Bài tập Vận dụng tích phân vào giải quyết bài toán liên quan thực tế lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Vận tốc của một vật chuyển động là v(t) = 3t2 + 5 (m/s). Quãng đường vật đó đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là
669 m;
696 m;
699 m;
966 m.
Đáp án đúng là: D
Quãng đường vật đó đi được từ giấy thứ 4 đến giây thứ 10 là \(\int\limits_4^{10} {\left( {3{t^2} + 5} \right)dt} = 966\) m.
Một vật chuyển động với gia tốc a(t) = 2cost (m/s2), biết rằng tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0. Tính quãng đường vật đi được từ thời điểm t = 0 (s) đến thời điểm t = π (s).
5 m;
3 m;
2 m;
4 m.
Đáp án đúng là: D
Có \(v\left( t \right) = \int {2\cos tdt = 2\sin t + C} \).
Vì v(0) = 0 nên C = 0. Do đó v(t) = 2sint.
Quãng đường vật đi được là \(\int\limits_0^\pi {2\sin tdt} = \left. { - 2\cos t} \right|_0^\pi = 4\).
Một ô tô đang chuyển động với vận tốc 24 m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động thẳng, chậm dần đều với vận tốc biến thiên theo thời gian được xác định bởi quy luật v(t) = −4t + 24 (m/s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc người lái xe bắt đầu đạp phanh. Quãng đường ô tô đi được từ lúc người lái xe bắt đầu đạp phanh đến khi xe dừng hẳn bằng
42 m;
64 m;
72 m;
50 m.
Đáp án đúng là: C
Khi xe dừng hẳn ta có v(t) = 0 −4t + 24 = 0 t = 6 (giây).
Ta có quãng đường ô tô đi được là \(s = \int\limits_0^6 {\left( { - 4t + 24} \right)dt} = 72\) m.
Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu bằng 0, vận tốc biến đổi theo quy luật và có gia tốc a = 0,3 m/s2. Xác định quãng đường vật đó đi được trong 40 phút đầu tiên.
12000 m;
240 m;
864000 m;
3200 m.
Đáp án đúng là: C
Đổi 40 phút = 2400 giây.
Ta có v(t) = \(\int {0,3dt} = 0,3t + C\).
Do v(0) = 0 nên C = 0. Do đó v(t) = 0,3t.
Quãng đường đi được trong 40 phút đầu tiên là \(s = \int\limits_0^{2400} {0,3tdt} = 864000\) m.
Giả sử tốc độ v (m/s) của một thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất theo thời gian t giây được cho bởi \(v\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;0 \le t \le 2\\2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;2 < t \le 20\\12 - 0,5t\;khi\;20 < t \le 24\end{array} \right.\). Tính quãng đường chuyển động của thang máy.
</>
58 m;
56 m;
42 m;
45 m.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(s = \int\limits_0^{24} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^2 {tdt} + \int\limits_2^{20} {2dt} + \int\limits_{20}^{24} {\left( {12 - 0,5t} \right)dt} \)
\( = \left. {\frac{{{t^2}}}{2}} \right|_0^2 + \left. {2t} \right|_2^{20} + \left. {\left( {12t - \frac{{{t^2}}}{4}} \right)} \right|_{20}^{24}\)\( = 2 + 36 + 4 = 42\).
Cho hai quả bóng A, B di chuyển ngược chiều nhau va chạm với nhau. Sau va chạm mỗi quả bóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quả bóng A nảy ngược lại với vận tốc vA(t) = 8 – 2t (m/s) và quả bóng B nảy ngược lại với vận tốc vB(t) = 12 – 4t (m/s). Tính khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi đã dừng hẳn (giả sử hai quả bóng đều chuyển động thẳng).
36 m;
32 m;
34 m;
30 m.
Đáp án đúng là: C
Thời gian quả bóng A chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là
8 – 2t = 0 t = 4 giây.
Quãng đường quả bóng A di chuyển là \({s_A} = \int\limits_0^4 {\left( {8 - 2t} \right)dt} = 16\) m.
Thời gian quả bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là
12 – 4t = 0 t = 3 giây.
Quãng đường quả bóng B di chuyển là \({s_B} = \int\limits_0^3 {\left( {12 - 4t} \right)dt} = 18m\).
Khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi dừng hẳn là S = sA + sB = 34 m.
Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc v(t) = t2 + 10t (m/s) với t là thời gian tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc 200 m/s thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là
\(\frac{{2500}}{3}\) m;
2000 m;
500 m;
\(\frac{{4000}}{3}\) m.
Đáp án đúng là: A
Xét v(t) = 200 t2 + 10t – 200 = 0 t = 10 hoặc t = −20.
Vậy thời gian máy bay đạt vận tốc 200 m/s là thời điểm t = 10 s sau khi bắt đầu chuyển động.
Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là
\(s = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^{10} {\left( {{t^2} + 10t} \right)dt} = \frac{{2500}}{3}\).
Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức P'(x) = −0,0004x + 9,3. Ở đây P(x) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được x đơn vị sản phẩm. Khi đó sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 125 đơn vị sản phẩm là
232,325 triệu đồng;
230,315 triệu đồng;
321,385 triệu đồng;
231,375 triệu đồng.
Đáp án đúng là: D
Sự thay đổi của lợi nhuận là \(\int\limits_{100}^{125} {P'\left( x \right)dx} = \int\limits_{100}^{125} {\left( { - 0,0004x + 9,3} \right)dx} \)\( = \left. {\left( { - 0,0002{x^2} + 9,3x} \right)} \right|_{100}^{125} = 231,375\) triệu đồng.
Một ô tô đang đi với vận tốc lớn hơn 72 km/h, phía trước là đoạn đường chỉ cho phép chạy với tốc độ tối đa là 72 km/h, vì thế người lái xe đạp phanh để ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 – 2t (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72 km/h, ô tô đã di chuyển quãng đường là bao nhiêu mét?
100 m;
150 m;
175 m;
125 m.
Đáp án đúng là: D
Thời điểm t ô tô đạt tốc độ 72 km/h (tức 20 m/s) là nghiệm của 30 – 2t = 20 t = 5.
Quãng đường đi được trong khoảng thời gian 5 giây là
\(s = \int\limits_0^5 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^5 {\left( {30 - 2t} \right)dt = 125} \)m.
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (giờ) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
s = 25,25 km;
s = 24,25 km;
s = 24,75 km;
s = 26,75 km.
Đáp án đúng là: C
Gọi v(t) = at2 + bt + c.
Đồ thị v(t) là một phần parabol có đỉnh I(2; 9) và đi qua điểm A(0; 6) nên \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\\a{.2^2} + b.2 + c = 9\\a{.0^2} + b.0 + c = 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 3}}{4}\\b = 3\\c = 6\end{array} \right.\]. Tìm được \(v\left( t \right) = - \frac{3}{4}{t^2} + 3t + 6\)
Vậy \(S = \int\limits_0^3 {\left( { - \frac{3}{4}{t^2} + 3t + 6} \right)} dt = \) 24,75 (km).
Một chiếc xe ô tô điện đang chạy với vận tốc biến thiên theo thời gian t (giây) được mô hình hóa bởi hàm số v(t) = 3t2 + 2t (m/s). Quãng đường mà chiếc xe ô tô này di chuyển được trong 2 giây đầu tiên kể từ thời điểm t = 0 là
14 mét.
10 mét.
12 mét.
8 mét.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Quãng đường xe di chuyển được trong 2 giây đầu tiên chính là tích phân của hàm vận tốc trên đoạn [0; 2].
Ta có công thức tính quãng đường: \[s = \int_0^2 {\left( {3{t^2} + 2t} \right)} dt = \left. {\left( {{t^3} + {t^2}} \right)} \right|_0^2\].
Khi đó s = (23 + 22) − (03 + 02) = (8 + 4) − 0 = 12 (mét).
Trong một môi trường nuôi cấy lý tưởng, tốc độ sinh trưởng của một quần thể vi khuẩn sau t giờ được xác định bởi hàm số P'(t) = \(100{e^{0,5t}}\) (cá thể/giờ). Số lượng vi khuẩn tăng thêm trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = \(2\ln 2\) giờ là
150 cá thể.
100 cá thể.
50 cá thể.
200 cá thể.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Số lượng vi khuẩn tăng thêm được tính bằng tích phân của tốc độ sinh trưởng trên đoạn thời gian đã cho.
Ta có: \[\Delta P = \int_0^{2\ln 2} {100{e^{0,5t}}} dt = \left. {\frac{{100}}{{0,5}}{e^{0,5t}}} \right|_0^{2\ln 2} = \left. {200{e^{0,5t}}} \right|_0^{2\ln 2} = 200{e^{0,5 \cdot 2\ln 2}} - 200{e^0}\].
\(\Delta P = 200{e^{\ln 2}} - 200 \cdot 1 = 200 \cdot 2 - 200 = 400 - 200 = 200\) (cá thể).
Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử có chi phí biên (nghìn đồng/sản phẩm) để sản xuất x sản phẩm là C'(x) = 2x + 50. Sự gia tăng trong tổng chi phí khi mức sản xuất tăng từ 10 sản phẩm lên 20 sản phẩm là
1000 nghìn đồng.
800 nghìn đồng.
600 nghìn đồng.
400 nghìn đồng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Sự gia tăng chi phí khi tăng mức sản xuất từ 10 lên 20 sản phẩm là tích phân của chi phí biên trên đoạn [10; 20].
Ta có: \[\Delta C = \int_{10}^{20} {\left( {2x + 50} \right)} dx = \left. {\left( {{x^2} + 50x} \right)} \right|_{10}^{20} = \left( {{{20}^2} + 50 \cdot 20} \right) - \left( {{{10}^2} + 50 \cdot 10} \right) = 1400 - 600 = 800.\]
Một đoàn tàu đang chạy với vận tốc 16 m/s thì người lái tàu bắt đầu đạp phanh. Kể từ thời điểm đó (t = 0), tàu chuyển động chậm dần với gia tốc a(t) = −2t (m/s²). Quãng đường tàu đi được từ lúc bắt đầu phanh cho đến khi dừng hẳn là
\(\frac{{64}}{3}\) mét.
\(\frac{{128}}{3}\) mét.
64 mét.
32 mét.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Vận tốc v(t) là một nguyên hàm của gia tốc a(t): \(v(t) = \int { - 2t} dt = - {t^2} + C\).
Tại thời điểm bắt đầu phanh t = 0, vận tốc là 16 m/s nên v(0) = 16 suy ra C = 16.
Hàm vận tốc của tàu là v(t) = 16 − t2.
Tàu dừng hẳn khi vận tốc bằng 0: 16 − t2 = 0 suy ra t = 4 (giây) vì t > 0.
Quãng đường đi được từ t = 0 đến t = 4 là: \(s = \int_0^4 {\left( {16 - {t^2}} \right)} dt\).
Khi đó: \(s = \left. {\left( {16t - \frac{{{t^3}}}{3}} \right)} \right|_0^4 = \left( {16 \cdot 4 - \frac{{{4^3}}}{3}} \right) - 0 = 64 - \frac{{64}}{3} = \frac{{192 - 64}}{3} = \frac{{128}}{3}\) (mét).
Một máy bơm được sử dụng để bơm nước vào một bể chứa. Tốc độ bơm tại thời điểm t (phút) được mô hình hóa bởi hàm số v(t) = \(\frac{{100}}{{t + 1}}\) (lít/phút). Thời gian cần thiết để máy bơm bơm được đúng \(100\ln 5\) lít nước vào bể kể từ lúc bắt đầu (t = 0) là
5 phút.
3 phút.
4 phút.
6 phút.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Gọi T là thời gian cần tìm. Tổng lượng nước bơm được trong thời gian T là tích phân của tốc độ bơm trên đoạn [0; T].
Ta có: \(V = \int_0^T {\frac{{100}}{{t + 1}}} dt = 100\ln 5\).
Tính: \(\int_0^T {\frac{{100}}{{t + 1}}} dt = \left. {100\ln \left( {t + 1} \right)} \right|_0^T = 100\ln \left( {T + 1} \right) - 100\ln 1\).
Vì ln 1 = 0 nên lượng nước bơm được là \(100\ln \left( {T + 1} \right)\).
Đồng nhất với giả thiết: \(100\ln \left( {T + 1} \right) = 100\ln 5\) suy ra T + 1 = 5 hay T = 4 (phút).
Hai ô tô A và B cùng bắt đầu di chuyển trên một đường thẳng. Ô tô A di chuyển đều với vận tốc không đổi 20 m/s. Ô tô B bắt đầu từ trạng thái đứng yên và tăng tốc với gia tốc a(t) = 4t (m/s²). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Hàm vận tốc của xe B theo thời gian t là \({v_B}(t) = 2{t^2}\).
Xe B đạt đến vận tốc bằng với vận tốc của xe A tại thời điểm t = 10 giây.
Quãng đường xe A đi được trong 5 giây đầu tiên là 100 mét.
Tại thời điểm t = 5 giây, xe B đã đi được quãng đường xa hơn xe A.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Hàm vận tốc của B là \({v_B}(t) = \int {4t} dt = 2{t^2} + C\).
Do B xuất phát từ trạng thái đứng yên nên \({v_B}(0) = 0\) suy ra C = 0. Vậy \({v_B}(t) = 2{t^2}\).
b) Sai. Để vận tốc xe B bằng xe A, ta có phương trình 2t2 = 20 suy ra t2 = 10 hay t = \(\sqrt {10} \) (giây), không phải t = 10 giây.
c) Đúng. Xe A chuyển động đều nên quãng đường đi được là \({s_A} = 20 \cdot 5 = 100\) (mét).
d) Sai. Quãng đường xe B đi được trong 5 giây là \({s_B} = \int_0^5 {2{t^2}} dt = \left. {\frac{{2{t^3}}}{3}} \right|_0^5 = \frac{{250}}{3}\) (mét).
Vì \(\frac{{250}}{3} \approx 83,3\) mét nhỏ hơn 100 mét nên xe B đi được quãng đường ngắn hơn xe A.
Tốc độ phát triển chiều cao của một loài cây được cho bởi công thức h'(t) = \(0,2 + \frac{{0,1}}{{\sqrt {t + 1} }}\) (mét/năm), trong đó t là số năm tính từ lúc cây được đem trồng. Biết rằng lúc mới trồng (t = 0), cây cao 1 mét. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Chiều cao của cây h(t) là một nguyên hàm của hàm tốc độ phát triển h'(t).
Một nguyên hàm của hàm số \(g(t) = \frac{1}{{\sqrt {t + 1} }}\) là \(G(t) = 2\sqrt {t + 1} \).
Công thức biểu diễn chiều cao của cây sau t năm là \(h(t) = 0,2t + 0,2\sqrt {t + 1} + 1\).
Sau 3 năm, chiều cao của cây đạt mức 1,8 mét.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Theo định nghĩa, sự thay đổi của một đại lượng là nguyên hàm của tốc độ thay đổi của nó.
b) Đúng. Ta tính đạo hàm của G(t): \({\left( {2\sqrt {t + 1} } \right)^\prime } = 2 \cdot \frac{1}{{2\sqrt {t + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {t + 1} }} = g(t)\).
c) Sai. Ta tìm hàm chiều cao \(h(t) = \int {\left( {0,2 + \frac{{0,1}}{{\sqrt {t + 1} }}} \right)} dt = 0,2t + 0,1 \cdot 2\sqrt {t + 1} + C = 0,2t + 0,2\sqrt {t + 1} + C\).
Tại t = 0, cây cao 1 mét nên \(0,2 \cdot 0 + 0,2\sqrt {0 + 1} + C = 1\) suy ra 0,2 + C = 1 hay C = 0,8.
Vậy công thức chiều cao đúng là \(h(t) = 0,2t + 0,2\sqrt {t + 1} + 0,8\).
d) Đúng. Thay t = 3 vào hàm chiều cao: \(h(3) = 0,2 \cdot 3 + 0,2\sqrt {3 + 1} + 0,8 = 0,6 + 0,2 \cdot 2 + 0,8 = 0,6 + 0,4 + 0,8 = 1,8\) (mét).
Tốc độ sinh lợi nhuận của một dự án kinh doanh sau t năm hoạt động được đánh giá bởi hàm số P'(t) = −2t + 14 (tỷ đồng/năm). Biết rằng tại thời điểm ban đầu t = 0, dự án chưa có lợi nhuận (P(0) = 0). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Tốc độ sinh lời của dự án giảm dần đều theo thời gian.
Mức lợi nhuận của dự án sẽ đạt cao nhất vào năm hoạt động thứ 14.
Tổng lợi nhuận thu được trong 5 năm đầu tiên là 45 tỷ đồng.
Tổng lợi nhuận cao nhất có thể đạt được từ dự án này là 49 tỷ đồng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Ta xét đạo hàm của tốc độ sinh lời: \(P''(t) = - 2 < 0\). Do đó, tốc độ sinh lời là một hàm số nghịch biến, tức là giảm dần đều theo thời gian.
b) Sai. Để lợi nhuận P(t) đạt lớn nhất, ta xét P'(t) = 0 suy ra −2t + 14 = 0 hay t = 7. Vậy lợi nhuận lớn nhất đạt được vào năm thứ 7, không phải năm thứ 14.
c) Đúng. Tổng lợi nhuận trong 5 năm đầu là \(P(5) = \int_0^5 {\left( { - 2t + 14} \right)} dt = \left. {\left( { - {t^2} + 14t} \right)} \right|_0^5 = \left( { - 25 + 70} \right) - 0 = 45\) (tỷ đồng).
d) Đúng. Tổng lợi nhuận cao nhất đạt được tại t = 7.
Ta tính \(P(7) = \int_0^7 {\left( { - 2t + 14} \right)} dt = \left. {\left( { - {t^2} + 14t} \right)} \right|_0^7 = - 49 + 14 \cdot 7 = - 49 + 98 = 49\) (tỷ đồng).
Máy xúc đang đổ cát để tạo thành một đống cát với tốc độ xả cát phụ thuộc vào thời gian là V'(t) = \(10\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right)\) (m³/giờ), quá trình này diễn ra liên tục từ lúc t = 0 đến t = 6 giờ. Giả sử lượng cát ban đầu bằng 0. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Lượng cát tích lũy được theo thời gian được tính bằng tích phân của V'(t).
Một nguyên hàm của hàm số tốc độ là \(F(t) = \frac{{60}}{\pi }\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) + C\).
Tốc độ xả cát đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t = 3 giờ.
Tổng lượng cát đã đổ được sau 6 giờ làm việc là \(\frac{{120}}{\pi }\) m³.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Thể tích cát tích lũy V(t) là nguyên hàm của tốc độ xả V'(t), do V(0) = 0 nên thể tích bằng tích phân xác định từ 0 đến t.
b) Sai. Áp dụng công thức nguyên hàm hàm hợp: \(\int {10\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right)} dt = - 10 \cdot \frac{6}{\pi }\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) + C = - \frac{{60}}{\pi }\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) + C\). Mệnh đề thiếu dấu trừ.
c) Đúng. Tốc độ xả cát là \(10\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right)\). Biểu thức này đạt lớn nhất bằng 10 khi \(\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) = 1\) suy ra \(\frac{{\pi t}}{6} = \frac{\pi }{2}\) hay t = 3 (giờ).
d) Đúng. Lượng cát sau 6 giờ là \(V(6) = \int_0^6 {10\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right)} dt = \left. { - \frac{{60}}{\pi }\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right)} \right|_0^6\).
\( = - \frac{{60}}{\pi }\cos \left( \pi \right) - \left( { - \frac{{60}}{\pi }\cos 0} \right) = - \frac{{60}}{\pi }( - 1) + \frac{{60}}{\pi } \cdot 1 = \frac{{60}}{\pi } + \frac{{60}}{\pi } = \frac{{120}}{\pi }\) (m³).
Trong một đoạn mạch điện xoay chiều, cường độ dòng điện tức thời được xác định bởi i(t) = \(2\sin \left( {100\pi t} \right)\) (Ampe). Công suất tỏa nhiệt tức thời trên một điện trở R = \(10\Omega \) là P(t) = \(R \cdot {i^2}(t)\) (Watt). Nhiệt lượng Q tỏa ra trên điện trở trong một khoảng thời gian được tính bằng tích phân của công suất theo thời gian. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Biểu thức công suất tỏa nhiệt theo thời gian là P(t) = \(40{\sin ^2}\left( {100\pi t} \right)\).
Để tính tích phân, ta có thể hạ bậc hàm lượng giác: \({\sin ^2}\left( {100\pi t} \right) = \frac{{1 - \cos \left( {100\pi t} \right)}}{2}\).
Nhiệt lượng tỏa ra trên điện trở trong đúng 1 giây đầu tiên là 20 Joule.d) Nhiệt lượng tỏa ra trong khoảng thời gian 0,01 giây đầu tiên có giá trị là 0,2 Joule.
Đúng. Trong thời gian 0,01 giây: \(Q = \left. {\left( {20t - \frac{{\sin \left( {200\pi t} \right)}}{{10\pi }}} \right)} \right|_0^{0,01} = \left( {20 \cdot 0,01 - \frac{{\sin \left( {200\pi \cdot 0,01} \right)}}{{10\pi }}} \right) - 0 = 0,2 - 0 = 0,2\)(Joule).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Thay các giá trị vào công thức ta được: \(P\left( t \right) = 10 \cdot {\left( {2\sin \left( {100\pi t} \right)} \right)^2} = 10 \cdot 4{\sin ^2}\left( {100\pi t} \right) = 40{\sin ^2}\left( {100\pi t} \right)\).
b) Sai. Theo công thức hạ bậc \({\sin ^2}\alpha = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}\), biểu thức đúng phải là \({\sin ^2}\left( {100\pi t} \right) = \frac{{1 - \cos \left( {200\pi t} \right)}}{2}\).
c) Đúng. Biểu thức công suất là \(P(t) = 40 \cdot \frac{{1 - \cos \left( {200\pi t} \right)}}{2} = 20 - 20\cos \left( {200\pi t} \right)\).
Nhiệt lượng Q trong 1 giây là \(Q = \int_0^1 {\left( {20 - 20\cos \left( {200\pi t} \right)} \right)} dt = \left. {\left( {20t - \frac{{20\sin \left( {200\pi t} \right)}}{{200\pi }}} \right)} \right|_0^1 = \left( {20 \cdot 1 - \frac{{\sin \left( {200\pi } \right)}}{{10\pi }}} \right) - 0 = 20 - 0 = 20.\)
Vậy Q = 20 (Joule).
Một lực có độ lớn thay đổi F(x) = 4x + 2 (Newton) tác dụng lên một vật làm vật di chuyển dọc theo trục Ox. Tính công sinh ra (đơn vị: Joule) khi vật di chuyển từ tọa độ x = 0 mét đến x = 2 mét, biết công được tính bằng tích phân W = \(\int_a^b {F(x)} dx\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 12
Áp dụng công thức tính công của lực biến thiên, ta có:
\(W = \int_0^2 {\left( {4x + 2} \right)} dx = \left. {\left( {2{x^2} + 2x} \right)} \right|_0^2\).
W = (2 · 22 + 2 · 2) − 0 = 8 + 4 = 12 (Joule).
Nhiệt độ của một phôi thép nung nóng đang nguội dần trong không khí với tốc độ giảm nhiệt được đo bằng hàm T'(t) = \( - {e^{ - 0,5t}}\) (°C/phút), với t là thời gian làm nguội. Biết rằng lúc bắt đầu (t = 0), nhiệt độ phôi thép là 100 °C. Tính nhiệt độ của phôi thép sau khoảng thời gian \(2\ln 2\) phút (đơn vị: °C).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 99
Mức độ thay đổi nhiệt độ \(\Delta T\) sau \(2\ln 2\) phút là tích phân của tốc độ:
\(\Delta T = \int_0^{2\ln 2} { - {e^{ - 0,5t}}} dt = \left. {\left( {\frac{{ - 1}}{{ - 0,5}}{e^{ - 0,5t}}} \right)} \right|_0^{2\ln 2} = \left. {2{e^{ - 0,5t}}} \right|_0^{2\ln 2}\).
\(\Delta T = 2{e^{ - 0,5 \cdot 2\ln 2}} - 2{e^0} = 2{e^{ - \ln 2}} - 2 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 = 1 - 2 = - 1\) (°C).
Nhiệt độ phôi thép lúc này là T = 100 + (−1) = 99 (°C).
Một bồn chứa hóa chất bị rò rỉ dưới đáy. Tốc độ dung dịch chảy ra ngoài là v(t) = \(3\sqrt t \) (lít/giờ). Tính lượng hóa chất đã thất thoát ra bên ngoài trong suốt 4 giờ đầu tiên kể từ lúc bắt đầu rò rỉ (đơn vị: lít).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 16
Tổng lượng hóa chất bị rò rỉ là tích phân của tốc độ thất thoát trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 4.
Ta có: \(V = \int_0^4 {3\sqrt t } dt = \int_0^4 {3{t^{\frac{1}{2}}}} dt = \left. {\left( {3 \cdot \frac{{{t^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_0^4 = \left. {2t\sqrt t } \right|_0^4 = 2 \cdot 4\sqrt 4 - 0 = 2 \cdot 4 \cdot 2 = 16\) (lít).
Doanh thu cận biên khi bán x sản phẩm của một doanh nghiệp là R'(x) = 100 − 0,2x (nghìn đồng/sản phẩm). Biết rằng nếu không bán sản phẩm nào thì doanh thu bằng 0. Tính tổng doanh thu doanh nghiệp thu được khi bán ra 10 sản phẩm đầu tiên (đơn vị: nghìn đồng).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 990
Hàm doanh thu tổng R(x) được xác định bằng cách tích phân doanh thu cận biên.
Vì R(0) = 0, doanh thu cho 10 sản phẩm là:
\(R(10) = \int_0^{10} {\left( {100 - 0,2x} \right)} dx = \left. {\left( {100x - 0,1{x^2}} \right)} \right|_0^{10}\).
R(10) = 100 · 10 − 0,1 · 102 = 1000 − 0,1 · 100 = 1000 − 10 = 990 (nghìn đồng).
Trong một cuộc thi lập trình STEM, hai robot A và B cùng xuất phát từ một vạch trên một đường đua thẳng. Vận tốc của robot A được lập trình là vA(t) = 20x + 10 (cm/s), còn vận tốc của robot B là vB(t) = 30x (cm/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây. Hỏi kể từ lúc xuất phát, khi robot B đuổi kịp robot A thì hai robot cách vạch xuất phát bao nhiêu cm?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 60
Giả sử t là thời gian (giây) kể từ lúc hai robot xuất phát cho đến khi robot B đuổi kịp robot A (t > 0).
Quãng đường robot A di chuyển được trong thời gian t là:
\({s_A}\left( t \right) = \int_0^t {(20x + 10)} dx\left. { = (10{x^2} + 10x)} \right|_0^t = 10{t^2} + 10t.\)
Quãng đường robot B di chuyển được trong thời gian t là:
\[{s_B}\left( t \right){\rm{ }} = \int_0^t 3 0xdx = \left. {(15{x^2})} \right|_0^t = 15{t^2}.\]
Hai robot gặp nhau khi quãng đường di chuyển của chúng từ lúc xuất phát là bằng nhau, ta có phương trình:
sA(t) = sB(t) Û10t2 + 10t = 15t2 Û5t2 − 10t = 0
Giải phương trình ta được: t = 0 (thời điểm xuất phát) hoặc t = 2 (thỏa mãn).
Vậy sau 2 giây thì robot B đuổi kịp robot A.
Khi đó, khoảng cách từ vị trí hai robot gặp nhau đến vạch xuất phát chính là quãng đường chúng đã đi được:s = 15 · 22 = 60 (cm).
