2048.vn
Tạo đề online từ PDF/WordTrộn đề thiNgân hàng đề thi

Bài tập Một số bài toán thực tế về dạng chuyển động lớp 12 (có lời giải)
Đề thi

Bài tập Một số bài toán thực tế về dạng chuyển động lớp 12 (có lời giải)

A
AdminToánLớp 1251 lượt thi
Bắt đầu ngay
77 câu hỏi
1. Tự luận
• 1 điểm

Bạn Minh ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới và vận tốc chuyển động của máy bay là \(v\left( t \right) = 3{t^2} + 5{\rm{ (m/s}})\). Tính quãng đường máy bay đi được từ giây thứ \[4\] đến giây thứ \[10\].

Xem đáp án
 \[S = \int\limits_4^{10} {\left( {3{t^2} + 5} \right){\rm{d}}t} \]\[ = \left. {\left( {{t^3} + 5t} \right)} \right|_4^{10}\]\[ = 1050 - 84 = 996\].
2. Tự luận
• 1 điểm

Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) =  - 5t + 10\) (m/s), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Xem đáp án
Xét phương trình \( - 5t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 2.\) Do vậy, kể từ lúc người lái đạp phanh thì sau 2s ô tô dừng hẳn.
Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc người lái đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là
∫02(-5t+10)dt=(-52t2+10t)20=10m
3. Tự luận
• 1 điểm

Một vật đang chuyển động với vận tốc \(4{\rm{m/s}}\) thì tăng tốc với gia tốc \(a\left( t \right) = \frac{2}{{t + 1}}\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. Hỏi vận tốc của vật sau \(20\) giây gần nhất với kết quả nào sau đây?

Xem đáp án
Ta có: \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \int {\frac{2}{{t + 1}}} \,{\rm{d}}t = 2\ln \left| {t + 1} \right| + C\).
Theo giả thiết ta có: \(v\left( 0 \right) = 4 \Rightarrow C = 4\). Suy ra \(v\left( t \right) = 2\ln \left| {t + 1} \right| + 4\).
Từ đó ta có vận tốc của vật sau \(20\) giây là \(v\left( {20} \right) = 2.\ln 21 + 4 \approx 10,09\).
4. Tự luận
• 1 điểm

Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v(t) = 150 - 10t\,\,({\rm{m/s}}),\) trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc vật chuyển động chậm dần đều. Trong 4 giây trước khi dừng hẳn, vật di chuyển được một quảng đường bằng

Xem đáp án
Tại thời điểm vật dừng hẳn ta có: \(v(t) = 0 \Leftrightarrow 150 - 10t = 0 \Leftrightarrow t = 15\)

Do vậy trong 4 giây trước khi dừng hẳn, vật di chuyển được một quảng đường bằng

\(S = \int_{11}^{15} {\left( {150 - 10t} \right){\rm{d}}t} = 80\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)
5. Tự luận
• 1 điểm

Một vật đang chuyển động với vận tốc \(6\,{\rm{m/s}}\) thì tăng tốc với gia tốc \(a\left( t \right) = \frac{3}{{1 + t}}\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. Hỏi vận tốc của vật sau \(10\) giây gần nhất với kết quả nào sau đây?

Xem đáp án
Vận tốc của vật là \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)} {\rm{dt}} = \int {\frac{{3{\rm{dt}}}}{{t + 1}}} {\mkern 1mu} = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C\).
Tại thời điểm vật bắt đầu tăng tốc\(v\left( 0 \right) = C = 6\). Suy ra \(v\left( t \right) = 3\ln \left| {t + 1} \right| + 6\,\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\)
Vậy vận tốc của vật sau \(10\) giây bằng \(v\left( {10} \right) = 3\ln 11 + 6\,\, \approx 13\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
6. Tự luận
• 1 điểm

Một vật chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right)\left( {m/s} \right)\) và có gia tốc \(a\left( t \right) = \frac{3}{{t + 1}}\left( {m/{s^2}} \right).\) Vận tốc ban đầu của vật là \[6\left( {m/s} \right).\] Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây là bao nhiêu?

Xem đáp án
Ta có:
\(\begin{array}{l}v(t) = \int {a(t)dt} = \int {\frac{3}{{t + 1}}dt = 3\ln \left| {t + 1} \right|} + C\\v(0) = 6 \Rightarrow 3\ln 1 + C = 6 \Rightarrow C = 6;{\rm{ }} \Rightarrow v(10) = 3\ln 11 + 6\end{array}\)
7. Tự luận
• 1 điểm

 Một ô tô đang đi với vận tốc \(60\,{\rm{km/h}}\) thì tăng tốc với gia tốc \(a\left( t \right) = 2 + 6t\,\left( {{\rm{km/}}{{\rm{h}}^{\rm{2}}}} \right)\). Tính quãng đường ô tô đi được trong vòng \(1\,{\rm{h}}\) kể từ khi tăng tốc.

Xem đáp án
Vận tốc của ô tô là \(v\left( t \right) = \int {\left( {2 + 6t} \right){\rm{d}}t = } 2t + 3{t^2} + C\).
Tại thời điểm ô tô bắt đầu chuyển động \(v\left( 0 \right) = C = 60\).
Quãng đường ô tô đi được là \(S = \int\limits_0^1 {\left( {2t + 3{t^2} + 60} \right){\rm{d}}t} = \left( {{t^2} + {t^3} + 60t} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 62\,{\rm{km}}\).
8. Tự luận
• 1 điểm

 Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc \({v_1}\left( t \right) = 7t\left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Đi được \(5\left( {\rm{s}} \right)\), người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc \(a =  - 70\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\). Tính quãng đường \(S\left( {\rm{m}} \right)\) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

Xem đáp án
Vận tốc ô tô tại thời điểm bắt đầu phanh là: \({v_1}\left( 5 \right) = 35\left( {m/s} \right)\).
Vận tốc của chuyển động sau khi phanh là: \({v_2}\left( t \right) = - 70t + C\).
Do \({v_2}\left( 0 \right) = 35\)\( \Rightarrow C = 35\)\( \Rightarrow {v_2}\left( t \right) = - 70t + 35\).
Khi xe dừng hẳn tức là \({v_2}\left( t \right) = 0 \Rightarrow - 70t + 35 = 0\)\( \Rightarrow t = \frac{1}{2}\).
Quãng đường \(S\left( m \right)\) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là:
\(S\left( m \right) = \int\limits_0^5 {7t.\,dt} + \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { - 70t + 35} \right)\,dt} \)\( = 96,25\left( m \right)\).
9. Tự luận
• 1 điểm

Một ô tô đang chạy với vận tốc \(19\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\)thì người lái hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) =  - 38t + 19\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), trong đó \(t\)là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Xem đáp án
Tại thời điểm ô tô có vận tốc \(19\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\)tương ứng với \(t = 0\,\left( {\rm{s}} \right)\).
Khi ô tô dừng lại thì \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 38t + 19 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\,\left( {\rm{s}} \right)\).
Quãng đường ô tô di chuyển được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là
\(s = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { - 38t + 19} \right){\rm{d}}t} = \left( { - 19{t^2} + 19t} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{1}{2}}} \right. = 4,75\,\left( {\rm{m}} \right)\).
10. Tự luận
• 1 điểm

Một ôtô đang chạy với vận tốc \[9\;\left( {{\rm{m/s}}} \right)\] thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \[v\left( t \right) =  - 3t + 9\;\left( {{\rm{m/s}}} \right)\], trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Xem đáp án
Gọi \({t_0}\) là thời điểm lúc ô tô bắt đầu đạp phanh, ta có \(9 = - 3{t_0} + 9\)\( \Leftrightarrow {t_0} = 0\).
Gọi \({t_1}\) là thời điểm lúc ô tô dừng hẳn, ta có \(0 = - 3{t_1} + 9\)\( \Leftrightarrow {t_1} = 3\).
Vậy quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn là
\(S\left( t \right) = \int\limits_0^3 {v\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_0^3 {\left( { - 3t + 9} \right){\rm{d}}t} \)\(\left. { = \left( {\frac{{ - 3}}{2}{t^2} + 9t} \right)} \right|_0^3 = 13,5\)\(\left( {\rm{m}} \right)\).
11. Tự luận
• 1 điểm

Một ôtô đang chạy đều với vận tốc \[a\] (m/s) thì đạp phanh. Từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \[v\left( t \right) =  - 5t + a,\] trong đó \[t\] là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi vận tốc ban đầu \[a\] của ôtô bằng bao nhiêu, biết từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ôtô di chuyển được 40m?

Xem đáp án
Khi ôtô dừng hẳn ta có \[v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 5t + a = 0 \Leftrightarrow t = \frac{a}{5}\].
Quãng đường ôtô di chuyển được kể từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là
\[S = \int\limits_0^{\frac{a}{5}} {v\left( t \right)dt} = 40 \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{a}{5}} {\left( { - 5t + a} \right)dt} = 40 \Leftrightarrow \left. {\left( { - 5.\frac{{{t^2}}}{2} + at} \right)} \right|_0^{\frac{a}{5}} = 40\]
\[ - \frac{5}{2}.\frac{{{a^2}}}{{25}} + \frac{{{a^2}}}{5} = 40 \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{10}} = 40 \Leftrightarrow a = 20.\]
12. Tự luận
• 1 điểm

Một vật đang chuyển động với vận tốc \(10\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) thì tăng tốc với gia tốc \(a\left( t \right) = 3{t^2} + 2t\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\). Tính quãng đường \[S\left( {\rm{m}} \right)\] mà vật đi được trong khoảng thời gian \[12\] giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

Xem đáp án
Gọi \(v\left( t \right)\) là vận tốc của vật, ta có \(v'\left( t \right) = a\left( t \right) = 3{t^2} + 2t \Rightarrow v\left( t \right) = \int {\left( {3{t^2} + 2t} \right)} {\rm{d}}t = {t^3} + {t^2} + C\).
Do \(v\left( 0 \right) = 10 \Leftrightarrow C = 10 \Rightarrow v\left( t \right) = {t^3} + {t^2} + 10\,\).
Khi đó \(S = \int\limits_0^{12} {\left( {{t^3} + {t^2} + 10} \right)} {\rm{d}}t = \left. {\left( {\frac{{{t^4}}}{4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 10t} \right)} \right|_0^{12} = 5880\,\left( {\rm{m}} \right)\).
13. Tự luận
• 1 điểm

Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc \({v_0} = 15\;{\rm{m/s}}\) thì tăng tốc với gia tốc \(a\left( t \right) = {t^2} + 4t\;\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\). Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian \(3\) giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.

Xem đáp án
\(a\left( t \right) = {t^2} + 4t\) \( \Rightarrow v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t}  = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + C{\rm{ }}\)\(\left( {C \in \mathbb{R}} \right)\).
Mà \(v\left( 0 \right) = C = 15\) \( \Rightarrow v\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15\).
Vậy \(S = \int\limits_0^3 {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15} \right){\rm{d}}t}  = 69,75\;{\rm{m}}\).
14. Tự luận
• 1 điểm

Một ô tô đang chạy với vận tốc \[20\]\[{\rm{m/s}}\] thì người lái xe đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \[v\left( t \right) =  - 4t + 20\] \[\left( {{\rm{m/s}}} \right)\], trong đó \[t\] là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?

Xem đáp án

Đặt \[{t_0} = 0\] là thời điểm người lái xe ô tô bắt đầu đạp phanh, khi ô tô dừng hẳn thì vận tốc triệt tiêu nên

\[ - 4t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 5\].
Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được quãng đường:
\[\int\limits_0^5 {\left( { - 4t + 20} \right){\rm{dt}}}  = 50\] mét.
15. Tự luận
• 1 điểm

Một vật chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right)\) \(\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) có gia tốc \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) =  - 2t + 10\) \(\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\). Vận tốc ban đầu của vật là \(5\,\,{\rm{m/s}}\). Tính vận tốc của vật sau \(5\) giây.

Xem đáp án
Có \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int {\left( { - 2t + 10} \right){\rm{d}}t = 10t - {t^2} + C} \).
Lại có \(v\left( 0 \right) = 5\) \( \Leftrightarrow C = 5\). Vậy \(v\left( t \right) = 10t - {t^2} + 5\).
Khi đó vận tốc của vật sau \(5\) giây là \(v\left( 5 \right) = 10.5 - {5^2} + 5 = 30\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
16. Tự luận
• 1 điểm

Một ôtô đang chuyển động đều với vận tốc \(20{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) rồi hãm phanh chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) =  - 2t + 20{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Tính quãng đường mà ôto đi được trong \(15\) giây cuối cùng đến khi dừng hẳn.

Xem đáp án
Thời gian từ lúc hãm phanh đến dừng hẳn là: \( - 2t + 20 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 10{\rm{ }}\left( {\rm{s}} \right)\).
Quãng đường ôto đi được trong \(15\) giây cuối cùng là:
\(s = 20.5 + \int\limits_0^{10} {\left( { - 2t + 20} \right){\rm{d}}t} = 100 + \left. {\left( { - {t^2} + 20t} \right)} \right|_0^{10} = 100 + \left( { - 100 + 200} \right) = 200{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
17. Tự luận
• 1 điểm

Một chiếc xe đua đang chạy \[180\]\[{\rm{km/h}}\]. Tay đua nhấn ga để về đích kể từ đó xe chạy với gia tốc \[a\left( t \right) = 2t + 1\] (\[{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\]). Hỏi rằng \[5\]\[{\rm{s}}\] sau khi nhấn ga thì xe chạy với vận tốc bao nhiêu \[{\rm{km/h}}\].

Xem đáp án
Ta có \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int {\left( {2t + 1} \right){\rm{d}}t} \)\( = {t^2} + t + C\).
Mặt khác vận tốc ban đầu là \(180\) \[{\rm{km/h}}\] hay \(50\) \({\rm{m/s}}\) nên ta có \(v\left( 0 \right) = 50\)\( \Leftrightarrow C = 50\).
Khi đó vận tốc của vật sau \(5\) giây là \(v\left( 5 \right) = {5^2} + 5 + 50 = 80\)\({\rm{m/s}}\) hay \[288\]\[{\rm{km/h}}\].
18. Tự luận
• 1 điểm

 Một chất điểm chuyển động có phương trình \[s\left( t \right) = {t^3} + \frac{9}{2}{t^2} - 6t\], trong đó \[t\]được tính bằng giây, \[s\]được tính bằng mét. Gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc bằng \[24\]\[\left( {{\rm{m/s}}} \right)\]là

Xem đáp án
Ta có \[v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 3{t^2} + 9t - 6 = 24 \Rightarrow t = 2\]\[\left( {\rm{s}} \right)\].
Lại có \[a\left( t \right) = s''\left( t \right) = 6t + 9 \Rightarrow a\left( 2 \right) = 21\]\[\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\].
19. Tự luận
• 1 điểm

Một vật chuyển động với vận tốc \(10\,{\rm{m/s}}\) thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là \(a\left( t \right) = {t^2} + 3t\). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian \(6\) giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc.

Xem đáp án
Ta có \(v\left( 0 \right) = 10\,{\rm{m/s}}\) và \(v\left( t \right) = \int\limits_0^t {a\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_0^t {\left( {{t^2} + 3t} \right){\rm{d}}t} \)\[ = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + \frac{{3{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^t\]\[ = \frac{1}{3}{t^3} + \frac{3}{2}{t^2}\].
Quãng đường vật đi được là \(S = \int\limits_0^6 {v\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_0^6 {\left( {\frac{1}{3}{t^3} + \frac{3}{2}{t^2}} \right){\rm{d}}t} \)\[ = \left. {\left( {\frac{1}{{12}}{t^4} + \frac{1}{2}{t^3}} \right)} \right|_0^6\]\[ = 216\,{\rm{m}}\].
20. Tự luận
• 1 điểm

Một vật chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right)\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), có gia tốc \(v'\left( t \right) = \frac{3}{{t + 1}}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\). Với vận tốc ban đầu của vật là \(6{\rm{m/s}}\). Vận tốc của vật sau \(10\) giây bằng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Xem đáp án
Ta có \(v\left( t \right) = \int {\frac{3}{{t + 1}}{\rm{d}}t} \) \( = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C\).
Theo giả thiết ta có \(v\left( 0 \right) = 6\) \( \Leftrightarrow C = 6\). Suy ra \(v\left( t \right) = 3\ln \left| {t + 1} \right| + 6\).
Vận tốc của vật sau \(10\) giây là \(v\left( {10} \right) = 3\ln \left| {10 + 1} \right| + 6 \approx 13{\rm{m/s}}\).
21. Tự luận
• 1 điểm

Một ô tô đang chạy với vận tốc \(20{\rm{ m/s}}\)thì người lái xe phát hiện có hàng rào chắn ngang đường ở phía trước cách xe \(45{\rm{ m}}\)(tính từ đầu xe tới hàng rào) nên người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) =  - 5t + 20{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), trong đó \(t\)là thời gian được tính từ lúc người lái đạp phanh. Khi xe dừng hẳn, khoảng cách từ xe đến hàng rào là bao nhiêu?

Xem đáp án
* Xe dừng lại khi \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 5t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 4{\rm{ }}\left( {\rm{s}} \right)\).
* Quãng đường xe đi được kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại là:
\[\int\limits_0^4 {v\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^4 {\left( { - 5t + 20} \right)dt} {\rm{ = }}\left. {\left( {20t - \frac{{5{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^4{\rm{ = 40 m}}\]
* Khi xe dừng hẳn, khoảng cách từ xe đến hàng rào là: \[45 - 40 = 5{\rm{ m}}\].
22. Tự luận
• 1 điểm

 Một vật chuyển động có phương trình \(v\left( t \right) = {t^3} - 3t + 1\)\(\left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Quãng đường vật đi được kể từ khi bắt đầu chuyển động đến khi gia tốc bằng \(24\)\({\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\)là bao nhiêu ?

Xem đáp án
Gia tốc \(a\left( t \right) = v'\left( t \right)\)\( = 3{t^2} - 3\). Tại thời điểm vật có gia tốc \(24\)\({\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\)thì \(24 = 3{t^2} - 3\)\( \Leftrightarrow t = 3\).
Quãng đường vật đi được kể từ khi bắt đầu chuyển động đến khi gia tốc bằng \(24\)\({\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\)là quãng đường vật đi từ vị trí \(t = 0\)đến vị trí \(t = 3\). Nên \(S\left( 3 \right) = \int\limits_0^3 {\left( {{t^3} - 3t + 1} \right){\rm{d}}t}  = \frac{{39}}{4}\).
23. Tự luận
• 1 điểm

 Một đoàn tàu đang chuyển động với vận tốc \({v_0} = 72\) km/h thì hãm phanh chuyển động chậm dần đều, sau \(10\) giây đạt vận tốc \({v_1} = 54\) km/h. Tàu đạt vận tốc \(v = 36\) km/h tại thời điểm nào tính từ lúc bắt đầu hãm phanh.

Xem đáp án
Gọi \(a\) là gia tốc của chuyển động chậm dần đều nên \[a\] là hằng số thực âm.
Ta có: \[v = \int_{}^{} {a\,{\rm{d}}t}  = at + C\]
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}v\left( 0 \right) = 72\,{\rm{km/h}}\\{\rm{v}}\left( {10} \right) = 54\,{\rm{km/h}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 72\\10a + C = 54\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 72\\a =  - \frac{9}{5}\end{array} \right.\]
Do đó: \[v =  - \frac{9}{5}t + 72\]. Vậy \(v = 36\)\( \Leftrightarrow 72 - \frac{9}{5}t = 36\) \( \Leftrightarrow t = 20{\rm{s}}\).
24. Tự luận
• 1 điểm

Một vật đang chuyển động với vận tốc \(10\) \({\rm{m/s}}\) thì bắt đầu tăng tốc với gia tốc \(a\left( t \right) = 6t + 12{t^2}\) \(\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\). Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian \(10\) giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là

Xem đáp án
Vật tốc \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int {\left( {6t + 12{t^2}} \right){\rm{d}}t} \)\( = 3{t^2} + 4{t^3} + C\)

Tại thời điểm \(t = 0\) (lúc bắt đầu tăng tốc) thì \(v\left( t \right) = 10\) \({\rm{m/s}}\)\( \Leftrightarrow v\left( 0 \right) = 10\)  \( \Leftrightarrow C = 10\).

Vậy \(v\left( t \right) = 3{t^2} + 4{t^3} + 10\).
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian \(10\) giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là
\(S = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right){\rm{d}}t} \) \( = \int\limits_0^{10} {\left( {3{t^2} + 4{t^3} + 10} \right){\rm{d}}t} \)\( = 11100\) \({\rm{m}}\).
25. Tự luận
• 1 điểm

Trong một chuyển động thẳng, một ô tô đang chạy với vận tốc \(15\) m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) =  - 5t + 15\) (m/s) trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Xem đáp án
Khi ô tô dùng hẳn thì \(V\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 5t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = 3\)
Quãng đường di chuyển của ô tô từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn là
\(s = \int\limits_0^3 {\left( { - 5t + 15} \right){\rm{d}}t}  = \left. {\left( { - \frac{{5{t^2}}}{2} + 15t} \right)} \right|_0^3 = 22,5\)m.
26. Tự luận
• 1 điểm

 Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = 36 - 4t\,\,\,\left( {m/s} \right)\). Tính quãng đường vật di chuyển từ thời điểm \(t = 3\left( s \right)\) đến khi dừng hẳn.

Xem đáp án
Khi xe dừng hẳn thì \(v = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(36 - 4t = 0 \Leftrightarrow t = 9\,\).
Khi đó, quãng đường \(s = \int\limits_3^9 {\left( {36 - 4t} \right)dt}  = \left. {\left( {36t - 2{t^2}} \right)} \right|_3^9 = 72\,\,\left( m \right)\).
Vậy quãng đường \(s = 72\,\,m\).
27. Tự luận
• 1 điểm

 Một ô tô đang chạy với vận tốc \(12\,{\rm{m/s}}\)thì người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) =  - 3t + 12\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), trong đó \(t\)là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Xem đáp án
Xe dừng hẳn khi \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  =  - 3t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = 4\).
Suy ra thời gian từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là bốn giây.
Quãng đường ô tô đi được là \[S = \int\limits_0^4 {v\left( t \right)} {\rm{d}}t{\rm{ = }}\int\limits_0^4 {\left( { - 3t + 12} \right)} {\rm{d}}t{\rm{ = }}\left. {\left( {\frac{{ - 3}}{2}{t^2} + 12t} \right)} \right|_0^4 = 24{\rm{m}}\].
28. Tự luận
• 1 điểm

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc \[15{\rm{ }}m/s\]thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc \[ - a{\rm{ m/}}{{\rm{s}}^2}.\]Biết ô tô chuyển động thêm được \[20m\]thì dừng hẳn. Tính giá trị của \[a\] (làm tròn đến hàng phần nghìn)?

Xem đáp án
Ta có biểu thức vận tốc: \[{v_{(t)}} = 15 - at{\rm{ }}(m/s)\]
Tại thời điểm xe dừng hẳn \[{v_{(t)}} = 0 \Rightarrow 15 - at = 0 \Rightarrow t = \frac{{15}}{a}\]
Do ô tô đi được \[20m\]thì dừng hẳn

\[ \Rightarrow S = \int\limits_0^{\frac{{15}}{a}} {{v_{\left( t \right)}}dt = 20}  \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{{15}}{a}} {\left( {15 - at} \right)dt}  = 20 \Leftrightarrow \left( {15t - \frac{{a{t^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{{15}}{a}\\0\end{array} \right. = 20\]

\[ \Leftrightarrow 15\left( {\frac{{15}}{a}} \right) - \frac{a}{2}.{\left( {\frac{{15}}{a}} \right)^2} = 20 \Leftrightarrow \frac{{225}}{a} - \frac{{225}}{{2a}} = 20 \Leftrightarrow 225 = 40a \Rightarrow a = 5,625 \in \left( {5;6} \right).\]
29. Tự luận
• 1 điểm

Một người lái xe ô tô đang chạy với vận tốc \(24\,(m/s)\) thì người lá xe phát hiện vật cản đường ở phía trước nên người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v(t) =  - 6t + 24{\rm{ }}(m/s)\), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe ô tô di chuyển được bao nhiêu mét ?

Xem đáp án
Ô tô dừng lại khi \(v(t) = 0 \Leftrightarrow  - 6t + 24 = 0 \Leftrightarrow t = 4\).
Do đó từ lúc đạp phanh (\(t = 0\)) đến khi dừng hẳn (\(t = 4\)), ô tô di chuyển được quãng đường là:
\[S = \int\limits_0^4 {( - 6t + 24)dt = \left. {( - 3{t^{{2^{}}}} + 24t)} \right|} _0^4 = 48\].
30. Tự luận
• 1 điểm

Một vật chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right) = 100 - 10t\,\,\left( {m/s} \right)\,\,\). Quãng đường vật di chuyển từ thời điểm \(t = 0\) đến lúc vật dừng hẳn là?

Xem đáp án
Ta có: \(v\left( t \right) = 100 - 10t\)
Khi vật dừng hẳn thì \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 10\)
Vậy quãng đường vật di chuyển từ thời điểm \(t = 0\) đến lúc vật dừng hẳn là
\(S = \int\limits_0^{10} {\left( {100 - 10t} \right)dt = 500} \).
31. Tự luận
• 1 điểm

Một ô tô đang chạy với vận tốc \(15{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\)thì tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc \(a = 3t - 8{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\), trong đó \(t\)là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng vận tốc. Hỏi sau \(10\)giây tăng vận tốc, ô tô đi được bao nhiêu mét ?

Xem đáp án
Vận tốc của ô tô sau khi tăng tốc là \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t} \)\[ = \int {\left( {3t - 8} \right){\rm{d}}t = \frac{3}{2}{t^2} - 8t + C} \].
Tại thời điểm \(t = 0\), ta có \(v\left( 0 \right) = 15 \Rightarrow C = 15\)\( \Rightarrow v\left( t \right) = \frac{3}{2}{t^2} - 8t + 15\).
Vậy sau \(10\)giây tăng tốc, quãng đường ô tô đi được là
\(S = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right){\rm{d}}t = } \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{3}{2}{t^2} - 8t + 15} \right){\rm{d}}t}  = 250\).
32. Tự luận
• 1 điểm

Một ô tô đang chạy với tốc độ \(36\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\) thì người lái xe đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) =  - 5t + 10\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Xem đáp án
\(\left( P \right)\).
Khi xe dừng thì vận tốc bằng \(0\)\( \Rightarrow  - 5t + 10 = 0\)\( \Rightarrow t = 2\,\left( {\rm{s}} \right)\).
Quãng đường xe đi đường từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn là
\( \Rightarrow M\left( {\frac{1}{6} + t;\frac{5}{6} + t;\frac{{13}}{6} + t} \right)\)\( = \int\limits_0^2 {\left( { - 5t + 10} \right){\rm{d}}t} \)\( = \left. {\left( { - \frac{{5{t^2}}}{2} + 10t} \right)} \right|_0^2 = 10\,\left( {\rm{m}} \right)\).
33. Tự luận
• 1 điểm

Một ô tô đang chạy với vận tốc không đổi là 20 m/s thì người lái xe đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v(t) =  - 4t + 20\) \(\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây. Quãng đường ô tô di chuyển được trong \(10\) giây cuối cùng là

Xem đáp án
Khoảng thời gian ô tô chuyển động từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn là:
\( - 4t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 5\) \(\left( {\rm{s}} \right)\).
Như vậy trong \(10\) giây cuối cùng, ô tô chạy với vận tốc không đổi là \(20\)\(\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) trong \(5\) giây đầu tiên và chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v(t) =  - 4t + 20\) \(\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) trong \(5\) giây còn lại.
Vậy quãng đường ô tô di chuyển được trong \(10\) giây cuối cùng là:
\[S = 20.5 + \int\limits_0^5 {\left( { - 4t + 20} \right){\rm{d}}t}  = 150\]\(\left( {\rm{m}} \right)\).
34. Tự luận
• 1 điểm

   Một tay đua đang điều khiển chiếc xe đua của mình với vận tốc \[180{\rm{ km/h}}\]. Tay đua nhấn ga để về đích kể từ đó xe chạy với gia tốc \[a\left( t \right) = 2t + 1{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\]. Hỏi rằng \[4s\] sau khi tay đua nhấn ga thì xe đua chạy với vận tốc bao nhiêu \[{\rm{km/h}}\]

Xem đáp án
Theo đề bài vận tốc của xe lúc nhấn ga để về đích là \[180{\rm{ km/h}}\] hay \[50{\rm{ m/s}}\].
Gọi \(v\left( t \right)\) là vận tốc của xe đua, ta có \[v(t) = \int {a(t){\rm{d}}t = \int {(2t + 1){\rm{d}}t = {t^2}} }  + t + C\].
Vì vận tốc ban đầu của xe là \[50{\rm{ m/s}}\] nên \[v(0) = 50 \Rightarrow {0^2} + 0 + C = 50\]\( \Rightarrow \) \[v(t) = {t^2} + t + 50\].
Vận tốc của xe tại thời điểm \(t = 4\left( {\rm{s}} \right)\) là \(v\left( 4 \right) = {4^2} + 4 + 50 = 70{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) hay \[252\;{\rm{km/h}}.\]
Vận tốc của xe sau 4 giây là 252km/h.
35. Tự luận
• 1 điểm

Một ô tô đang chạy với tốc độ \[20\left( {m/s} \right)\] thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \[v\left( t \right) =  - 5t + 20\left( {m/s} \right)\], trong đó \[t\] là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét (\[m\])?

Xem đáp án
Khi ô tô dừng hẳn thì: \[v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 5t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 4\left( s \right)\].
Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được: \[s = \int\limits_0^4 {\left( { - 5t + 20} \right)dt = 40\left( m \right)} \].
36. Tự luận
• 1 điểm

Một vật chuyển động với vận tốc \(10\;m/s\) thì tăng tốc với gia tốc \(a\left( t \right) = 2t + \frac{1}{3}{t^2}\left( {m/{s^2}} \right)\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. Hỏi quãng đường vật đi được trong 12 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao nhiêu mét?

Xem đáp án
Ta có: \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{dt}}}  = \int {\left( {2t + \frac{1}{3}{t^2}} \right){\rm{dt}}\;} {\rm{ = }}\;\frac{{{t^3}}}{9} + {t^2} + C\).
Vận tốc khi bắt đầu tăng tốc là \(10\;m/s\): \(v\left( 0 \right) = 10 \Leftrightarrow C = 10\).
Vận tốc của vật là \(v\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{9} + {t^2} + 10\).
Quãng đường vật đi được trong 12 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc:
\(\int\limits_0^{12} v \left( t \right){\rm{dt  = }}\int\limits_0^{12} {\left( {\frac{{{t^3}}}{9} + {t^2} + 10} \right)} {\rm{dt  =  1272}}\;{\rm{m}}\).
37. Tự luận
• 1 điểm

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc \(20\,\,{\rm{m/s}}\) thì người lái xe nhìn thấy một chướng ngại vật nên đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) =  - 2t + 20,\) trong đó \(t\) là thời gian (tính bằng giây) kể từ lúc đạp phanh. Quảng đường mà ô tô đi được trong 15 giây cuối cùng bằng

Xem đáp án
Thời gian kể từ kể từ lúc đạp phanh đến lúc xe dừng hẵn là \( - 2t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 10.\)
Quảng đường ô tô đi được trong 10s kể từ lúc đạp phanh là \(\int\limits_0^{10} {\left( { - 2t + 20} \right){\rm{d}}x}  = 100\) m.
Quảng đường ô tô đi được trong 5s cuối trước khi đạp phanh là \(20.5 = 100\) m.
Vậy trong 15s cuối, ô tô đi được quảng đường là \(200\) m.
38. Tự luận
• 1 điểm

Một ô tô đang chạy với vận tốc là 12 \[\left( {m/s} \right)\]thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) =  - 6t + 12\)\[\left( {m/s} \right)\], trong đó \(t\)là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?

Xem đáp án
Khi ô tô dừng hẳn thì vận tốc \(v\left( t \right) = 0\), tức là \(v\left( t \right) =  - 6t + 12 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 2\).
Vậy ô tô còn di chuyển được quãng đường là: \[\int\limits_0^2 {\left( { - 6t + 12} \right)} {\rm{d}}t\]\[ = 12\]\[\left( m \right)\].
39. Tự luận
• 1 điểm
Một vận động viên đua xe \[{\rm{F}}\]đang chạy với vận tốc\[{\rm{10}}\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\]thì anh ta tăng tốc với gia tốc\[a\left( t \right) = 6t\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\], trong đó\[t\]là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc. Hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian\[10\left( {\rm{s}} \right)\]kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu
Xem đáp án
Ta có \[v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}} t = \int {6t{\rm{d}}t = 3{t^2} + C} \]
Đang chạy với vận tốc\[{\rm{10}}\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\]thì bắt đầu tăng tốc, thời điểm bắt đầu tăng tốc là\[t = 0\]nên ta có
\[v\left( 0 \right) = 10 \Rightarrow C = 10 \Rightarrow v\left( t \right) = 3{t^2} + 10\].
Quãng đường đi được trong khoảng thời gian\[10\left( {\rm{s}} \right)\]kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là
\[\int\limits_0^{10} {v\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int\limits_0^{10} {\left( {3{t^2} + 10} \right){\rm{d}}t = 1100\left( {\rm{m}} \right)} \].
40. Tự luận
• 1 điểm

Một ô tô đang chạy với vận tốc \(15\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) =  - 5t + 15\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét ?

Xem đáp án
Khi dừng hẳn thì \[v(t) =  - 5t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = 3\].
Từ lúc hãm phanh đến khi dừng lại, xe di chuyển được:
\[s = \int\limits_0^3 {v(t){\rm{d}}t}  = \int\limits_0^3 {( - 5t + 15){\rm{d}}t}  = \left. {( - \frac{5}{2}{t^2} + 15t)} \right|_0^3 = 22,5\,{\rm{m}}\].
41. Tự luận
• 1 điểm

Một vật chuyển động với gia tốc \[a(t) = 3{t^2} + t{\rm{ }}({\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}).\] Vận tốc ban đầu của vật là \[2\,({\rm{m/s}}).\] Hỏi vận tốc của vật là bao nhiêu sau khi chuyển động với gia tốc đó được \[2\,{\rm{s}}.\]

Xem đáp án
Vận tốc chuyển động \[v(t) = \int {a(t){\rm{d}}t}  = \int {(3{t^2} + t){\rm{d}}t}  = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + C.\]
Chọn gốc thời gian lúc bắt đầu tăng tốc thì \[v(0) = 2 \Rightarrow C = 2 \Rightarrow v(t) = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + 2.\]
Khi đó tại thời điểm \[2\,{\rm{s}}\] thì \[v(2) = 12\,{\rm{m/s}}.\]
42. Tự luận
• 1 điểm

Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v(t) = 160 - 10t{\rm{(m/s)}}\). Quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm \(t = 0\left( {\rm{s}} \right)\) đến thời điểm mà vật dừng lại là

Xem đáp án
Gọi \({t_0}\) là thời điểm vật dừng lại, khi đó \(v({t_0}) = 0\)\[ \Leftrightarrow 160 - 10{t_0} = 0\]\[ \Leftrightarrow {t_0} = 16\].
Vậy quãng đường vật chuyển động đến lúc dừng lại là \(S = \int\limits_0^{16} {(160 - 10t)} {\rm{d}}t = 1280{\rm{ (m)}}\).
43. Tự luận
• 1 điểm

Một chất điểm chuyển động thẳng trên trục\(Ox\),với vận tốc cho bởi công thức:\(v(t) = 3{t^2} + 4t\)\((m/s)\). Biết rằng tại thời điểm bắt đầu chuyển động,chất điểm đang ở vị trí có tọa độ \(x = 2\).Tọa độ của chất điểm sau \(1\) giây chuyển động là?

Xem đáp án
Công thức xác định tọa độ của chất điểm theo thời gian là:
\(x(t) = \int {v(t)dt = \int {(3{t^2} + 4t)dt = {t^3} + 2{t^2} + c} } \)
Vì lúc bắt đầu chuyển động thì chất điểm ở vị trí có tọa độ\(x = 2\)nên ta có:\(x(0) = {0^3} + {2.0^2} + c = 2 \Rightarrow c = 2\).
Vậy công thức biểu thị tọa độ chất điểm đi được theo thời gian là: \(x\left( t \right) = {t^3} + 2{t^2} + 2.\)
Nên tọa độ của chất điểm sau \(1\) giây chuyển động là:\(x(1) = {1^3} + {2.1^2} + 2 = 5\).
44. Tự luận
• 1 điểm

Cho một vật thể bắt đầu chuyển động thẳng với biểu thức vận tốc \(v = \frac{1}{4}{t^2} + k\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Trong \(10\) giây đầu tiên đi được quãng đường là \(120\,{\rm{m}}\). Hỏi trong \(12\) giây đầu tiên quãng đường vật đi được bằng bao nhiêu?

Xem đáp án
Quãng đường đi được trong \(10\) giây đầu tiên là: \(\int\limits_0^{10} {\left( {\frac{1}{4}{t^2} + k} \right)} {\rm{d}}t = \frac{{250}}{3} + 10k = 120\) \( \Rightarrow k = \frac{{11}}{3}\).
Quãng đường đi được trong \(12\) giây đầu tiên là: \(\int\limits_0^{12} {\left( {\frac{1}{4}{t^2} + \frac{{11}}{3}} \right)} {\rm{d}}t = 188\,\left( {\rm{m}} \right)\).
45. Tự luận
• 1 điểm

Cho một vật bắt đầu chuyển động thẳng có vận tốc trong 5 giây đầu tiên là \({t^2}\,\left( {m/s} \right)\) và sau đó giữ cho chuyển động thẳng đều. Quãng đường mà vật đi được trong 20 giây tính từ thời điểm bắt đầu chuyển động bằng:

Xem đáp án
Sau 5 giây đầu tiên, vận tốc của vật là: \[{v_5} = {5^2} = 25\,\,\](m/s)
Suy ra trong 15 giây tiếp theo, vật chuyển động thẳng đều với vận tốc là 25 (m/s)
Vậy quãng đường vật đi được trong 20 giây đầu tiên là:
\[S = \int\limits_0^{20} {vdt}  = \int\limits_0^5 {vdt}  + \int\limits_5^{20} {vdt}  = \int\limits_0^5 {{t^2}dt}  + \int\limits_5^{20} {25dt}  = \frac{{1250}}{3}\] (m).
46. Tự luận
• 1 điểm

Một vật đang chuyển động thẳng với vận tốc \({v_0} = 20{\rm{ m/s}}\) thì ở thời điểm \({t_1}\) chịu tác dụng của một lực hãm và gia tốc \(a = 1 - 2t{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\). Quãng đường vật đi được tính từ \({t_1}\) đến khi vật dừng lại là

Xem đáp án
Chọn hệ quy chiếu có chiều dương là chiều chuyển động của vật, gốc thời gian là tại thời điểm vật bắt đầu chịu tác dụng của lực hãm.
Vận tốc của vật là \(v = \int {a{\rm{d}}t = } \int {\left( {1 - 2t} \right){\rm{d}}t = t - {t^2} + C{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)} \).
Dựa vào điều kiện ban đầu, ta có \({v_0} = 20 = C \Rightarrow v = t - {t^2} + 20{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Vật dừng lại khi \(v = t - {t^2} + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 4\\t = 5\end{array} \right.\)
Theo cách hệ hệ quy chiếu ta có \(t = 5{\rm{ }}\left( {\rm{s}} \right)\) thỏa mãn.
Suy ra quãng đường vật đi được tính từ lúc chịu tác dụng của lực hãm cho đến khi dừng lại là
\(\int\limits_0^5 {\left| v \right|{\rm{d}}t = } \int\limits_0^5 {\left| {t - {t^2} + 20} \right|{\rm{d}}t = } \frac{{425}}{6}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
47. Tự luận
• 1 điểm
Một chất điểm A xuất phát từ 0, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t)=1180t2+1118t(m/s), trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng a(m/s) (a là hằng số)
. Sau khi \[B\] xuất phát được \[10\] giây thì đuổi kịp \[A\]. Vận tốc của \[B\] tại thời điểm đuổi kịp \[A\] bằng
Xem đáp án
+) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm \[A\] bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm \[B\] bắt kịp thì \[A\] đi được \[15\] giây, \[B\] đi được 10 giây.
+) Biểu thức vận tốc của chất điểm \[B\] có dạng \[{v_B}\left( t \right) = \int {a{\rm{d}}t} = at + C\], lại có \[{v_B}\left( 0 \right) = 0\] nên \[{v_B}\left( t \right) = at\].
+) Từ lúc chất điểm \[A\] bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm \[B\] bắt kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được là bằng nhau. Do đó
\[\int\limits_0^{15} {\left( {\frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{11}}{{18}}t} \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^{10} {at{\rm{d}}t} \]\[ \Leftrightarrow 75 = 50a\]\[ \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}\].

Từ đó, vận tốc của \[B\] tại thời điểm đuổi kịp \[A\] bằng vB(10)=3.102 = 15

48. Tự luận
• 1 điểm

Một vật chuyển động trong \[3\] giờ với vận tốc \[v\left( {{\rm{km/h}}} \right)\] phụ thuộc thời gian \[t\left( {\rm{h}} \right)\]có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh \[I\left( {2;9} \right)\] và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường \[s\]mà vật di chuyển được trong \[3\] giờ đó.

     Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc (ảnh 1)
 
Xem đáp án
Tìm được phương trình của vận tốc là \(v\left( t \right) =  - \frac{3}{4}{t^2} + 3t + 6\)
Vậy \(S = \int\limits_0^3 {( - \frac{3}{4}{t^2} + 3t + 6} )dt = \) 24,75.
49. Tự luận
• 1 điểm

Một vật đang chuyển động với vận tốc \(10\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) thì tăng tốc với gia tốc \(a\left( t \right) = 3{t^2} + 2t\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\). Tính quãng đường \[S\left( {\rm{m}} \right)\] mà vật đi được trong khoảng thời gian \[12\] giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

Xem đáp án
Gọi \(v\left( t \right)\) là vận tốc của vật, ta có \(v'\left( t \right) = a\left( t \right) = 3{t^2} + 2t \Rightarrow v\left( t \right) = \int {\left( {3{t^2} + 2t} \right)} {\rm{d}}t = {t^3} + {t^2} + C\).
Do \(v\left( 0 \right) = 10 \Leftrightarrow C = 10 \Rightarrow v\left( t \right) = {t^3} + {t^2} + 10\,\).
Khi đó s=∫012(t3+t2+10)dt=(t44+t33+10t)120=5880(m)
50. Tự luận
• 1 điểm

Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc \[v\left( t \right) = 150 - 10t{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\] trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động chậm dần đều. Trong 4 giây trước khi dừng hẳn, vật di chuyển được quãng đường bằng

Xem đáp án
Ta có: \[v = 0 \Rightarrow 150 - 10t = 0 \Leftrightarrow t = 15\].
Trong 4 giây trước khi dừng hẳn, vật di chuyển được quãng đường là:
\(s = \int\limits_{11}^{15} {\left( {150 - 10t} \right){\rm{d}}t}  = 80\,{\rm{m}}\).
51. Tự luận
• 1 điểm

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc \({v_1}\left( t \right) = 7t\left( {m/s} \right)\). Đi được \(5\left( s \right)\), người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc là \(a =  - 70\left( {m/{s^2}} \right)\). Tính quãng đường \(S\) từ lúc ô tô bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

Xem đáp án
Vận tốc ô tô sau khi phanh gấp là: \({v_2}\left( t \right) = \int {\left( { - 70} \right){\rm{d}}t =  - 70t + c} \)
Khi \(t = 5\) thì \({v_1}\left( 5 \right) = 35\) \( \Rightarrow {v_2}\left( 0 \right) = 35\)\( \Leftrightarrow c = 35\)
Khi ô tô dừng hẳn thì \({v_2}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\)
Vậy quãng đường \(S\) từ lúc ô tô bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là \(S = \int\limits_0^5 {\left( {7t} \right)} {\rm{d}}t + \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { - 70t + 35} \right)} {\rm{d}}t = \frac{{385}}{4}m\)
52. Tự luận
• 1 điểm

Một ô tô đang chạy với vận tốc \(15\,\,\left( {m/s} \right)\) thì tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc \(a = 3t - 8\,\,\left( {m/{s^2}} \right)\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng vận tốc. Hỏi sau \(10\) giây tăng vận tốc ô tô đi được bao nhiêu mét?

Xem đáp án
Ta có: \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{dt}}}  = \int {\left( {3t - 8} \right){\rm{dt}}\;} {\rm{ = }}\;\frac{{3{t^2}}}{2} - 8t + C\).
Vận tốc khi ô tô bắt đầu tăng tốc là \(15\;m/s\): \(v\left( 0 \right) = 15 \Leftrightarrow C = 15\).
Vận tốc của ô tô là \(v\left( t \right) = \frac{{3{t^2}}}{2} - 8t + 15\).
Quãng đường ô tô đi được sau \(10\) giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là
\(\int\limits_0^{10} v \left( t \right){\rm{dt  = }}\int\limits_0^{10} {\left( {\frac{{3{t^2}}}{2} - 8t + 15} \right)} {\rm{dt  =  250}}\;\left( {\rm{m}} \right)\).
53. Tự luận
• 1 điểm

Một vật chuyển động với phương trình vận tốc là \(v\left( t \right) = 5 + 2t\,\left( {m/s} \right)\). Hỏi quãng đường vật di chuyển được từ thời điểm \({t_0} = 0\,\left( s \right)\) đến thời điểm \(t = 5\,\left( s \right)\) ?

Xem đáp án
Quãng đường vật di chuyển được là
\(S = \int\limits_0^5 {\left( {5 + 2t} \right){\rm{dt}}} \, = \,\left( {5t + {t^2}} \right)\left| \begin{array}{l}5\\0\end{array} \right. = 5.5 + {5^2} = 50\,m\).
54. Tự luận
• 1 điểm

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc \(v(km/h)\) phụ thuộc vào thời gian \(t(h)\) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh \(I(2;9)\) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường \(s\) mà vật chuyển động được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc vào thời gian t(h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong thời gian 1 giờ kể từ (ảnh 1)
Xem đáp án
Gọi phương trình của parabol \(v = a{t^2} + bt + c\) ta có hệ như sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 4}\\{4a + 2b + c = 9}\\{ - \frac{b}{{2a}} = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5\\c = 4\\a =  - \frac{5}{4}\end{array} \right.\)
Với \(t = 1\) ta có \(v = \frac{{31}}{4}\).
Vậy quãng đường vật chuyển động được là \(s = \int\limits_0^1 {\left( { - \frac{5}{4}{t^2} + 5t + 4} \right)} dt + \int\limits_1^3 {\frac{{31}}{4}} dt = \frac{{259}}{{12}} \approx {\rm{21}}{\rm{,583}}\).
55. Tự luận
• 1 điểm

Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc \(v\left( {km/h} \right)\) phụ thuộc thời gian \(t\left( h \right)\) có đồ thị của vận tốc. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường Parabol có đỉnh \(I\left( {2;9} \right)\) với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành . Tính quãng đuờng \(s\) mà vật chuyển động trong 4 giờ đó.

         Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t( h) có đồ thị của vận tốc. (ảnh 1)
Xem đáp án
Gọi \[\left( P \right):y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\].
Vì \(\left( P \right)\) qua \(O\left( {0;0} \right)\) và có đỉnh \(I\left( {2;9} \right)\) nên dễ tìm được phương trình \(\left( P \right)\) là \[y = \frac{{ - 9}}{4}{{\rm{x}}^2} + 9x\].
Ngoài ra tại \(x = 3\) ta có \[y = \frac{{27}}{4}\]. Suy ra \[S = \int\limits_0^3 {\left( {\frac{{ - 9}}{4}{{\rm{x}}^2} + 9x} \right)} dx + \int\limits_3^4 {\frac{{27}}{4}} x = 27(km)\]
56. Tự luận
• 1 điểm

Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc \(v\) (km/h) phụ thuộc vào thời gian \(t\) (h) có đồ thị là một phần parabol với đỉnh \(I\left( {\frac{1}{2};{\rm{ }}8} \right)\) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quảng đường \(s\) người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi chạy?

Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần parabol với đỉnh (ảnh 1)
Xem đáp án
Gọi parabol là \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c.\) Từ hình vẽ ta có \(\left( P \right)\) đi qua \(O\left( {0;{\rm{ }}0} \right)\), \(A\left( {1;{\rm{ }}0} \right)\) và điểm \(I\left( {\frac{1}{2};{\rm{ }}8} \right)\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a + b + c = 0\\\frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 32\\b = 32\\c = 0\end{array} \right..\)
Vậy \(\left( P \right):y =  - 32{x^2} + 32x\). Quảng đường người đó đi được là \[s = \int\limits_0^{\frac{3}{4}} {\left( { - 32{x^2} + 32x} \right){\rm{d}}x = } 4,5\](km).
57. Tự luận
• 1 điểm

Một ô tô chạy với vận tốc \({v_0}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\)thì gặp chướng ngại vật nên người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó ôtô chuyển động chậm dần với gia tốc \(a =  - 8t\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\)trong đó \(t\)là thời gian tính bằng giây. Biết từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được \(12{\rm{m}}\). Tính \({v_0}?\)

Xem đáp án
\(a =  - 8t\left( {m/{s^2}} \right) \Rightarrow v = \int { - 8t{\rm{d}}t}  =  - 4{t^2} + C\).
Tại thời điểm \(t = 0\)thì vận tốc của vật là \({v_0}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\)nên ta có \({v_0} = C\), vậy \(v =  - 4{t^2} + {v_0}\).
Tại thời điểm \({t_0}\)vận tốc của vật là \(0\)nên ta có \(0 =  - 4{t_0}^2 + {v_0} \Leftrightarrow 4{t_0}^2 = {v_0}\).
Ta có
\(\int_0^{{t_0}} {\left( { - 4{t^2} + {v_0}} \right){\rm{d}}t}  = 12\)\( \Leftrightarrow  - \frac{{4{t_0}^3}}{3} + {v_0}{t_0} = 12\)\( \Leftrightarrow  - \frac{{4{t_0}^3}}{3} + 4{t_0}^3 = 12\)\( \Leftrightarrow {t_0} = \frac{{\sqrt[3]{{36}}}}{2}\).
\( \Rightarrow {v_0} = 4.{\left( {\frac{{\sqrt[3]{{36}}}}{2}} \right)^2} = \sqrt[3]{{1296}}\).
58. Tự luận
• 1 điểm

Một chiếc xe đua thể thức I bắt đầu chuyển động tăng tốc với gia tốc không đổi, khi vận tốc \(80\,{\rm{m/s}}\)thì xe chuyển động với vận tốc không đổi trong thời gian \(56\,{\rm{s}}\), sau đó nó giảm với gia tốc không đổi đến khi dừng lại. Biết rằng thời gian chuyển động của xe là \(74\,{\rm{s}}\). Tính quãng đường đi được của xe.

Xem đáp án
Lần tăng tốc đầu tiên xe chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right) = a.t\), \(\left( {a > 0} \right)\).
Đến khi xe đạt vận tốc \(80{\rm{m/s}}\)thì xe chuyển động hết \({t_1} = \frac{{80}}{a}\left( {\rm{s}} \right)\).
Lần giảm tốc, xe chuyển động với vận tốc \({v_3} = 80 - bt\), \(\left( {b > 0} \right)\).
Khi xe dừng lại thì xe chuyển động thêm được \({t_3} = \frac{{80}}{b}\left( {\rm{s}} \right)\).
Theo yêu cầu bài toán ta có \(\frac{{80}}{a} + 56 + \frac{{80}}{b} = 74 \Leftrightarrow \frac{{80}}{a} + \frac{{80}}{b} = 18\).
Ta có \[{{\rm{S}}_1} = \int\limits_0^{{t_1}} {at{\rm{dt}}}  = \int\limits_0^{\frac{{80}}{a}} {at{\rm{dt}}}  = \frac{1}{2}.\frac{{{{80}^2}}}{a}\left( {\rm{m}} \right)\].
\[{{\rm{S}}_2} = 80.56\left( {\rm{m}} \right)\].
\[{{\rm{S}}_3} = b\int\limits_0^{{t_3}} {\left( {80 - bt} \right){\rm{dt}}}  = \int\limits_0^{\frac{{80}}{b}} {\left( {80 - bt} \right){\rm{dt}}}  = \frac{1}{2}.\frac{{{{80}^2}}}{b}\left( {\rm{m}} \right)\].
Vậy quảng đường xe chạy được là \[{{\rm{S}}_3} = \frac{1}{2}.80.\left( {\frac{{80}}{a} + \frac{{80}}{b}} \right) + 80.56 = 40.18 + 80.56 = 5200\left( {\rm{m}} \right)\].
59. Tự luận
• 1 điểm

 Một chất điểm\(A\) xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật \(v\left( t \right) = \frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{11}}{{18}}t\left( {m/s} \right)\) trong đó \(t\)(giây) là khoảng thời gian tính từ \(A\) lúc bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ một chất điểm \(B\) cũng xuấ phát từ \(O\), chuyển động thẳng hướng với \(A\) nhưng chậm hơn \(5\) giây so với \(A\) và có gia tốc bằng \(a\left( {m/{s^2}} \right)\)(\(a\) là hằng số). Sau khi \(B\) xuất phát được \(10\) giây thì đuổi kịp \(A\). Vận tốc của \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) bằng bao nhiêu?

Xem đáp án
Từ đề bài ta suy ra tính từ lúc chất điểm \(A\) bắt đầu chuyển động cho đến khi chất điểm \(B\) đuôi kịp thì chất điểm \(A\) đi được \(15\)giây.
Vận tốc của chất điểm \(B\) là: \({v_B}\left( t \right) = \int {adt = at + C} \) và \({v_B}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\) hay \({v_B}\left( t \right) = at\)
từ lúc chất điểm \(A\) bắt đầu chuyển động cho đến khi chất điểm \(B\) đuôi kịp thì chất điểm \(A\) thì quảng đường bằng nhau nên:
\(\int\limits_0^{15} {\left( {\frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{11}}{{18}}t} \right)dt = \int\limits_0^{10} {atdt \Leftrightarrow 75 = 50a \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}} } \).
Suy ra vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là \({v_B}(10) = \frac{3}{2}.10 = 15(m/s)\)
60. Tự luận
• 1 điểm

     Một chất điểm \[A\] xuất phát từ \[O\], chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật \[v\left( t \right) = \frac{1}{{150}}{t^2} + \frac{{59}}{{75}}t\,\left( {{\rm{m}}\,{\rm{/}}\,{\rm{s}}} \right)\], trong đó \[t\] (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc \[A\] bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm \[B\] cũng xuất phát từ \[O\], chuyển động thẳng cùng hướng với \[A\] nhưng chậm hơn \[3\] giây so với \[A\] và có gia tốc bằng \[a\,\left( {{\rm{m}}\,{\rm{/}}\,{{\rm{s}}^2}} \right)\] (\[a\] là hằng số). Sau khi \[B\] xuất phát được \[12\] giây thì đuổi kịp \[A\]. Vận tốc của \[B\] tại thời điểm đuổi kịp \[A\] bằng.

Xem đáp án
+) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm \[A\] bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm \[B\] bắt kịp thì \[A\] đi được \[15\] giây, \[B\] đi được \[12\] giây.
+) Biểu thức vận tốc của chất điểm \[B\] có dạng \[{v_B}\left( t \right) = \int {adt}  = at + C\], lại có \[{v_B}\left( 0 \right) = 0\] nên \[{v_B}\left( t \right) = at\].
+) Từ lúc chất điểm \[A\] bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm \[B\] bắt kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được là bằng nhau. Do đó
\[\int\limits_0^{15} {\left( {\frac{1}{{150}}{t^2} + \frac{{59}}{{75}}t} \right)dt}  = \int\limits_0^{12} {atdt} \]\[ \Leftrightarrow 96 = 72a\]\[ \Leftrightarrow a = \frac{4}{3}\].
Từ đó, vận tốc của \[B\] tại thời điểm đuổi kịp \[A\] bằng \({v_B}\left( {12} \right) = \frac{4}{3}.12 = 16\,\left( {m/s} \right)\).
61. Tự luận
• 1 điểm

Một chất điểm \(A\) xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật \(v\left( t \right) = \frac{1}{{100}}{t^2} + \frac{{13}}{{30}}t \left( {{\rm{m/s}}} \right)\), trong đó \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc \(A\) bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm \(B\) cũng xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng cùng hướng với \(A\) nhưng chậm hơn \(10\) giây so với \(A\) và có gia tốc bằng \(a \left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\) (\(a\) là hằng số). Sau khi \(B\) xuất phát được \(15\) giây thì đuổi kịp \(A\). Vận tốc của \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) bằng

Xem đáp án
Ta có \({v_B}\left( t \right) = \int {a.{\rm{dt}}}  = at + C\), \({v_B}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\) \( \Rightarrow {v_B}\left( t \right) = at\).
Quãng đường chất điểm \(A\) đi được trong \(25\) giây là
\({S_A} = \int\limits_0^{25} { \left( {\frac{1}{{100}}{t^2} + \frac{{13}}{{30}}t } \right){\rm{dt}}} \) \( = \left( {\frac{1}{{300}}{t^3} + \frac{{13}}{{60}}{t^2}} \right) \left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle25\atop\scriptstyle}} \right. = \frac{{375}}{2}\).
Quãng đường chất điểm \(B\) đi được trong \(15\) giây là sB=∫015at.dt=at22150=225a2
Ta có \(\frac{{375}}{2} = \frac{{225a}}{2} \Leftrightarrow a = \frac{5}{3}\). Vận tốc của \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) là \({v_B}\left( {15} \right) = \frac{5}{3}.15 = 25 \left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
62. Tự luận
• 1 điểm

 Một chất điểm \(A\) xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật \(v\left( t \right) = \frac{1}{{120}}{t^2} + \frac{{58}}{{45}}t\left( {m/s} \right)\), trong đó \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc \(A\) bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm \(B\) cũng xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng cùng hướng với \(A\) nhưng chậm hơn \(3\) giây so với \(A\) và có gia tốc bằng \(a\left( {m/{s^2}} \right)\) (\(a\) là hằng số). Sau khi \(B\) xuất phát được \(15\) giây thì đuổi kịp \(A\). Vận tốc của \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) bằng

Xem đáp án
Thời điểm chất điểm \(B\) đuổi kịp chất điểm \(A\) thì chất điểm \(B\) đi được \(15\)giây, chất điểm \(A\)đi được \(18\) giây.
Biểu thức vận tốc của chất điểm \(B\) có dạng \({v_B}\left( t \right) = \int {a{\rm{d}}t}  = at + C\) mà \({v_B}\left( 0 \right) = 0\) nên \({v_B}\left( t \right) = at\).
Do từ lúc chất điểm \(A\) bắt đầu chuyển động cho đến khi chất điểm \(B\) đuổi kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được bằng nhau. Do đó \(\int_0^{18} {\left( {\frac{1}{{120}}{t^2} + \frac{{58}}{{45}}} \right){\rm{d}}t}  = \int_0^{15} {at{\rm{d}}t}  \Leftrightarrow 225 = a.\frac{{225}}{2} \Leftrightarrow a = 2\)
Vậy, vận tốc của chất điểm \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) bằng \({v_B}\left( t \right) = 2.15 = 30\left( {m/s} \right)\).
63. Tự luận
• 1 điểm

Một ô tô đang đứng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc \(a(t) = 6 - 3t\,(m/{s^2})\), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là

Xem đáp án
\(v(t) = \int {a(t)dt = } \int {(6 - 3t)dt = } 6t - \frac{3}{2}{t^2} + C\).
Khi \(t = 0\) thì \(v = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow v(t) = 6t - \frac{3}{2}{t^2}\); \(v'(t) = 6 - 3t,\,\,\,\,\,v'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2\)
         Một ô tô đang đứng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc a(t) = 6 - 3t,(m/s^2) (ảnh 1)
Khi đó: \[S(t) = \int\limits_0^2 {(6t - \frac{3}{2}{t^2})dt}  = 8.\]
64. Tự luận
• 1 điểm

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc \({v_1}\left( t \right) = 2t{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Đi được \(12\) giây, người lái xe gặp chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc \(a =  - 12{\mkern 1mu} \left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\). Tính quãng đường \(s\left( {\rm{m}} \right)\) đi được của ôtô từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi dừng hẳn?

Xem đáp án
Giai đoạn 1: Xe bắt đầu chuyển động đến khi gặp chướng ngại vật.
Quãng đường xe đi được là: \({S_1} = \int\limits_0^{12} {{v_1}\left( t \right){\rm{d}}t} \) \( = \int\limits_0^{12} {2t{\rm{d}}t} \) \( = \left. {{t^2}} \right|_0^{12}\) \( = 144{\mkern 1mu} \left( {\rm{m}} \right)\).
 Giai đoạn 2: Xe gặp chướng ngại vật đến khi dừng hẳn.
Ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \({v_2}\left( t \right) = \int {a{\rm{d}}t}  =  - 12t + c\).
Vận tốc của xe khi gặp chướng ngại vật là: \({v_2}\left( 0 \right) = {v_1}\left( {12} \right) = 2.12 = 24{\mkern 1mu} \left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
\( \Rightarrow  - 12.0 + c = 24\)\( \Rightarrow c = 24\)\( \Rightarrow {v_2}\left( t \right) =  - 12t + 24\).
Thời gian khi xe gặp chướng ngại vật đến khi xe dừng hẳn là: \( - 12t + 24 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 2\).
Khi đó, quãng đường xe đi được là: \({S_2} = \int\limits_0^2 {{v_2}\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_0^2 {\left( { - 12t + 24} \right){\rm{d}}t} \) \( = \left. {\left( { - 6{t^2} + 24t} \right)} \right|_0^2 = 24{\mkern 1mu} \left( {\rm{m}} \right)\).
Vậy tổng quãng đường xe đi được là: \(S = {S_1} + {S_2} = 168{\mkern 1mu} \left( {\rm{m}} \right)\).
65. Tự luận
• 1 điểm

Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = 7t\)\(\left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Đi được \(5\)\(\left( {\rm{s}} \right)\)người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc \(a =  - 35\)\(\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\). Tính quãng đường của ô tô đi được từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn?

Xem đáp án
Quãng đường ô tô đi được trong \(5\)\(\left( {\rm{s}} \right)\)đầu là \[{s_1} = \int\limits_0^5 {7t{\rm{d}}t}  = 7\left. {\frac{{{t^2}}}{2}} \right|_0^5 = 87,5\](mét).
Phương trình vận tốc của ô tô khi người lái xe phát hiện chướng ngại vật là \({v_{\left( 2 \right)}}\left( t \right) = 35 - 35t\)(m/s).
Khi xe dừng lại hẳn thì \({v_{\left( 2 \right)}}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 35 - 35t = 0 \Leftrightarrow t = 1\).

Quãng đường ô tô đi được từ khi phanh gấp đến khi dừng lại hẳn là

\({s_2} = \int\limits_0^1 {\left( {35 - 35t} \right){\rm{d}}t} \)\( = \left. {\left( {35t - 35\frac{{{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1\)\( = 17.5\)(mét).
Vậy \(s = {s_1} + {s_2}\)\( = 87.5 + 17.5\)\( = 105\)(mét).
66. Tự luận
• 1 điểm

Một vật chuyển động với vận tốc \[10\,\,{\rm{m/s}}\] thì tăng tốc với gia tốc \[a\left( t \right) = 3t + {t^2}\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\]. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian \(10\) giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là:

Xem đáp án
Cần nhớ: \[v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)} \,{\rm{d}}t\] ; \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right){\rm{d}}t} \), ngược lại : \(v = s'\left( t \right),a = v'\left( t \right)\).
Ta có : \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int {\left( {3t + {t^2}} \right){\rm{d}}t}  = \frac{{3{t^2}}}{2} + \frac{{{t^3}}}{3} + C\).
\(t = 0\) và \[v = 10\,\,{\rm{m/s}}\] nên \(v\left( 0 \right) = 10 \Leftrightarrow C = 10\). Ta được : \(v\left( t \right) = \frac{{3{t^2}}}{2} + \frac{{{t^3}}}{3} + 10\).
Sau \(10\) giây, quãng đường vật đi được là: \(s = \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{{3{t^2}}}{2} + \frac{{{t^3}}}{3} + 10} \right)} \,{\rm{d}}t = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{2} + \frac{{{t^4}}}{{12}} + 10t} \right)} \right|_0^{10} = \frac{{4300}}{3}\,m.\)
67. Tự luận
• 1 điểm

Một chuyển động trong 4 giờ với vận tốc \[v\]( km/h) phụ thuộc thời gian \[t\] ( h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh \[I\left( {1;1} \right)\] và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường \[s\] mà vật đi được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát.

   Một chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v( km/h) phụ thuộc thời gian (ảnh 1)
Xem đáp án
Ta có phương trình vận tốc \[v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c{\rm{       }}\left( P \right)\]
\[\left( P \right)\] qua điểm \[\left( {{\rm{0;2}}} \right)\] nên \[c = 2\].
Mặt khác \[\left( {\rm{P}} \right)\] có đỉnh \[\left( {{\rm{1;1}}} \right)\] nên
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 1\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\end{array} \right.\]
Nên phương trình vận tốc \[v\left( t \right) = {t^2} - 2t + 2\]
Nên phương trình vận tốc \[v\left( t \right) = {t^2} - 2t + 2\]
\[\int_0^4 {\left( {{t^2} - 2t + 2} \right)dt}  = \frac{{40}}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{km}}} \right)\].
68. Tự luận
• 1 điểm

Một xe chuyển động với vận tốc thay đổi là v(t)=3at3+bt(m) (m). Gọi S(t) là quãng đường đi được sau t giây. Biết rằng sau t giây thì quãng đường đi được là \(15{\rm{ m}}\), sau t giây thì quãng đường đi được là \(80{\rm{ m}}\). Tính quãng đường xe đi được sau t giây.

Xem đáp án
Quãng đường đi được sau 5 giây là: s1=∫05v(t)dt=∫05(3at2+bt)dt=(at3+bt22)50=125a+252a
Quãng đường đi được sau 10 giây là:s2=∫010v(t)dt=∫010(3at2+bt)dt=(at3+bt22)100=1000a+50b
Theo đề bài, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}125a + \frac{{25}}{2}b = 15\\1000a + 50b = 80\end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{25}}\\b = \frac{4}{5}\end{array} \right.\)
Như vậy \(v\left( t \right) = \frac{3}{{25}}{t^2} + \frac{4}{5}t\), nên quãng đường xe đi được sau  giây là \(S = \int\limits_0^{20} {\left( {\frac{3}{{25}}{t^2} + \frac{4}{5}t} \right)} dt = 480{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)
69. Tự luận
• 1 điểm

Một vật chuyển động trong \[3\] giờ với vận tốc \[v\]\[\left( {km/h} \right)\]phụ thuộc vào thời gian \[t\]\[\left( h \right)\] có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian \[1\] giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh \[I\left( {2;5} \right)\] và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong \[3\] giờ đó.

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v(km/h) phụ thuộc vào thời gian (ảnh 1)
Xem đáp án
Parabol có đỉnh \(I\left( {2;5} \right)\) và đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\)có phương trình \(y =  - {x^2} + 4x + 1\).
Quãng đường vật đi được trong \(1\) giờ đầu là:
\({S_1} = \int\limits_0^1 {\left( { - {x^2} + 4x + 1} \right)dx = \frac{8}{3}} \). Quãng đường vật đi được trong \(2\) giờ sau là \({S_2} = 2.4 = 8\)
Vậy trong ba giờ vật đi được quãng đường là \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{8}{3} + 8 = \frac{{32}}{3}\,\)\(\left( {km} \right)\).
70. Tự luận
• 1 điểm

Cho hai chất điểm \[A\] và \[B\] cùng bắt đầu chuyển động trên trục \[Ox\] từ thời điểm \[t = 0\]. Tại thời điểm \[t\], vị trí của chất điểm \[A\] được cho bởi \[x = f\left( t \right) =  - 6 + 2t - \frac{1}{2}{t^2}\] và vị trí của chất điểm \[B\] được cho bởi \[x = g\left( t \right) = 4\sin t\]. Gọi \[{t_1}\] là thời điểm đầu tiên và \[{t_2}\] là thời điểm thứ hai mà hai chất điểm có vận tốc bằng nhau. Tính theo \[{t_1}\] và \[{t_2}\] độ dài quãng đường mà chất điểm \[A\] đã di chuyển từ thời điểm \[{t_1}\] đến thời điểm \[{t_2}\].

Xem đáp án
\[v\left( t \right) = f'\left( t \right) = 2 - t\]. Do đó \(S = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\left| { - t + 2} \right|} {\rm{dt}}\;{\rm{ = }}\;\int_{{t_1}}^2 {\left( {2 - t} \right)} {\rm{dt + }}\;\int_2^{{t_2}} {\left( {2 - t} \right)} {\rm{dt}}\)\( = 4 - 2\left( {{t_1} + {t_2}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{t_1}^2 + {t_2}^2} \right)\).
71. Tự luận
• 1 điểm

Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc \(v\left( t \right) = {t^2} + 10t\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) với \(t\) là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc \(200\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là

Xem đáp án
Thời điểm máy bay đạt vận tốc \(200\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) là nghiệm của phương trình:
\({t^2} + 10t = 200\)\( \Leftrightarrow {t^2} + 10t - 200 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\\t =  - 20\end{array} \right.\)\( \Rightarrow t = 10\left( {\rm{s}} \right)\).
Quãng đường máy bay di chuyển trên đường băng là:
\(s = \int\limits_0^{10} {\left( {{t^2} + 10t} \right){\rm{d}}t} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + 5{t^2}} \right)} \right|_0^{10}\)\( = \frac{{2500}}{3}\left( {\rm{m}} \right)\).
72. Tự luận
• 1 điểm

Hai ô tô xuất phát tại cùng một thời điểm trên cùng đoạn thẳng \(AB\), ô tô thứ nhất bắt đầu xuất phát từ \(A\) và đi theo hướng từ \(A\) đến \(B\) với vận tốc \({v_s}\left( t \right) = 2t + 1\,\left( {km/h} \right)\); ô tô thứ hai xuất phát từ \(O\) cách \(A\) một khoảng \(22\,km\) và đi theo hướng từ \(A\) đến \(B\) với vận tốc \(10\,km/h\), sau một khoảng thời gian người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô thứ hai chuyển động chậm dần đều với vận tốc \({v_s}\left( t \right) =  - 5t + 20\,\left( {km/h} \right)\). Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu kể từ khi xuất phát hai ô tô đó gặp nhau?

Xem đáp án
Gọi \(a\,\left( h \right)\) là khoảng thời gian hai xe gặp nhau.
Sau \(a\,\left( h \right)\) xe ôt ô thứ nhất đi được quãng đường \(\int\limits_0^a {\left( {2t + 1} \right){\rm{d}}t}  = {a^2} + a\).
Xét chuyển động của xe ô tô thứ 2.
+) Chọn mốc thời gian là lúc người lái xe đạp phanh.
Ta có \({v_0} = v\left( {{t_0}} \right) =  - 5{t_0} + 20\)
Mặt khác \({v_0} = 10\)\( \Rightarrow  - 5{t_0} + 20 = 10 \Rightarrow {t_0} = 2\).
Vậy sau khi chạy được \(2\left( h \right)\)xe ô tô thứ 2 đạp phanh.
Sau \(a\,\left( h \right)\) xe ô tô thứ 2 cách \(A\)một quãng đường là \(22 + 10.2 + \int\limits_2^a {\left( { - 5t + 20} \right){\rm{d}}t} \)\( = 12 - \frac{5}{2}{a^2} + 20a\)
Sau \(a\,\left( h \right)\) hai xe gặp nhau nên ta có:\({a^2} + a = 12 - \frac{5}{2}{a^2} + 20a\)\( \Leftrightarrow \frac{7}{2}{a^2} - 19a - 12 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - \frac{4}{7}\,\\a = 6\end{array} \right.\)
Vậy \(a = 6\).
73. Tự luận
• 1 điểm

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc \({v_1}\left( t \right) = 7t{\rm{ }}\left( {m/s} \right)\). Đi được \[5{\rm{s}}\], người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc \(a =  - 70{\rm{  }}\left( {m/{s^2}} \right)\). Tính quãng đường \[S\] đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

Xem đáp án
Chọn gốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu đi. Sau \(5{\rm{s}}\) ô tô đạt vận tốc là \(v\left( 5 \right) = 35\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Sau khi phanh vận tốc ô tô là \(v\left( t \right) = 35 - 70\left( {t - 5} \right)\).
Ô tô dừng tại thời điểm \(t = 5,5{\rm{s}}\).
Quãng đường ô tô đi được là \(S = \int\limits_0^5 {7t{\rm{d}}t}  + \int\limits_5^{5,5} {\left[ {35 - 70\left( {t - 5} \right)} \right]{\rm{d}}t}  = 96,25\left( {\rm{m}} \right)\).
74. Tự luận
• 1 điểm

Ông A đi làm lúc 7 giờ và đến cơ quan lúc 7 giờ 12 phút bằng xe gắn máy, trên đường đến cơ quan ông A gặp một người băng qua đường nên ông phải giảm tốc độ để đảm bào an toàn rồi sau đó lại từ từ tăng tốc độ để đến cơ quan làm việc. Hỏi quãng đường kể từ lúc ông A giảm tốc độ để tránh tai nạn cho đến khi tới cơ quan dài bao nhiêu mét? (Độ thị dưới đâu mô tả vận tốc chuyển động của ông A theo thời gian khi đến cơ quan)

   Ông A đi làm lúc 7 giờ và đến cơ quan lúc 7 giờ 12 phút bằng xe gắn máy, trên đường đến cơ quan ông A gặp một người băng qua đường nên ông phải giảm tốc độ để đảm bào an toàn rồi sau đó l (ảnh 1)
Xem đáp án
Thời gian đi đến cơ quan của ông A là 12 phút bằng 0,2 giờ.
Chọn gốc thời gian từ lúc 7 giờ sáng \(\left( {t = 0} \right)\).
Lúc ông A giảm tốc độ là 7 giờ 5 phút \(\left( {t = \frac{5}{{60}} = \frac{1}{{12}}} \right)\)
Ta có: \(s = \int\limits_{\frac{1}{{12}}}^{0,2} {v(t)dt} \) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đường cong \(v\left( t \right)\) và hai đường thẳng \(t = \frac{1}{{12}}\), \(t = 0,2\)
Diện tích hình phẳng trên được tính bằng cách chia nhỏ các hình đã biết nên
   Ông A đi làm lúc 7 giờ và đến cơ quan lúc 7 giờ 12 phút bằng xe gắn máy, trên đường đến cơ quan ông A gặp một người băng qua đường nên ông phải giảm tốc độ để đảm bào an toàn rồi sau đó l (ảnh 2)
\(s = \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{1}{{60}} + \frac{{\frac{6}{{60}} + \frac{3}{{60}}}}{2} \times 48 = 3,9{\rm{km}}\).
75. Tự luận
• 1 điểm

Cho một vật bắt đầu chuyển động với biểu thức gia tốc \[a = 6t + 2{\rm{ }}\left( {m/s} \right)\]. Quãng đường vật đi được trong giây thứ 6 tương ứng là:

Xem đáp án
Ta có: \(v = \int {adt = \int {\left( {6t + 2} \right)dt = 3{t^2} + 2t + C} } {\rm{ }}\left( {m/s} \right)\)
Vật bắt đầu chuyển động, tức là ở thời điểm ban đầu vận tốc của vật bằng không, ta có:
\(0 = {3.0^2} + 2.0 + C \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow v = 3{t^2} + 2t{\rm{ }}\left( {m/s} \right)\)
Quãng đường vật đi trong giây thứ 6, tức là quãng đường tính từ khi \(t = 5\) đến khi \(t = 6\),
nên ta có: \(s = \int\limits_5^6 {vdt}  = \int\limits_5^6 {\left( {3{t^2} + 2t} \right)dt}  = 102{\rm{ }}\left( m \right)\).
76. Tự luận
• 1 điểm

Một vật chuyển động thẳng có đồ thị vận tốc theo thời gian trong 6 giờ đầu tiên như hình vẽ bên dưới. Biết rằng đoạn đồ thị \(ABC\) là một đường parabol và \(B\) là đỉnh của parabol. Quãng đường vật đi được trong 3 giờ đầu tiên là

Một vật chuyển động thẳng có đồ thị vận tốc theo thời gian trong 6 giờ đầu tiên như hình vẽ bên dưới. Biết rằng đoạn đồ thị ABC là một đường parabol (ảnh 1)
Xem đáp án
Từ đồ thị ta có parabol: \(v(t) = a{t^2} + bt + c\)\(\left( {a < 0} \right)\) đi qua hai \(A\left( {2;12} \right),B\left( {4;24} \right)\)và có trục đối xứng là đường thẳng \(x = 4\) nên ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4t + 2b + c = 12}\\{16t + 4t + c = 24}\\{\frac{{ - b}}{{2a}} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - 3}\\{b = 24}\\{c =  - 24}\end{array}} \right. \Rightarrow v(t) =  - 3{t^2} + 24t - 24\)
Do hai giờ đầu vật đi với vận tốc không đổi là \(12km/h\) nên quãng đường vật đi được trong 3 giờ đầu tiên là:
\(s = \int\limits_0^3 {v(t)dt = \int\limits_0^2 {12dt + \int\limits_2^3 {( - 3{t^2}} } }  + 24t - 24)dt = 41\,(km\,)\).
77. Tự luận
• 1 điểm

Một chiếc xe đua \({F_1}\) đạt tới vận tốc lớn nhất là \(360\,km/h\). Đồ thị bên biểu thị vận tốc \(v\) của xe trong \(5\) giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát. Đồ thị trong \(2\) giây đầu tiên là một phần của parabol đỉnh tại gốc tọa độ \(O\), giây tiếp theo là đoạn thẳng và sau đúng \(3\) giây thì xe đạt vận tốc lớn nhất. Biết rằng mỗi đơn vị trục hoành biểu thị \(1\) giây, mỗi đơn vị trục tung biểu thị \(10\,m/s\) và trong \(5\) giây đầu xe chuyển động theo đường thẳng. Hỏi trong \(5\) giây đó xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu?

 Một chiếc xe đua F(1) đạt tới vận tốc lớn nhất là 360(km/h). Đồ thị bên biểu thị vận tốc v của xe trong 5 giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát (ảnh 1)
Xem đáp án

Giả sử \(A\left( {2\,;\,6} \right)\); \(B\left( {3\,;\,10} \right)\)

Theo gt thì phương trình của parabol là \(y = \frac{3}{2}{x^2}\); phương trình đường thẳng \(AB\) là \(y = 4x - 2\)

Vậy trong \(5\) giây đó xe đã đi được quãng đường là: \(S = 10\left( {\int\limits_0^2 {\frac{3}{2}{x^2}{\rm{d}}x}  + \int\limits_2^3 {\left( {4x - 2} \right){\rm{d}}x}  + 2.10} \right) = 320\) (mét).

 

Gợi ý cho bạn

Xem tất cả
77 câu hỏi51 lượt thi
Đề thiToán - Lớp 12

Trắc nghiệm Tích phân lớp 12 (có đáp án - phần 4)

77 câu hỏi51 lượt thi
Đề thiToán - Lớp 12

Trắc nghiệm Tích phân lớp 12 (có đáp án - phần 3)

77 câu hỏi51 lượt thi
Đề thiToán - Lớp 12

Trắc nghiệm Tích phân lớp 12 (có đáp án - phần 2)

77 câu hỏi51 lượt thi
Đề thiToán - Lớp 12

Trắc nghiệm Tích phân lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

77 câu hỏi51 lượt thi
Đề thiToán - Lớp 12

Bài tập Tích phân lớp 12 (có lời giải)

77 câu hỏi51 lượt thi
Đề thiToán - Lớp 12

Bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến tích phân lớp 12 (có lời giải)

77 câu hỏi51 lượt thi
Đề thiToán - Lớp 12

Bài tập Vận dụng tích phân vào giải quyết bài toán liên quan thực tế lớp 12 (có lời giải)

77 câu hỏi51 lượt thi
Đề thiToán - Lớp 12

Bài tập Tích phân của các hàm số cho bởi nhiều công thức lớp 12 (có lời giải)