Bài tập Tích phân của các hàm số cho bởi nhiều công thức lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 1\\2x - 1\;khi\;x < 1\end{array} \right.\). Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} \).
</>
−1;
\(\frac{1}{2}\);
4;
5.
Đáp án đúng là: A
A. Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 1 = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x - 1} \right) = 1\end{array} \right.\] và f(1) = 1.
B. Do đó hàm số đã cho liên tục tại x = 1.
\(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {2x - 1} \right)dx} + \int\limits_1^2 {1dx} \)
\( = \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_{ - 1}^1 + \left. x \right|_1^2 = - 2 + 1 = - 1\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\;\;khi\;x \ge 0\\{e^{2x}}\;\;\;\;khi\;x < 0\end{array} \right.\). Tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} \) có giá trị bằng bao nhiêu?
</>
\(I = \frac{{3{e^2} - 1}}{{{e^2}}}\);
\(I = \frac{{9{e^2} - 1}}{{2{e^2}}}\);
\(I = \frac{{11{e^2} - 11}}{{2{e^2}}}\);
\(I = \frac{{7{e^2} + 1}}{{2{e^2}}}\).
Đáp án đúng là: B
\(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^0 {{e^{2x}}dx} + \int\limits_0^2 {\left( {x + 1} \right)dx} \)
\( = \left. {\frac{{{e^{2x}}}}{2}} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_0^2\)\( = \frac{9}{2} - \frac{1}{{2{e^2}}} = \frac{{9{e^2} - 1}}{{2{e^2}}}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2}\;\;khi\;0 \le x \le 1\\4 - x\;khi\;1 \le x \le 2\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \).
\(\frac{7}{2}\);
1;
\(\frac{5}{2}\);
\(\frac{3}{2}\).
Đáp án đúng là: A
\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_0^1 {3{x^2}dx} + \int\limits_1^2 {\left( {4 - x} \right)dx} \)\( = \left. {{x^3}} \right|_0^1 + \left. {\left( {4x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2 = \frac{7}{2}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 2\;\;khi\; - 3 \le x \le - 1\\{x^2}\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge - 1\end{array} \right.\). Tính \(\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right)dx} \) bằng
\(\frac{{31}}{3}\);
\(\frac{{28}}{3}\);
\(\frac{{22}}{3}\);
\(\frac{{26}}{3}\).
Đáp án đúng là: B
\(\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( {x + 2} \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^3 {{x^2}dx} = 0 + \frac{{28}}{3} = \frac{{28}}{3}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - x\;\;khi\;x < 0\\\sin x\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 0\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{ - 1}^\pi {f\left( x \right)dx} \).
</>
\(\frac{{13}}{6}\);
\(\frac{5}{6}\);
\( - \frac{5}{6}\);
\(\frac{{19}}{6}\).
Đáp án đúng là: D
\(\int\limits_{ - 1}^\pi {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {2{x^2} - x} \right)dx} + \int\limits_0^\pi {\sin xdx} \)\( = \frac{7}{6} + 2 = \frac{{19}}{6}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + a\;\;khi\;x \ge 1\\3{x^2} + b\;khi\;x < 1\end{array} \right.\) thỏa mãn \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 13\). Tính T = a + b – ab.
</>
T = −11;
T = −5;
T = 1;
T = −1.
Đáp án đúng là: A
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {3{x^2} + b} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + a} \right) = f\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow 3 + b = 2 + a\)\( \Leftrightarrow a - b = 1\) (1).
\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 13\)\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + b} \right)dx + } \int\limits_1^2 {\left( {2x + a} \right)dx} = 13\)
\[ \Leftrightarrow \left. {\left( {{x^3} + bx} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {{x^2} + ax} \right)} \right|_1^2 = 13\]\[ \Leftrightarrow \left( {1 + b} \right) + 3 + a = 13\]\[ \Leftrightarrow a + b = 9\] (2).
Từ (1) và (2), ta có a = 5; b = 4.
Do đó T = 5 + 4 – 5.4 = −11.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x + 1}}\;\;khi\;0 \le x \le 1\\2x - 1\;khi\;1 \le x \le 3\end{array} \right.\) . Tính tích phân \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \).
6 + ln4;
4 + ln4;
6 + ln2;
2 + 2ln2.
Đáp án đúng là: A
\(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\frac{2}{{x + 1}}dx} + \int\limits_1^3 {\left( {2x - 1} \right)dx} \)
\( = \left. {2\ln \left| {x + 1} \right|} \right|_0^1 + \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_1^3\)\( = 2\ln 2 + 6\) = 6 + ln4.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1\;\;khi\;x \ge 1\\2x\;\;\;\;\;\;khi\;x < 1\end{array} \right.\). Tích phân \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) bằng
</>
\(\frac{5}{2}\);
\(\frac{5}{3}\);
3;
\(\frac{{13}}{3}\).
Đáp án đúng là: D
\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_0^1 {2xdx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 1} \right)dx} = \frac{{13}}{3}\).
Cho hàm số y = f(x) có nguyên hàm trên ℝ là \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + {C_1}\;khi\;x \ge 1\\{x^3} + 4x + {C_2}\;khi\;x < 1\end{array} \right.\). Tính \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \).
</>
14;
13;
15;
16.
Đáp án đúng là: B
Vì hàm số F(x) liên tục tại x = 1
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)\)\( \Rightarrow {1^2} + 5.1 + {C_1} = {1^3} + 4.1 + {C_2}\) C1 – C2 = −1.
Ta có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)\)
(22 + 5.2 + C1) – (03 + 4.0 + C2) = 14 + C1 – C2 = 14 – 1 = 13.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3 - 2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 1\\3{x^2} + 2x - 4\;\;\;\;\;\;khi\;x < 1\end{array} \right.\). Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên ℝ thỏa mãn F(2) = 4. Giá trị của F(−2) – 4F(3) bằng
</>
16;
8;
18;
2.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - {x^2} + {C_1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 1\\{x^3} + {x^2} - 4x + {C_2}\;\;\;\;\;\;khi\;x < 1\end{array} \right.\).
Vì F(2) = 4 C1 = 2. Do đó \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - {x^2} + 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 1\\{x^3} + {x^2} - 4x + {C_2}\;\;\;\;khi\;x < 1\end{array} \right.\).
Vì hàm số liên tục trên ℝ nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)\)
\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {3x - {x^2} + 2} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^3} + {x^2} - 4x + {C_2}} \right)\) C2 = 6.
Do đó \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - {x^2} + 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 1\\{x^3} + {x^2} - 4x + 6\;\;\;\;khi\;x < 1\end{array} \right.\).
Vậy F(−2) – 4F(3) = 10 – 4.2 = 2.
</></></>
Cho hàm số f(x) = \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x{\rm{ khi }}x < 1}\\{3{x^2}{\rm{ khi }}x \ge 1}\end{array}} \right.\). Tính tích phân I = \(\int_0^2 f (x)dx\).
8.
5.
4.
10.
Hướng dẫn giải:
I = \(\int_0^1 f (x)dx + \int_1^2 f (x)dx = \int_0^1 2 xdx + \int_1^2 3 {x^2}dx\)
= \(\left. {{x^2}} \right|_0^1 + \left. {{x^3}} \right|_1^2\)= (1 − 0) + (8 − 1) = 1 + 7 = 8.
Cho hàm số f(x) = \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{e^x}{\rm{ khi }}x \le 0}\\{1{\rm{ khi }}x > 0}\end{array}} \right.\). Tính tích phân I = \(\int_{ - 1}^1 f (x)dx\).
\(2 - {e^{ - 1}}\).
\(1 - {e^{ - 1}}\).
\(2 + {e^{ - 1}}\).
\(1 + {e^{ - 1}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
I = \(\int_{ - 1}^0 {{e^x}} dx + \int_0^1 1 dx\)= \(\left. {{e^x}} \right|_{ - 1}^0 + \left. x \right|_0^1\)= \(1 - {e^{ - 1}} + 1\) = \(2 - {e^{ - 1}}\).
Cho hàm số f(x) = \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + a{\rm{ khi }}x < 1}\\{2x{\rm{ khi }}x \ge 1}\end{array}} \right.\). Biết hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\). Tính tích phân I = \(\int_0^2 f (x)dx\).
\(\frac{9}{2}\).
\(\frac{7}{2}\).
\(\frac{{11}}{2}\).
\(\frac{5}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Do hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên nó phải liên tục tại điểm nối x = 1.
Giới hạn bên trái: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (x + a)\) = 1 + a.
Giới hạn bên phải: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 2x\) = 2.
Suy ra 1 + a = 2 nên a = 1. Khi đó trên khoảng x < 1 thì f(x) = x + 1.
Tích phân trở thành:
I = \[\int_0^1 {\left( {x + 1} \right)} dx + \int_1^2 2 xdx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_0^1 + \left. {{x^2}} \right|_1^2\]= 1,5 + 3 = 4,5 = \(\frac{9}{2}\).
Cho hàm số f(x) = \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{\rm{ khi }}x < 2}\\{2x{\rm{ khi }}x \ge 2}\end{array}} \right.\). Tính tích phân I = \(\int_1^2 2 x \cdot f\left( {{x^2}} \right)dx\).
15.
12.
14.
16.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Đặt t = x2, suy ra dt = 2x dx.
Đổi cận: khi x = 1 thì t = 1; khi x = 2 thì t = 4.
Tích phân trở thành: I = \(\int_1^4 f (t)dt\).
I = \[\int_1^2 3 dt + \int_2^4 2 tdt = \left. {3t} \right|_1^2 + \left. {{t^2}} \right|_2^4\] = 3 + 12 = 15.
Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn f(0) = 1. Biết đạo hàm của hàm số là f'(x) = \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x{\rm{ khi }}x < 1}\\{2{\rm{ khi }}x \ge 1}\end{array}} \right.\). Tính giá trị của tích phân I = \(\int_0^2 f (x)dx\).
\(\frac{{13}}{3}\).
\(\frac{{11}}{3}\).
\(\frac{{14}}{3}\).
\(\frac{{10}}{3}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Với x < 1, ta có họ nguyên hàm f(x) = \(\int 2 xdx\) = x² + C1.
Do f(0) = 1 nên 0² + C1 = 1, suy ra C1 = 1. Vậy f(x) = x² + 1 khi x < 1.
Với x ≥ 1, ta có họ nguyên hàm f(x) = \(\int 2 dx\) = 2x + C2.
Vì f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên nó liên tục tại x = 1, tức là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)\) = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)\).
Ta có 1² + 1 = 2×(1) + C2 suy ra 2 = 2 + C2 nên C2 = 0. Vậy f(x) = 2x khi x ≥ 1.
Tiến hành tính tích phân:
I = \(\int_0^1 {\left( {{x^2} + 1} \right)} dx + \int_1^2 2 xdx = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_0^1 + \left. {{x^2}} \right|_1^2\)
= \(\left( {\frac{1}{3} + 1} \right)\) + (4 − 1) = \(\frac{4}{3}\) + 3 = \(\frac{{13}}{3}\).
Xét hàm số f(x) = \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x{\rm{ khi }}x \le 2}\\{2{\rm{ khi }}x > 2}\end{array}} \right.\) và tích phân I = \(\int_0^4 f (x)dx\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Hàm số f(x) liên tục tại x = 2.
Tích phân trên đoạn [0; 2] là \(\int_0^2 f (x)dx\) = 2.
Tích phân trên đoạn [2; 4] là \(\int_2^4 f (x)dx\) = 2.
Giá trị của tích phân I = 6.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Giới hạn trái tại x = 2 là 2. Giới hạn phải tại x = 2 là 2. Do hai giới hạn bằng nhau nên hàm số liên tục.
b) Đúng. Ta tính \(\int_0^2 x dx\) = \(\left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^2\) = 2 − 0 = 2.
c) Sai. Ta tính \(\int_2^4 2 dx\) = \(\left. {2x} \right|_2^4\) = 8 − 4 = 4.
d) Đúng. Tổng giá trị của hai tích phân thành phần là I = 2 + 4 = 6.
Xét hàm số f(x) = \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + a{\rm{ khi }}x < 1}\\{{x^2} + b{\rm{ khi }}x \ge 1}\end{array}} \right.\). Biết hàm số liên tục tại x = 1 và \(\int_0^2 {f\left( x \right)} dx\) = \(\frac{{16}}{3}.\) Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Giới hạn bên trái của hàm số tại x = 1 là 2 + a.
Điều kiện liên tục của hàm số suy ra phương trình a − b = −1.
Giá trị của tích phân trên đoạn [0; 1] là a + 1.
Giá trị của hai tham số là a = 1 và b = 2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2x + a)\) = 2 + a.
b) Đúng. Giới hạn phải tại x = 1 là 1 + b. Hàm số liên tục nên 2 + a = 1 + b hay a − b = −1.
c) Đúng. \(\int_0^1 {\left( {2x + a} \right)} dx\) = \(\left. {\left( {{x^2} + ax} \right)} \right|_0^1\) = 1 + a.
d) Sai. Xét phần tích phân trên [1; 2]:
\(\int_1^2 {({x^2} + b)} dx\) = \(\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + bx} \right)} \right|_1^2\) = \(\left( {\frac{8}{3} + 2b} \right) - \left( {\frac{1}{3} + b} \right)\) = \(\frac{7}{3} + b\).
Khi đó \(\int_0^2 {f\left( x \right)} dx = \int_0^1 {f\left( x \right)} dx + \int_1^2 {f\left( x \right)} dx\)Û a + b + \(\frac{{10}}{3}\) = \(\frac{{16}}{3}\) suy ra a + b = 2.
Từ hệ phương trình a − b = −1 và a + b = 2 ta được a = 0,5 và b = 1,5.
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{x^3}{\rm{ khi }}x \ge 1}\\{4x{\rm{ khi }}x < 1}\end{array}} \right.\). Biết F(0) = 2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Với x < 1, công thức của họ nguyên hàm là F(x) = 2x2 + 2.
Giá trị của F(1) = 4.
Với x ≥ 1, công thức của họ nguyên hàm là F(x) = x4 + 3.
Giá trị của tích phân \(\int_{ - 1}^2 f (x)dx\) = 19.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\), F(x) = 2x2 + C1. Do F(0) = 2 nên C1 = 2.
Vậy F(x) = 2x2 + 2.
b) Đúng. Hàm số f(x) có nguyên hàm trên tập số thực nên F(x) liên tục tại x = 1.
Suy ra F(1) = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2{x^2} + 2)\) = 4.
c) Đúng. Trên nửa khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\), F(x) = x4 + C2.
Do F(1) = 4 nên 1 + C2 = 4 Þ C2 = 3. Vậy F(x) = x4 + 3.
d) Sai.\(\int_{ - 1}^2 f (x)dx\) = F(2) − F(−1).
F(2) = 24 + 3 = 19; F(−1) = 2×(−1)² + 2 = 4.
Tích phân có giá trị là 19 − 4 = 15.
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x}}&{{\rm{khi }}x \ge 1}\\{2x - 1}&{{\rm{khi }}x < 1}\end{array}} \right.\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Biết F(1) = 2, xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Với x ≥ 1, công thức của họ nguyên hàm là F(x) = lnx + 2.
Giá trị F(e) bằng 3.
Với 0 < x < 1, công thức của nguyên hàm là F(x) = x2 - x + 3.
Tích phân \(\int_{\frac{1}{2}}^e {f(x)} dx\) có giá trị bằng \(\frac{5}{4}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Với x ≥ 1, \(\int {\frac{1}{x}} dx = \ln x + {C_1}\).
Vì F(1) = 2 nên \(\ln 1 + {C_1} = 2 \Rightarrow {C_1} = 2\). Vậy F(x) = lnx + 2.
b) Đúng. Ta tính F(e) = ln e + 2 = 1 + 2 = 3.
c) Sai. Với 0 < x < 1, \(\int {\left( {2x - 1} \right)} dx = {x^2} - x + {C_2}\).
Do F(x) liên tục tại x = 1 nên F(1) = 2 suy ra 12−1+C2=2 Þ C2 =2.
Công thức đúng là F(x) = x2- x + 2.
d) Đúng. Theo định nghĩa tích phân, \(\int_{\frac{1}{2}}^e {f(x)} dx = F(e) - F\left( {\frac{1}{2}} \right)\).
Ta có \(F\left( {\frac{1}{2}} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2} + 2 = 0,25 - 0,5 + 2 = 1,75 = \frac{7}{4}\).
Kết quả tích phân là \(3 - \frac{7}{4} = \frac{5}{4}\).
Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 1{\rm{ khi }}0 \le x \le 1}\\{2{\rm{ khi }}x > 1}\end{array}} \right.\). Xét tích phân I = \(\int_{ - 2}^0 f (x)dx\) và các mệnh đề sau:
Do f(x) là hàm số chẵn nên \(\int_{ - 2}^0 f (x)dx = \int_0^2 f (x)dx\).
Trên đoạn [−1; 0], công thức của hàm số là f(x) = x − 1.
Giá trị của \(\int_0^1 f (x)dx\) = 1,5.
Giá trị của tích phân I = 3,5.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. \(\int_{ - 2}^0 f (x)dx = \int_0^2 f (x)dx\).
b) Sai. Với x thuộc [−1; 0], ta có −x thuộc [0; 1]. Khi đó f(x) = f(−x) = (−x) + 1 = −x + 1, không phải x − 1.
c) Đúng. Ta tính \(\int_0^1 {(x + 1)} dx\) = \(\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_0^1\) = 0,5 + 1 = 1,5.
d) Đúng. Do I = \(\int_0^2 f (x)dx = \int_0^1 f (x)dx + \int_1^2 f (x)dx\).
Ta có \(\int_0^1 f (x)dx\) = 1,5. Phần còn lại \(\int_1^2 2 dx\) = \(\left. {2x} \right|_1^2\) = 4 − 2 = 2.
Vậy I = 1,5 + 2 = 3,5.
Cho hàm số f(x) = \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{\rm{ khi }}x < 1}\\{4x{\rm{ khi }}x \ge 1}\end{array}} \right.\). Tính giá trị của tích phân I = \(\int_0^2 f (x)dx\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 8
I = \(\int_0^1 2 dx + \int_1^2 4 xdx\)
Tính nguyên hàm và thế cận: I = \(\left. {2x} \right|_0^1 + \left. {2{x^2}} \right|_1^2\) = (2 − 0) + (8 − 2) = 2 + 6 = 8.
Cho hàm số f(x) = \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x{\rm{ khi }}x < 1}\\{1,5{\rm{ khi }}x \ge 1}\end{array}} \right.\). Tính giá trị của tích phân I = \(\int_0^2 x \cdot f(x)dx\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3,25
Nhân thêm x vào hàm số và tách tích phân tại x = 1: I = \(\int_0^1 3 {x^2}dx + \int_1^2 1 ,5xdx\)
= \(\left. {{x^3}} \right|_0^1 + \left. {0,75{x^2}} \right|_1^2\) = (1 − 0) + 0,75(4 − 1) = 1 + 2,25 = 3,25.
Cho hàm số f(x) = \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x{\rm{ khi }}x < 2}\\{2{\rm{ khi }}x \ge 2}\end{array}} \right.\). Tính giá trị của tích phân I = \(\int_0^4 f (x)dx\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 6
I = \(\int_0^2 x dx + \int_2^4 2 dx\)
= \(\left. {0,5{x^2}} \right|_0^2 + \left. {2x} \right|_2^4\) = 2 + (8 − 4) = 2 + 4 = 6.
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{\rm{ khi }}x < 1}\\{\frac{1}{x}{\rm{ khi }}x \ge 1}\end{array}} \right.\) thỏa mãn điều kiện F(0) = 1. Tính giá trị của F(e).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Hàm số f(x) có nguyên hàm nên F(x) liên tục trên toàn tập xác định.
Khi x < 1, ta tìm họ nguyên hàm: F(x) = 2x + C1.
Do F(0) = 1 nên 0 + C1 = 1 dẫn đến C1 = 1.
Vậy F(x) = 2x + 1.
Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2x + 1)\) = 3.
Do tính liên tục nên F(1) = 3.
Khi x ≥ 1, họ nguyên hàm là F(x) = ln x + C2.
Vì F(1) = 3 nên ln 1 + C2 = 3 suy ra C2 = 3.
Vậy F(x) = ln x + 3.
Tính giá trị tại x = e: F(e) = ln e + 3 = 1 + 3 = 4.
Cho hàm số f(x) = \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x{\rm{ khi }}x < 1}\\{a{\rm{ khi }}x \ge 1}\end{array}} \right.\). Biết \(\int_0^2 f (x)dx\) = 4,5. Tính giá trị của a.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3,5
Có \(\int_0^2 {f\left( x \right)} dx = \int_0^1 2 xdx + \int_1^2 a dx\) = 4,5
\( \Leftrightarrow \left. {{x^2}} \right|_0^1 + \left. {ax} \right|_1^2\) = 4,5
<=> (1 − 0) + a(2 − 1) = 4,5
<=> 1 + a = 4,5 suy ra a = 3,5.
