10 bài tập Tích phân của các hàm số cơ bản có lời giải
10 câu hỏi
Kết quả tích phân \(I = \int\limits_0^1 {{5^x}dx} \) bằng
\(I = \frac{4}{{\ln 5}}\);
I = 4ln5;
I = 5ln5;
\(I = \frac{5}{{\ln 5}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(I = \int\limits_0^1 {{5^x}dx} = \left. {\frac{{{5^x}}}{{\ln 5}}} \right|_0^1 = \frac{5}{{\ln 5}} - \frac{1}{{\ln 5}} = \frac{4}{{\ln 5}}\).
Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{x + 2}}dx} \) bằng
−ln3;
ln3;
1 – ln3;
ln3 – ln2.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{x + 2}}dx} = \left. {\ln \left| {x + 2} \right|} \right|_0^1 = \ln 3 - \ln 2\).
Tích phân \(\int\limits_0^1 {{e^{3x}}dx} \) bằng
\({e^3} + \frac{1}{2}\);
e – 1;
\(\frac{{{e^3} - 1}}{3}\);
e3 – 1.
Đáp án đúng là: C
\(\int\limits_0^1 {{e^{3x}}dx} = \left. {\frac{1}{3}{e^{3x}}} \right|_0^1 = \frac{{{e^3} - 1}}{3}\).
Cho biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {4 - \sin x} \right)dx} = a\pi + b\) với a, b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức a + b bằng
1;
–4;
6;
3.
Đáp án đúng là: A
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {4 - \sin x} \right)dx = \left. {\left( {4x + \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}} = 2\pi - 1\).
Suy ra a = 2; b = −1. Vậy a + b = 1.
Tích phân \(\int\limits_0^1 {\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)dx} \) bằng
12;
9;
5;
6.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\int\limits_0^1 {\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 10x + 3} \right)dx} = \left. {\left( {{x^3} + 5{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^1 = 9\).
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^e {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx\).
\(I = \frac{1}{e}\);
\(I = \frac{1}{e} + 1\);
I = 1;
I = e.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(I = \int\limits_1^e {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^e = \frac{1}{e}\).
Biết \[\int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{{2^x}}}dx} = \frac{{\frac{e}{a} + b}}{{1 - \ln a}}\] (a, b ℝ). Khi đó giá trị của P = a + b là
−3;
1;
−1;
3.
Đáp án đúng là: B
\(\int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{{2^x}}}dx = \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}dx = \left. {\left( {\frac{{{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}}}{{\ln \frac{e}{2}}}} \right)} \right|} } _0^1 = \frac{{\frac{e}{2} - 1}}{{1 - \ln 2}}\). Suy ra a = 2; b = −1.
Do đó a + b = 1.
Biết \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {3{{\tan }^2}xdx} = a\sqrt 3 + b + \frac{\pi }{c}\) (a, b, c ℝ). Khi đó giá trị của P = a + b + c là
6;
−4;
4;
−6.
Đáp án đúng là: B
\(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {3{{\tan }^2}xdx} = 3\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx = \left. {3\left( {\tan x - x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} = 3\sqrt 3 - 3 - \frac{\pi }{4}} \).
Do đó P = a + b + c = −4.
Biết \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}dx = \frac{{a\sqrt 3 }}{b}} \) (a, b ℤ). Tính \(P = \frac{{a - 2b}}{b}\).
\(P = \frac{4}{3}\);
\(P = - \frac{4}{3}\);
\(P = - \frac{2}{3}\);
\(P = \frac{2}{3}\).
Đáp án đúng là: B
\(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}dx = } \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}dx = } \)\(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {\tan x - \cot x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Do đó \(P = \frac{{2 - 2.3}}{3} = - \frac{4}{3}\).
Tính tích phân \(\int\limits_{ - 4}^2 {\left( {4{x^2} - 7x - 2} \right)dx} \).
126;
\( - \frac{9}{2}\);
\( - \frac{3}{2}\);
\( - 210\).
Đáp án đúng là: A
\(\int\limits_{ - 4}^2 {\left( {4{x^2} - 7x - 2} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{4{x^3}}}{3} - \frac{{7{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_{ - 4}^2 = - \frac{{22}}{3} + \frac{{400}}{3} = 126\).
