10 Bài tập Tính độ dài cạnh trong tam giác vuông bằng cách sử dụng định lí Pythagore (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore ta có:

$\Rightarrow A{B}^2+A{C}^2={20}^2=400$

Theo đề bài, ta có: $\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}\Rightarrow \frac{AB}{4}=\frac{AC}{3}\Rightarrow \frac{A{B}^2}{16}=\frac{A{C}^2}{9}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{A{B}^2}{16}=\frac{A{C}^2}{9}=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{16+9}=\frac{400}{25}=16$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{A{B}^2}{16}=16\\ \frac{A{C}^2}{9}=16\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}A{B}^2=256\\ A{C}^2=144\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AB=16cm\\ AC=12cm\end{array}\right.$

Vậy AB = 16 cm; AC = 12 cm.

Đáp án đúng là: B

*) Xét tam giác MPQ vuông tại P, áp dụng định lí Pythagore ta có:

\[M{Q^2} = Q{P^2} + M{P^2}\]

\[ \Rightarrow Q{P^2} = M{Q^2} - M{P^2} = {25^2} - {7^2} = 576\]

\[ \Rightarrow QP = 24\,\,cm\]

*) Xét tam giác PQN vuông tại P, áp dụng định lí Pythagore ta có:

\[N{Q^2} = Q{P^2} + P{N^2}\]

\[ \Rightarrow P{N^2} = N{Q^2} - Q{P^2} = {30^2} - {24^2} = 324\]

\[ \Rightarrow PN = 18\,\,cm\]

Ta có: MN = MP + PN = 7 cm + 18 cm = 25 cm

Vậy MN = 25 cm.

Đáp án đúng là: C

*) Xét tam giác ADE vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore ta có:

\[D{E^2} = A{D^2} + A{E^2}\]

\[ \Rightarrow A{E^2} = D{E^2} - A{D^2} = {5^2} - {3^2} = 16\]

\[ \Rightarrow AE = 4\]

*) AB = AE + EB = 4 + 4 = 8.

*) Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore ta có:

\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {8^2} + {6^2} = 100\]

\[ \Rightarrow BC = 10\]

\[ \Rightarrow a = 10\]

Vậy a = 10.

Đáp án đúng là: A

Kẻ \[CH \bot AB\,\,\,\left( {H \in AB} \right)\].

Xét tứ giác ADCH có:

\[\widehat {DAC} = \widehat {ADC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \]

Suy ra, tứ giác ADCH là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CH = AD = 4\,\,cm\\AH = DC = 7\,\,cm\end{array} \right.\]

Vì AB = AH + HB nên HB = 10 cm – 7 cm = 3 cm.

Xét tam giác CBH vuông tại H, áp dụng định lí Pythagore ta có:

\[B{C^2} = H{C^2} + H{B^2} = {4^2} + {3^2} = 25\]

\[ \Rightarrow BC = 5\,\,cm\]

Chu vi hình thang ABCD là:

AB + BC + CD + DA = 10 cm + 5 cm + 7 cm + 4 cm = 26 cm

Vậy chu vi hình thang ABCD là 26 cm.

Đáp án đúng là: B

*) Xét tam giác ADB vuông tại D, áp dụng định Pythagore ta có:

\[A{B^2} = A{D^2} + B{D^2}\]

\[ \Rightarrow A{D^2} = A{B^2} - B{D^2} = {13^2} - {5^2} = 144\]

\[ \Rightarrow AD = 12\,\,cm\]

*) Xét tam giác ADC vuông tại D, áp dụng định lí Pythagore ta có:

\[A{C^2} = A{D^2} + D{C^2}\]

\[ \Rightarrow D{C^2} = A{C^2} - A{D^2} = {15^2} - {12^2} = 81\]

\[ \Rightarrow DC = 9\,\,cm\]

Vậy CD = 9 cm.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

\[A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\]

\[B{C^2} = 100\]

\[ \Rightarrow B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\]

\[ \Rightarrow \Delta ABC\] vuông tại A.

Đặt BH = a (cm, a > 0); CH = 10 – a (cm)

*) Xét tam giác AHB vuông tại H, áp dụng định lí Pythagore ta có:

\[A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\]

\[ \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {6^2} - {a^2} = 36 - {a^2}\] (1)

*) Xét tam giác AHC vuông tại H, áp dụng định lí Pythagore ta có:

\[A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\]

\[ \Rightarrow A{H^2} = A{C^2} - H{C^2} = {8^2} - {\left( {10 - a} \right)^2} = 64 - {\left( {10 - a} \right)^2}\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\[36 - {a^2} = 64 - {\left( {10 - a} \right)^2}\]

\[36 - {a^2} = 64 - (100 - 20a + {a^2})\]

\[36 - {a^2} = 64 - 100 + 20a - {a^2}\]

\[ - {a^2} + {a^2} - 20a = - 100 - 36 + 64\]

\[ - 20a = - 72\]

\[a = 3,6\,\,(tm)\]

Suy ra BH = 3,6 cm.

Khi đó, \[A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {6^2} - 3,{6^2} = 23,04\]

\[ \Rightarrow AH = 4,8\,\,cm\]

Vậy AH = 4,8 cm.