

Chọn D.

Điểm N ∈ Oy nên tọa độ điểm N(0; y).

Khi đó 

Mà tam giác NAB cân tại N nên  NA = NB ⇒ NA² = NB²

⇔  (-3)² + (2 – y)² = 4² + (3 – y)²

9 + 4 – 4y + y² = 16 + 9 – 6y + y²

⇔ 2y = 12 ⇔ y = 6

Vậy: N(0; 6).

Đáp án đúng là: D

Gọi H(x; y) là trực tâm của tam giác ABC.

Ta có $\overrightarrow{CH}\left(x-2;y-4\right);\overrightarrow{AB}\left(4;0\right);\overrightarrow{BH}\left(x-3;y-1\right);\overrightarrow{AC}\left(3;3\right)$.

Vì H(x; y) là trực tâm của tam giác ABC nên ta có: $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}4\left(x-2\right)+0=0\\ 3\left(x-3\right)+3\left(y-1\right)=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-2=0\\ x+y=4\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\end{array}\right.$

Vậy tọa độ H(2; 2).

Chọn A.

Gọi I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

Suy ra 

Vậy I(1;2)

Chọn  C.

Ta có:  là 2 góc phụ nhau nên

+ Tính b: sinA = a/b ⇒ a = b.sinA = 54.sin62⁰ ≈ 47,68

+ Tính c: sinC = c/b ⇒ c = b.sinC = 54.sin28⁰ ≈ 25,35

Do đó; a + c ≈ 73,03.

Chọn D.

Ta đi xét các phương án

+ Phương án A

Ta có: VP = a cosC + c cosA

$\frac{a^2+b^2-c^2+b^2+c^2-a^2}{2b}=\frac{2b^2}{2b}=b=VT$

+ Phương án B

Ta có: a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC

mà b = a cosC + c cosA ⇒ 2RsinB = 2RsinA cosC + 2RsinC cosA

⇒ sinB = sinA cosC + sinC cosA

+ Phương án C

Ta có: S = ½. b.h_b = ½.a.c.sinB nên b.h_b= acsinB

Mà: a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC

Suy ra: 2RsinBh_b= 2RsinA.2RsinC.sinB ⇒ h_b = 2RsinA sinC.

Chọn B.

+ Tính S:

Ta có nửa chu vi tam giác là p = (7 + 8 + 5) : 2 = 10

Suy ra: 

+ Tính góc A:

Ta có: 

+ Tính AD:

Ta có: S_ABD= ½.AB. AD.sin(A/2) = ½.5.AD.sin30⁰ = 5/4 AD

S_ACD= ½AC. AD.sin(A/2) = ½.8.AD.sin30⁰ = 2AD

Mà: S = S_ABD+ S_ACD

Nên  hay  suy ra 

Chọn D.

Ta có:

a(a² – c²) = b(b² – c²) ⇔ a³ – ac² = b³ – bc²

⇔ a³ – b³ = ac² – bc²

⇔ (a – b)(a² + ab + b²) = c²(a – b)

⇔ a² + ab + b² = c²

⇔ ab = c² – a² – b²

Ta lại có:

$\Rightarrow \hat{C}=120°$

Chọn C.

Ta có: 

⇔ c³ + a³ – b³ = b²c + ab² – b³

⇔ c³ + a³ = b²c + ab²

⇔ (c + a)(c² – ca + a²) = b²(c + a)

⇔ c² – ca + a² = b²

⇔ c² – ca + a² = a² + c² – 2accosB

Mà: c = 2b cosA 

Ta lại có a² = b² + c² – 2bc cosA

⇔ a² = b² + c² – 2bc. c/2b ⇔ a² = b² ⇔ a = b

Vậy ΔABC đều.

Chọn D.

Theo định lí cosin ta có:

AB² = BC² + AC² – 2.BC.AC.cos

⇔ 196 = BC² + AC² – 2.BC.AC.cos120⁰

⇔ 196 = BC² + AC² + BC.AC (1)

Ta lại có: BC + AC = 16 ⇒ AC = 16 – BC thay vào (1), ta được:

196 = BC² + (16 – BC)² + BC(16 – BC)

⇔ BC² – 16BC + 60 = 0 

* Với BC = 10 ⇒ AC = 6

* Với BC = 6 ⇒ AC = 10

Vậy: BC = 10 và AC = 6 hoặc BC = 6 và AC = 10.

Chọn B.

Hai góc 30⁰ và 150⁰  bù nhau nên sin30⁰ = sin150⁰

Hai góc 15⁰ và 165⁰ bù nhau nên  cos15⁰ = -cos 165⁰.

Do đó  P = sin30⁰cos15⁰+ sin150⁰.cos165⁰ = sin150⁰(-cos165⁰ + cos165⁰) = 0.

Chọn C.

Hai góc α và β bù nhau nên sinα = sinβ và cosα = - cosβ.

Do đó P = cosα.cosβ- sinα.sinβ.

= -cos²α – sin²α = -1

Chọn A.

Giả sử A = α; B + C = β.

Biểu thức trở thành P =  sinα.cosβ - cosα.sinβ.

Trong tam giác ABC, có A + B + C = 180⁰ nên α + β = 180⁰.

Do hai góc α và β bù nhau nên sinα = sinβ và cosα = - cosβ.

Do đó, P = sinα.cosβ - cosα.sinβ = -sinα.cosα + cosα.cosβ = 0.

Chọn C.

Giả sử A = α; B + C = β. Biểu thức trở thành P =  cosα.cosβ - sinα.sinβ.

Trong tam giác ABC có A + B + C = 180⁰ nên α + β = 180⁰.

Do hai góc α và β  bù nhau nên sinα = sinβ và cosα = - cosβ.

Do đó P =  cosα.cosβ- sinα.sinβ = -cos²α - sin²α = -1.

Chọn A.

Ta có 3cosα – sinα = 1 nên 3cosα = sinα + 1

Suy ra: 9cos²α = sin²α + 2sinα + 1

Hay 10sin²α + 2sinα - 8 = 0

Do đó: sinα = -1 hoặc sinα = 0,8

+ sinα = -1 không thỏa mãn vì 0⁰ < α < 90⁰

+ sinα = 0,8 thì cosα = 0,6 và tan α = 0,8 : 0,6 = 4/3.