10 bài tập Tích phân của các hàm số cho bởi nhiều công thức có lời giải
10 câu hỏi
Cho \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 1\\2x - 1\;khi\;x < 1\end{array} \right.\). Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} \).
</>
−1;
\(\frac{1}{2}\);
4;
5.
Đáp án đúng là: A
A. Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 1 = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x - 1} \right) = 1\end{array} \right.\] và f(1) = 1.
B. Do đó hàm số đã cho liên tục tại x = 1.
\(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {2x - 1} \right)dx} + \int\limits_1^2 {1dx} \)
\( = \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_{ - 1}^1 + \left. x \right|_1^2 = - 2 + 1 = - 1\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\;\;khi\;x \ge 0\\{e^{2x}}\;\;\;\;khi\;x < 0\end{array} \right.\). Tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} \) có giá trị bằng bao nhiêu?
</>
\(I = \frac{{3{e^2} - 1}}{{{e^2}}}\);
\(I = \frac{{9{e^2} - 1}}{{2{e^2}}}\);
\(I = \frac{{11{e^2} - 11}}{{2{e^2}}}\);
\(I = \frac{{7{e^2} + 1}}{{2{e^2}}}\).
Đáp án đúng là: B
\(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^0 {{e^{2x}}dx} + \int\limits_0^2 {\left( {x + 1} \right)dx} \)
\( = \left. {\frac{{{e^{2x}}}}{2}} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_0^2\)\( = \frac{9}{2} - \frac{1}{{2{e^2}}} = \frac{{9{e^2} - 1}}{{2{e^2}}}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2}\;\;khi\;0 \le x \le 1\\4 - x\;khi\;1 \le x \le 2\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \).
\(\frac{7}{2}\);
1;
\(\frac{5}{2}\);
\(\frac{3}{2}\).
Đáp án đúng là: A
\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_0^1 {3{x^2}dx} + \int\limits_1^2 {\left( {4 - x} \right)dx} \)\( = \left. {{x^3}} \right|_0^1 + \left. {\left( {4x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2 = \frac{7}{2}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 2\;\;khi\; - 3 \le x \le - 1\\{x^2}\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge - 1\end{array} \right.\). Tính \(\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right)dx} \) bằng
\(\frac{{31}}{3}\);
\(\frac{{28}}{3}\);
\(\frac{{22}}{3}\);
\(\frac{{26}}{3}\).
Đáp án đúng là: B
\(\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( {x + 2} \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^3 {{x^2}dx} = 0 + \frac{{28}}{3} = \frac{{28}}{3}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - x\;\;khi\;x < 0\\\sin x\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 0\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{ - 1}^\pi {f\left( x \right)dx} \).
</>
\(\frac{{13}}{6}\);
\(\frac{5}{6}\);
\( - \frac{5}{6}\);
\(\frac{{19}}{6}\).
Đáp án đúng là: D
\(\int\limits_{ - 1}^\pi {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {2{x^2} - x} \right)dx} + \int\limits_0^\pi {\sin xdx} \)\( = \frac{7}{6} + 2 = \frac{{19}}{6}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + a\;\;khi\;x \ge 1\\3{x^2} + b\;khi\;x < 1\end{array} \right.\) thỏa mãn \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 13\). Tính T = a + b – ab.
</>
T = −11;
T = −5;
T = 1;
T = −1.
Đáp án đúng là: A
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {3{x^2} + b} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + a} \right) = f\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow 3 + b = 2 + a\)\( \Leftrightarrow a - b = 1\) (1).
\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 13\)\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + b} \right)dx + } \int\limits_1^2 {\left( {2x + a} \right)dx} = 13\)
\[ \Leftrightarrow \left. {\left( {{x^3} + bx} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {{x^2} + ax} \right)} \right|_1^2 = 13\]\[ \Leftrightarrow \left( {1 + b} \right) + 3 + a = 13\]\[ \Leftrightarrow a + b = 9\] (2).
Từ (1) và (2), ta có a = 5; b = 4.
Do đó T = 5 + 4 – 5.4 = −11.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x + 1}}\;\;khi\;0 \le x \le 1\\2x - 1\;khi\;1 \le x \le 3\end{array} \right.\) . Tính tích phân \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \).
6 + ln4;
4 + ln4;
6 + ln2;
2 + 2ln2.
Đáp án đúng là: A
\(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\frac{2}{{x + 1}}dx} + \int\limits_1^3 {\left( {2x - 1} \right)dx} \)
\( = \left. {2\ln \left| {x + 1} \right|} \right|_0^1 + \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_1^3\)\( = 2\ln 2 + 6\) = 6 + ln4.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1\;\;khi\;x \ge 1\\2x\;\;\;\;\;\;khi\;x < 1\end{array} \right.\). Tích phân \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) bằng
</>
\(\frac{5}{2}\);
\(\frac{5}{3}\);
3;
\(\frac{{13}}{3}\).
Đáp án đúng là: D
\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_0^1 {2xdx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 1} \right)dx} = \frac{{13}}{3}\).
Cho hàm số y = f(x) có nguyên hàm trên ℝ là \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + {C_1}\;khi\;x \ge 1\\{x^3} + 4x + {C_2}\;khi\;x < 1\end{array} \right.\). Tính \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \).
</>
14;
13;
15;
16.
Đáp án đúng là: B
Vì hàm số F(x) liên tục tại x = 1
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)\)\( \Rightarrow {1^2} + 5.1 + {C_1} = {1^3} + 4.1 + {C_2}\) C1 – C2 = −1.
Ta có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)\)
(22 + 5.2 + C1) – (03 + 4.0 + C2) = 14 + C1 – C2 = 14 – 1 = 13.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3 - 2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 1\\3{x^2} + 2x - 4\;\;\;\;\;\;khi\;x < 1\end{array} \right.\). Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên ℝ thỏa mãn F(2) = 4. Giá trị của F(−2) – 4F(3) bằng
</>
16;
8;
18;
2.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - {x^2} + {C_1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 1\\{x^3} + {x^2} - 4x + {C_2}\;\;\;\;\;\;khi\;x < 1\end{array} \right.\).
Vì F(2) = 4 C1 = 2. Do đó \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - {x^2} + 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 1\\{x^3} + {x^2} - 4x + {C_2}\;\;\;\;khi\;x < 1\end{array} \right.\).
Vì hàm số liên tục trên ℝ nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)\)
\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {3x - {x^2} + 2} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^3} + {x^2} - 4x + {C_2}} \right)\) C2 = 6.
Do đó \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - {x^2} + 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 1\\{x^3} + {x^2} - 4x + 6\;\;\;\;khi\;x < 1\end{array} \right.\).
Vậy F(−2) – 4F(3) = 10 – 4.2 = 2.
</></></>
