Đề thi
Bài tập Một số bài toán thực tế về dạng chuyển động lớp 12 (có lời giải)
AdminToánLớp 12103 lượt thi
77 câu hỏi
1.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
\[S = \int\limits_4^{10} {\left( {3{t^2} + 5} \right){\rm{d}}t} \]\[ = \left. {\left( {{t^3} + 5t} \right)} \right|_4^{10}\]\[ = 1050 - 84 = 996\].
2.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Xét phương trình \( - 5t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 2.\) Do vậy, kể từ lúc người lái đạp phanh thì sau 2s ô tô dừng hẳn.
Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc người lái đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là
3.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Ta có: \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)} \,{\rm{d}}t = \int {\frac{2}{{t + 1}}} \,{\rm{d}}t = 2\ln \left| {t + 1} \right| + C\).
Theo giả thiết ta có: \(v\left( 0 \right) = 4 \Rightarrow C = 4\). Suy ra \(v\left( t \right) = 2\ln \left| {t + 1} \right| + 4\).
Từ đó ta có vận tốc của vật sau \(20\) giây là \(v\left( {20} \right) = 2.\ln 21 + 4 \approx 10,09\).
4.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Tại thời điểm vật dừng hẳn ta có: \(v(t) = 0 \Leftrightarrow 150 - 10t = 0 \Leftrightarrow t = 15\)
Do vậy trong 4 giây trước khi dừng hẳn, vật di chuyển được một quảng đường bằng
\(S = \int_{11}^{15} {\left( {150 - 10t} \right){\rm{d}}t} = 80\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)
5.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Vận tốc của vật là \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)} {\rm{dt}} = \int {\frac{{3{\rm{dt}}}}{{t + 1}}} {\mkern 1mu} = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C\).
Tại thời điểm vật bắt đầu tăng tốc\(v\left( 0 \right) = C = 6\). Suy ra \(v\left( t \right) = 3\ln \left| {t + 1} \right| + 6\,\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\)
Vậy vận tốc của vật sau \(10\) giây bằng \(v\left( {10} \right) = 3\ln 11 + 6\,\, \approx 13\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
6.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Ta có:
\(\begin{array}{l}v(t) = \int {a(t)dt} = \int {\frac{3}{{t + 1}}dt = 3\ln \left| {t + 1} \right|} + C\\v(0) = 6 \Rightarrow 3\ln 1 + C = 6 \Rightarrow C = 6;{\rm{ }} \Rightarrow v(10) = 3\ln 11 + 6\end{array}\)
7.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Vận tốc của ô tô là \(v\left( t \right) = \int {\left( {2 + 6t} \right){\rm{d}}t = } 2t + 3{t^2} + C\).
Tại thời điểm ô tô bắt đầu chuyển động \(v\left( 0 \right) = C = 60\).
Quãng đường ô tô đi được là \(S = \int\limits_0^1 {\left( {2t + 3{t^2} + 60} \right){\rm{d}}t} = \left( {{t^2} + {t^3} + 60t} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 62\,{\rm{km}}\).
8.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Vận tốc ô tô tại thời điểm bắt đầu phanh là: \({v_1}\left( 5 \right) = 35\left( {m/s} \right)\).
Vận tốc của chuyển động sau khi phanh là: \({v_2}\left( t \right) = - 70t + C\).
Do \({v_2}\left( 0 \right) = 35\) \( \Rightarrow C = 35\) \( \Rightarrow {v_2}\left( t \right) = - 70t + 35\).
Khi xe dừng hẳn tức là \({v_2}\left( t \right) = 0 \Rightarrow - 70t + 35 = 0\) \( \Rightarrow t = \frac{1}{2}\).
Quãng đường \(S\left( m \right)\) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là:
\(S\left( m \right) = \int\limits_0^5 {7t.\,dt} + \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { - 70t + 35} \right)\,dt} \) \( = 96,25\left( m \right)\).
9.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Tại thời điểm ô tô có vận tốc \(19\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\)tương ứng với \(t = 0\,\left( {\rm{s}} \right)\).
Khi ô tô dừng lại thì \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 38t + 19 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\,\left( {\rm{s}} \right)\).
Quãng đường ô tô di chuyển được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là
\(s = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { - 38t + 19} \right){\rm{d}}t} = \left( { - 19{t^2} + 19t} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{1}{2}}} \right. = 4,75\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 77 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Tạo đề thi
Tổ chức kiểm tra
Báo cáo chấm điểm tự động
Bạn đã có tài khoản?
10.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Gọi \({t_0}\) là thời điểm lúc ô tô bắt đầu đạp phanh, ta có \(9 = - 3{t_0} + 9\) \( \Leftrightarrow {t_0} = 0\).
Gọi \({t_1}\) là thời điểm lúc ô tô dừng hẳn, ta có \(0 = - 3{t_1} + 9\)\( \Leftrightarrow {t_1} = 3\).
Vậy quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn là
\(S\left( t \right) = \int\limits_0^3 {v\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_0^3 {\left( { - 3t + 9} \right){\rm{d}}t} \)\(\left. { = \left( {\frac{{ - 3}}{2}{t^2} + 9t} \right)} \right|_0^3 = 13,5\) \(\left( {\rm{m}} \right)\).
11.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Khi ôtô dừng hẳn ta có \[v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 5t + a = 0 \Leftrightarrow t = \frac{a}{5}\].
Quãng đường ôtô di chuyển được kể từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là
\[S = \int\limits_0^{\frac{a}{5}} {v\left( t \right)dt} = 40 \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{a}{5}} {\left( { - 5t + a} \right)dt} = 40 \Leftrightarrow \left. {\left( { - 5.\frac{{{t^2}}}{2} + at} \right)} \right|_0^{\frac{a}{5}} = 40\]
\[ - \frac{5}{2}.\frac{{{a^2}}}{{25}} + \frac{{{a^2}}}{5} = 40 \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{10}} = 40 \Leftrightarrow a = 20.\]
12.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Gọi \(v\left( t \right)\) là vận tốc của vật, ta có \(v'\left( t \right) = a\left( t \right) = 3{t^2} + 2t \Rightarrow v\left( t \right) = \int {\left( {3{t^2} + 2t} \right)} {\rm{d}}t = {t^3} + {t^2} + C\).
Do \(v\left( 0 \right) = 10 \Leftrightarrow C = 10 \Rightarrow v\left( t \right) = {t^3} + {t^2} + 10\,\).
Khi đó \(S = \int\limits_0^{12} {\left( {{t^3} + {t^2} + 10} \right)} {\rm{d}}t = \left. {\left( {\frac{{{t^4}}}{4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 10t} \right)} \right|_0^{12} = 5880\,\left( {\rm{m}} \right)\).
13.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
\(a\left( t \right) = {t^2} + 4t\) \( \Rightarrow v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + C{\rm{ }}\)\(\left( {C \in \mathbb{R}} \right)\).
Mà \(v\left( 0 \right) = C = 15\) \( \Rightarrow v\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15\).
Vậy \(S = \int\limits_0^3 {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15} \right){\rm{d}}t} = 69,75\;{\rm{m}}\).
14.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Đặt \[{t_0} = 0\] là thời điểm người lái xe ô tô bắt đầu đạp phanh, khi ô tô dừng hẳn thì vận tốc triệt tiêu nên
\[ - 4t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 5\].Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được quãng đường:
\[\int\limits_0^5 {\left( { - 4t + 20} \right){\rm{dt}}} = 50\] mét.
15.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Có \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int {\left( { - 2t + 10} \right){\rm{d}}t = 10t - {t^2} + C} \).
Lại có \(v\left( 0 \right) = 5\) \( \Leftrightarrow C = 5\). Vậy \(v\left( t \right) = 10t - {t^2} + 5\).
Khi đó vận tốc của vật sau \(5\) giây là \(v\left( 5 \right) = 10.5 - {5^2} + 5 = 30\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
16.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Thời gian từ lúc hãm phanh đến dừng hẳn là: \( - 2t + 20 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 10{\rm{ }}\left( {\rm{s}} \right)\).
Quãng đường ôto đi được trong \(15\) giây cuối cùng là:
\(s = 20.5 + \int\limits_0^{10} {\left( { - 2t + 20} \right){\rm{d}}t} = 100 + \left. {\left( { - {t^2} + 20t} \right)} \right|_0^{10} = 100 + \left( { - 100 + 200} \right) = 200{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
17.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Ta có \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int {\left( {2t + 1} \right){\rm{d}}t} \)\( = {t^2} + t + C\).
Mặt khác vận tốc ban đầu là \(180\) \[{\rm{km/h}}\] hay \(50\) \({\rm{m/s}}\) nên ta có \(v\left( 0 \right) = 50\)\( \Leftrightarrow C = 50\).
Khi đó vận tốc của vật sau \(5\) giây là \(v\left( 5 \right) = {5^2} + 5 + 50 = 80\)\({\rm{m/s}}\) hay \[288\]\[{\rm{km/h}}\].
18.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Ta có \[v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 3{t^2} + 9t - 6 = 24 \Rightarrow t = 2\]\[\left( {\rm{s}} \right)\].
Lại có \[a\left( t \right) = s''\left( t \right) = 6t + 9 \Rightarrow a\left( 2 \right) = 21\]\[\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\].
19.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Ta có \(v\left( 0 \right) = 10\,{\rm{m/s}}\) và \(v\left( t \right) = \int\limits_0^t {a\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_0^t {\left( {{t^2} + 3t} \right){\rm{d}}t} \)\[ = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + \frac{{3{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^t\]\[ = \frac{1}{3}{t^3} + \frac{3}{2}{t^2}\].
Quãng đường vật đi được là \(S = \int\limits_0^6 {v\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_0^6 {\left( {\frac{1}{3}{t^3} + \frac{3}{2}{t^2}} \right){\rm{d}}t} \)\[ = \left. {\left( {\frac{1}{{12}}{t^4} + \frac{1}{2}{t^3}} \right)} \right|_0^6\]\[ = 216\,{\rm{m}}\].
20.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Ta có \(v\left( t \right) = \int {\frac{3}{{t + 1}}{\rm{d}}t} \) \( = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C\).
Theo giả thiết ta có \(v\left( 0 \right) = 6\) \( \Leftrightarrow C = 6\). Suy ra \(v\left( t \right) = 3\ln \left| {t + 1} \right| + 6\).
Vận tốc của vật sau \(10\) giây là \(v\left( {10} \right) = 3\ln \left| {10 + 1} \right| + 6 \approx 13{\rm{m/s}}\).
21.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
* Xe dừng lại khi \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 5t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 4{\rm{ }}\left( {\rm{s}} \right)\).
* Quãng đường xe đi được kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại là:
\[\int\limits_0^4 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^4 {\left( { - 5t + 20} \right)dt} {\rm{ = }}\left. {\left( {20t - \frac{{5{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^4{\rm{ = 40 m}}\]
* Khi xe dừng hẳn, khoảng cách từ xe đến hàng rào là: \[45 - 40 = 5{\rm{ m}}\].
22.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Gia tốc \(a\left( t \right) = v'\left( t \right)\)\( = 3{t^2} - 3\). Tại thời điểm vật có gia tốc \(24\)\({\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\)thì \(24 = 3{t^2} - 3\)\( \Leftrightarrow t = 3\).
Quãng đường vật đi được kể từ khi bắt đầu chuyển động đến khi gia tốc bằng \(24\)\({\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\)là quãng đường vật đi từ vị trí \(t = 0\)đến vị trí \(t = 3\). Nên \(S\left( 3 \right) = \int\limits_0^3 {\left( {{t^3} - 3t + 1} \right){\rm{d}}t} = \frac{{39}}{4}\).
23.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Gọi \(a\) là gia tốc của chuyển động chậm dần đều nên \[a\] là hằng số thực âm.
Ta có: \[v = \int_{}^{} {a\,{\rm{d}}t} = at + C\]
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}v\left( 0 \right) = 72\,{\rm{km/h}}\\{\rm{v}}\left( {10} \right) = 54\,{\rm{km/h}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 72\\10a + C = 54\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 72\\a = - \frac{9}{5}\end{array} \right.\]
Do đó: \[v = - \frac{9}{5}t + 72\]. Vậy \(v = 36\)\( \Leftrightarrow 72 - \frac{9}{5}t = 36\) \( \Leftrightarrow t = 20{\rm{s}}\).
24.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Vật tốc \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {6t + 12{t^2}} \right){\rm{d}}t} \)\( = 3{t^2} + 4{t^3} + C\)
Tại thời điểm \(t = 0\) (lúc bắt đầu tăng tốc) thì \(v\left( t \right) = 10\) \({\rm{m/s}}\)\( \Leftrightarrow v\left( 0 \right) = 10\) \( \Leftrightarrow C = 10\).
Vậy \(v\left( t \right) = 3{t^2} + 4{t^3} + 10\).Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian \(10\) giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là
\(S = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right){\rm{d}}t} \) \( = \int\limits_0^{10} {\left( {3{t^2} + 4{t^3} + 10} \right){\rm{d}}t} \)\( = 11100\) \({\rm{m}}\).
25.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Khi ô tô dùng hẳn thì \(V\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 5t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = 3\)
Quãng đường di chuyển của ô tô từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn là
\(s = \int\limits_0^3 {\left( { - 5t + 15} \right){\rm{d}}t} = \left. {\left( { - \frac{{5{t^2}}}{2} + 15t} \right)} \right|_0^3 = 22,5\)m.
26.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Khi xe dừng hẳn thì \(v = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(36 - 4t = 0 \Leftrightarrow t = 9\,\).
Khi đó, quãng đường \(s = \int\limits_3^9 {\left( {36 - 4t} \right)dt} = \left. {\left( {36t - 2{t^2}} \right)} \right|_3^9 = 72\,\,\left( m \right)\).
Vậy quãng đường \(s = 72\,\,m\).
27.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Xe dừng hẳn khi \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow = - 3t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = 4\).
Suy ra thời gian từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là bốn giây.
Quãng đường ô tô đi được là \[S = \int\limits_0^4 {v\left( t \right)} {\rm{d}}t{\rm{ = }}\int\limits_0^4 {\left( { - 3t + 12} \right)} {\rm{d}}t{\rm{ = }}\left. {\left( {\frac{{ - 3}}{2}{t^2} + 12t} \right)} \right|_0^4 = 24{\rm{m}}\].
28.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Ta có biểu thức vận tốc: \[{v_{(t)}} = 15 - at{\rm{ }}(m/s)\]
Tại thời điểm xe dừng hẳn \[{v_{(t)}} = 0 \Rightarrow 15 - at = 0 \Rightarrow t = \frac{{15}}{a}\]
Do ô tô đi được \[20m\]thì dừng hẳn
\[ \Rightarrow S = \int\limits_0^{\frac{{15}}{a}} {{v_{\left( t \right)}}dt = 20} \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{{15}}{a}} {\left( {15 - at} \right)dt} = 20 \Leftrightarrow \left( {15t - \frac{{a{t^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{{15}}{a}\\0\end{array} \right. = 20\]
\[ \Leftrightarrow 15\left( {\frac{{15}}{a}} \right) - \frac{a}{2}.{\left( {\frac{{15}}{a}} \right)^2} = 20 \Leftrightarrow \frac{{225}}{a} - \frac{{225}}{{2a}} = 20 \Leftrightarrow 225 = 40a \Rightarrow a = 5,625 \in \left( {5;6} \right).\]29.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Ô tô dừng lại khi \(v(t) = 0 \Leftrightarrow - 6t + 24 = 0 \Leftrightarrow t = 4\).
Do đó từ lúc đạp phanh (\(t = 0\)) đến khi dừng hẳn (\(t = 4\)), ô tô di chuyển được quãng đường là:
\[S = \int\limits_0^4 {( - 6t + 24)dt = \left. {( - 3{t^{{2^{}}}} + 24t)} \right|} _0^4 = 48\].
30.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Ta có: \(v\left( t \right) = 100 - 10t\)
Khi vật dừng hẳn thì \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 10\)
Vậy quãng đường vật di chuyển từ thời điểm \(t = 0\) đến lúc vật dừng hẳn là
\(S = \int\limits_0^{10} {\left( {100 - 10t} \right)dt = 500} \).
31.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Vận tốc của ô tô sau khi tăng tốc là \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t} \)\[ = \int {\left( {3t - 8} \right){\rm{d}}t = \frac{3}{2}{t^2} - 8t + C} \].
Tại thời điểm \(t = 0\), ta có \(v\left( 0 \right) = 15 \Rightarrow C = 15\)\( \Rightarrow v\left( t \right) = \frac{3}{2}{t^2} - 8t + 15\).
Vậy sau \(10\)giây tăng tốc, quãng đường ô tô đi được là
\(S = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right){\rm{d}}t = } \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{3}{2}{t^2} - 8t + 15} \right){\rm{d}}t} = 250\).
32.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
\(\left( P \right)\).
Khi xe dừng thì vận tốc bằng \(0\)\( \Rightarrow - 5t + 10 = 0\)\( \Rightarrow t = 2\,\left( {\rm{s}} \right)\).
Quãng đường xe đi đường từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn là
\( \Rightarrow M\left( {\frac{1}{6} + t;\frac{5}{6} + t;\frac{{13}}{6} + t} \right)\)\( = \int\limits_0^2 {\left( { - 5t + 10} \right){\rm{d}}t} \)\( = \left. {\left( { - \frac{{5{t^2}}}{2} + 10t} \right)} \right|_0^2 = 10\,\left( {\rm{m}} \right)\).
33.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Khoảng thời gian ô tô chuyển động từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn là:
\( - 4t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 5\) \(\left( {\rm{s}} \right)\).
Như vậy trong \(10\) giây cuối cùng, ô tô chạy với vận tốc không đổi là \(20\)\(\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) trong \(5\) giây đầu tiên và chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v(t) = - 4t + 20\) \(\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) trong \(5\) giây còn lại.
Vậy quãng đường ô tô di chuyển được trong \(10\) giây cuối cùng là:
\[S = 20.5 + \int\limits_0^5 {\left( { - 4t + 20} \right){\rm{d}}t} = 150\]\(\left( {\rm{m}} \right)\).
34.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Theo đề bài vận tốc của xe lúc nhấn ga để về đích là \[180{\rm{ km/h}}\] hay \[50{\rm{ m/s}}\].
Gọi \(v\left( t \right)\) là vận tốc của xe đua, ta có \[v(t) = \int {a(t){\rm{d}}t = \int {(2t + 1){\rm{d}}t = {t^2}} } + t + C\].
Vì vận tốc ban đầu của xe là \[50{\rm{ m/s}}\] nên \[v(0) = 50 \Rightarrow {0^2} + 0 + C = 50\]\( \Rightarrow \) \[v(t) = {t^2} + t + 50\].
Vận tốc của xe tại thời điểm \(t = 4\left( {\rm{s}} \right)\) là \(v\left( 4 \right) = {4^2} + 4 + 50 = 70{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) hay \[252\;{\rm{km/h}}.\]
Vận tốc của xe sau 4 giây là 252km/h.
35.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Khi ô tô dừng hẳn thì: \[v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 5t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 4\left( s \right)\].
Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được: \[s = \int\limits_0^4 {\left( { - 5t + 20} \right)dt = 40\left( m \right)} \].
36.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Ta có: \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{dt}}} = \int {\left( {2t + \frac{1}{3}{t^2}} \right){\rm{dt}}\;} {\rm{ = }}\;\frac{{{t^3}}}{9} + {t^2} + C\).
Vận tốc khi bắt đầu tăng tốc là \(10\;m/s\): \(v\left( 0 \right) = 10 \Leftrightarrow C = 10\).
Vận tốc của vật là \(v\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{9} + {t^2} + 10\).
Quãng đường vật đi được trong 12 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc:
\(\int\limits_0^{12} v \left( t \right){\rm{dt = }}\int\limits_0^{12} {\left( {\frac{{{t^3}}}{9} + {t^2} + 10} \right)} {\rm{dt = 1272}}\;{\rm{m}}\).
37.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Thời gian kể từ kể từ lúc đạp phanh đến lúc xe dừng hẵn là \( - 2t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 10.\)
Quảng đường ô tô đi được trong 10s kể từ lúc đạp phanh là \(\int\limits_0^{10} {\left( { - 2t + 20} \right){\rm{d}}x} = 100\) m.
Quảng đường ô tô đi được trong 5s cuối trước khi đạp phanh là \(20.5 = 100\) m.
Vậy trong 15s cuối, ô tô đi được quảng đường là \(200\) m.
38.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Khi ô tô dừng hẳn thì vận tốc \(v\left( t \right) = 0\), tức là \(v\left( t \right) = - 6t + 12 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 2\).
Vậy ô tô còn di chuyển được quãng đường là: \[\int\limits_0^2 {\left( { - 6t + 12} \right)} {\rm{d}}t\]\[ = 12\]\[\left( m \right)\].
39.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Ta có \[v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}} t = \int {6t{\rm{d}}t = 3{t^2} + C} \]
Đang chạy với vận tốc\[{\rm{10}}\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\]thì bắt đầu tăng tốc, thời điểm bắt đầu tăng tốc là\[t = 0\]nên ta có
\[v\left( 0 \right) = 10 \Rightarrow C = 10 \Rightarrow v\left( t \right) = 3{t^2} + 10\].
Quãng đường đi được trong khoảng thời gian\[10\left( {\rm{s}} \right)\]kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là
\[\int\limits_0^{10} {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^{10} {\left( {3{t^2} + 10} \right){\rm{d}}t = 1100\left( {\rm{m}} \right)} \].
40.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Khi dừng hẳn thì \[v(t) = - 5t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = 3\].
Từ lúc hãm phanh đến khi dừng lại, xe di chuyển được:
\[s = \int\limits_0^3 {v(t){\rm{d}}t} = \int\limits_0^3 {( - 5t + 15){\rm{d}}t} = \left. {( - \frac{5}{2}{t^2} + 15t)} \right|_0^3 = 22,5\,{\rm{m}}\].
41.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Vận tốc chuyển động \[v(t) = \int {a(t){\rm{d}}t} = \int {(3{t^2} + t){\rm{d}}t} = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + C.\]
Chọn gốc thời gian lúc bắt đầu tăng tốc thì \[v(0) = 2 \Rightarrow C = 2 \Rightarrow v(t) = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + 2.\]
Khi đó tại thời điểm \[2\,{\rm{s}}\] thì \[v(2) = 12\,{\rm{m/s}}.\]
42.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Gọi \({t_0}\) là thời điểm vật dừng lại, khi đó \(v({t_0}) = 0\)\[ \Leftrightarrow 160 - 10{t_0} = 0\]\[ \Leftrightarrow {t_0} = 16\].
Vậy quãng đường vật chuyển động đến lúc dừng lại là \(S = \int\limits_0^{16} {(160 - 10t)} {\rm{d}}t = 1280{\rm{ (m)}}\).
43.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Công thức xác định tọa độ của chất điểm theo thời gian là:
\(x(t) = \int {v(t)dt = \int {(3{t^2} + 4t)dt = {t^3} + 2{t^2} + c} } \)
Vì lúc bắt đầu chuyển động thì chất điểm ở vị trí có tọa độ\(x = 2\)nên ta có:\(x(0) = {0^3} + {2.0^2} + c = 2 \Rightarrow c = 2\).
Vậy công thức biểu thị tọa độ chất điểm đi được theo thời gian là: \(x\left( t \right) = {t^3} + 2{t^2} + 2.\)
Nên tọa độ của chất điểm sau \(1\) giây chuyển động là:\(x(1) = {1^3} + {2.1^2} + 2 = 5\).
44.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Quãng đường đi được trong \(10\) giây đầu tiên là: \(\int\limits_0^{10} {\left( {\frac{1}{4}{t^2} + k} \right)} {\rm{d}}t = \frac{{250}}{3} + 10k = 120\) \( \Rightarrow k = \frac{{11}}{3}\).
Quãng đường đi được trong \(12\) giây đầu tiên là: \(\int\limits_0^{12} {\left( {\frac{1}{4}{t^2} + \frac{{11}}{3}} \right)} {\rm{d}}t = 188\,\left( {\rm{m}} \right)\).
45.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Sau 5 giây đầu tiên, vận tốc của vật là: \[{v_5} = {5^2} = 25\,\,\](m/s)
Suy ra trong 15 giây tiếp theo, vật chuyển động thẳng đều với vận tốc là 25 (m/s)
Vậy quãng đường vật đi được trong 20 giây đầu tiên là:
\[S = \int\limits_0^{20} {vdt} = \int\limits_0^5 {vdt} + \int\limits_5^{20} {vdt} = \int\limits_0^5 {{t^2}dt} + \int\limits_5^{20} {25dt} = \frac{{1250}}{3}\] (m).
46.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Chọn hệ quy chiếu có chiều dương là chiều chuyển động của vật, gốc thời gian là tại thời điểm vật bắt đầu chịu tác dụng của lực hãm.
Vận tốc của vật là \(v = \int {a{\rm{d}}t = } \int {\left( {1 - 2t} \right){\rm{d}}t = t - {t^2} + C{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)} \).
Dựa vào điều kiện ban đầu, ta có \({v_0} = 20 = C \Rightarrow v = t - {t^2} + 20{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Vật dừng lại khi \(v = t - {t^2} + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 4\\t = 5\end{array} \right.\)
Theo cách hệ hệ quy chiếu ta có \(t = 5{\rm{ }}\left( {\rm{s}} \right)\) thỏa mãn.
Suy ra quãng đường vật đi được tính từ lúc chịu tác dụng của lực hãm cho đến khi dừng lại là
\(\int\limits_0^5 {\left| v \right|{\rm{d}}t = } \int\limits_0^5 {\left| {t - {t^2} + 20} \right|{\rm{d}}t = } \frac{{425}}{6}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
47.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
+) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm \[A\] bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm \[B\] bắt kịp thì \[A\] đi được \[15\] giây, \[B\] đi được 10 giây.
+) Biểu thức vận tốc của chất điểm \[B\] có dạng \[{v_B}\left( t \right) = \int {a{\rm{d}}t} = at + C\], lại có \[{v_B}\left( 0 \right) = 0\] nên \[{v_B}\left( t \right) = at\].
+) Từ lúc chất điểm \[A\] bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm \[B\] bắt kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được là bằng nhau. Do đó
\[\int\limits_0^{15} {\left( {\frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{11}}{{18}}t} \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^{10} {at{\rm{d}}t} \]\[ \Leftrightarrow 75 = 50a\]\[ \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}\].
Từ đó, vận tốc của \[B\] tại thời điểm đuổi kịp \[A\] bằng = 15
48.Tự luận
• 1 điểm
Một vật chuyển động trong \[3\] giờ với vận tốc \[v\left( {{\rm{km/h}}} \right)\] phụ thuộc thời gian \[t\left( {\rm{h}} \right)\]có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh \[I\left( {2;9} \right)\] và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường \[s\]mà vật di chuyển được trong \[3\] giờ đó.
Xem đáp án
Tìm được phương trình của vận tốc là \(v\left( t \right) = - \frac{3}{4}{t^2} + 3t + 6\)
Vậy \(S = \int\limits_0^3 {( - \frac{3}{4}{t^2} + 3t + 6} )dt = \) 24,75.
49.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Gọi \(v\left( t \right)\) là vận tốc của vật, ta có \(v'\left( t \right) = a\left( t \right) = 3{t^2} + 2t \Rightarrow v\left( t \right) = \int {\left( {3{t^2} + 2t} \right)} {\rm{d}}t = {t^3} + {t^2} + C\).
Do \(v\left( 0 \right) = 10 \Leftrightarrow C = 10 \Rightarrow v\left( t \right) = {t^3} + {t^2} + 10\,\).
Khi đó
50.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Ta có: \[v = 0 \Rightarrow 150 - 10t = 0 \Leftrightarrow t = 15\].
Trong 4 giây trước khi dừng hẳn, vật di chuyển được quãng đường là:
\(s = \int\limits_{11}^{15} {\left( {150 - 10t} \right){\rm{d}}t} = 80\,{\rm{m}}\).
51.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Vận tốc ô tô sau khi phanh gấp là: \({v_2}\left( t \right) = \int {\left( { - 70} \right){\rm{d}}t = - 70t + c} \)
Khi \(t = 5\) thì \({v_1}\left( 5 \right) = 35\) \( \Rightarrow {v_2}\left( 0 \right) = 35\)\( \Leftrightarrow c = 35\)
Khi ô tô dừng hẳn thì \({v_2}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\)
Vậy quãng đường \(S\) từ lúc ô tô bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là \(S = \int\limits_0^5 {\left( {7t} \right)} {\rm{d}}t + \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { - 70t + 35} \right)} {\rm{d}}t = \frac{{385}}{4}m\)
52.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Ta có: \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{dt}}} = \int {\left( {3t - 8} \right){\rm{dt}}\;} {\rm{ = }}\;\frac{{3{t^2}}}{2} - 8t + C\).
Vận tốc khi ô tô bắt đầu tăng tốc là \(15\;m/s\): \(v\left( 0 \right) = 15 \Leftrightarrow C = 15\).
Vận tốc của ô tô là \(v\left( t \right) = \frac{{3{t^2}}}{2} - 8t + 15\).
Quãng đường ô tô đi được sau \(10\) giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là
\(\int\limits_0^{10} v \left( t \right){\rm{dt = }}\int\limits_0^{10} {\left( {\frac{{3{t^2}}}{2} - 8t + 15} \right)} {\rm{dt = 250}}\;\left( {\rm{m}} \right)\).
53.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Quãng đường vật di chuyển được là
\(S = \int\limits_0^5 {\left( {5 + 2t} \right){\rm{dt}}} \, = \,\left( {5t + {t^2}} \right)\left| \begin{array}{l}5\\0\end{array} \right. = 5.5 + {5^2} = 50\,m\).
54.Tự luận
• 1 điểm
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc \(v(km/h)\) phụ thuộc vào thời gian \(t(h)\) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh \(I(2;9)\) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường \(s\) mà vật chuyển động được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Xem đáp án
Gọi phương trình của parabol \(v = a{t^2} + bt + c\) ta có hệ như sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 4}\\{4a + 2b + c = 9}\\{ - \frac{b}{{2a}} = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5\\c = 4\\a = - \frac{5}{4}\end{array} \right.\)
Với \(t = 1\) ta có \(v = \frac{{31}}{4}\).
Vậy quãng đường vật chuyển động được là \(s = \int\limits_0^1 {\left( { - \frac{5}{4}{t^2} + 5t + 4} \right)} dt + \int\limits_1^3 {\frac{{31}}{4}} dt = \frac{{259}}{{12}} \approx {\rm{21}}{\rm{,583}}\).
55.Tự luận
• 1 điểm
Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc \(v\left( {km/h} \right)\) phụ thuộc thời gian \(t\left( h \right)\) có đồ thị của vận tốc. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường Parabol có đỉnh \(I\left( {2;9} \right)\) với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành . Tính quãng đuờng \(s\) mà vật chuyển động trong 4 giờ đó.
Xem đáp án
Gọi \[\left( P \right):y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\].
Vì \(\left( P \right)\) qua \(O\left( {0;0} \right)\) và có đỉnh \(I\left( {2;9} \right)\) nên dễ tìm được phương trình \(\left( P \right)\) là \[y = \frac{{ - 9}}{4}{{\rm{x}}^2} + 9x\].
Ngoài ra tại \(x = 3\) ta có \[y = \frac{{27}}{4}\]. Suy ra \[S = \int\limits_0^3 {\left( {\frac{{ - 9}}{4}{{\rm{x}}^2} + 9x} \right)} dx + \int\limits_3^4 {\frac{{27}}{4}} x = 27(km)\]
56.Tự luận
• 1 điểm
Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc \(v\) (km/h) phụ thuộc vào thời gian \(t\) (h) có đồ thị là một phần parabol với đỉnh \(I\left( {\frac{1}{2};{\rm{ }}8} \right)\) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quảng đường \(s\) người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi chạy?
Xem đáp án
Gọi parabol là \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c.\) Từ hình vẽ ta có \(\left( P \right)\) đi qua \(O\left( {0;{\rm{ }}0} \right)\), \(A\left( {1;{\rm{ }}0} \right)\) và điểm \(I\left( {\frac{1}{2};{\rm{ }}8} \right)\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a + b + c = 0\\\frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 32\\b = 32\\c = 0\end{array} \right..\)
Vậy \(\left( P \right):y = - 32{x^2} + 32x\). Quảng đường người đó đi được là \[s = \int\limits_0^{\frac{3}{4}} {\left( { - 32{x^2} + 32x} \right){\rm{d}}x = } 4,5\](km).
57.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
\(a = - 8t\left( {m/{s^2}} \right) \Rightarrow v = \int { - 8t{\rm{d}}t} = - 4{t^2} + C\).
Tại thời điểm \(t = 0\)thì vận tốc của vật là \({v_0}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\)nên ta có \({v_0} = C\), vậy \(v = - 4{t^2} + {v_0}\).
Tại thời điểm \({t_0}\)vận tốc của vật là \(0\)nên ta có \(0 = - 4{t_0}^2 + {v_0} \Leftrightarrow 4{t_0}^2 = {v_0}\).
Ta có
\(\int_0^{{t_0}} {\left( { - 4{t^2} + {v_0}} \right){\rm{d}}t} = 12\)\( \Leftrightarrow - \frac{{4{t_0}^3}}{3} + {v_0}{t_0} = 12\)\( \Leftrightarrow - \frac{{4{t_0}^3}}{3} + 4{t_0}^3 = 12\)\( \Leftrightarrow {t_0} = \frac{{\sqrt[3]{{36}}}}{2}\).
\( \Rightarrow {v_0} = 4.{\left( {\frac{{\sqrt[3]{{36}}}}{2}} \right)^2} = \sqrt[3]{{1296}}\).
58.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Lần tăng tốc đầu tiên xe chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right) = a.t\), \(\left( {a > 0} \right)\).
Đến khi xe đạt vận tốc \(80{\rm{m/s}}\)thì xe chuyển động hết \({t_1} = \frac{{80}}{a}\left( {\rm{s}} \right)\).
Lần giảm tốc, xe chuyển động với vận tốc \({v_3} = 80 - bt\), \(\left( {b > 0} \right)\).
Khi xe dừng lại thì xe chuyển động thêm được \({t_3} = \frac{{80}}{b}\left( {\rm{s}} \right)\).
Theo yêu cầu bài toán ta có \(\frac{{80}}{a} + 56 + \frac{{80}}{b} = 74 \Leftrightarrow \frac{{80}}{a} + \frac{{80}}{b} = 18\).
Ta có \[{{\rm{S}}_1} = \int\limits_0^{{t_1}} {at{\rm{dt}}} = \int\limits_0^{\frac{{80}}{a}} {at{\rm{dt}}} = \frac{1}{2}.\frac{{{{80}^2}}}{a}\left( {\rm{m}} \right)\].
\[{{\rm{S}}_2} = 80.56\left( {\rm{m}} \right)\].
\[{{\rm{S}}_3} = b\int\limits_0^{{t_3}} {\left( {80 - bt} \right){\rm{dt}}} = \int\limits_0^{\frac{{80}}{b}} {\left( {80 - bt} \right){\rm{dt}}} = \frac{1}{2}.\frac{{{{80}^2}}}{b}\left( {\rm{m}} \right)\].
Vậy quảng đường xe chạy được là \[{{\rm{S}}_3} = \frac{1}{2}.80.\left( {\frac{{80}}{a} + \frac{{80}}{b}} \right) + 80.56 = 40.18 + 80.56 = 5200\left( {\rm{m}} \right)\].
59.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Từ đề bài ta suy ra tính từ lúc chất điểm \(A\) bắt đầu chuyển động cho đến khi chất điểm \(B\) đuôi kịp thì chất điểm \(A\) đi được \(15\)giây.
Vận tốc của chất điểm \(B\) là: \({v_B}\left( t \right) = \int {adt = at + C} \) và \({v_B}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\) hay \({v_B}\left( t \right) = at\)
từ lúc chất điểm \(A\) bắt đầu chuyển động cho đến khi chất điểm \(B\) đuôi kịp thì chất điểm \(A\) thì quảng đường bằng nhau nên:
\(\int\limits_0^{15} {\left( {\frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{11}}{{18}}t} \right)dt = \int\limits_0^{10} {atdt \Leftrightarrow 75 = 50a \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}} } \).
Suy ra vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là \({v_B}(10) = \frac{3}{2}.10 = 15(m/s)\)
60.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
+) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm \[A\] bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm \[B\] bắt kịp thì \[A\] đi được \[15\] giây, \[B\] đi được \[12\] giây.
+) Biểu thức vận tốc của chất điểm \[B\] có dạng \[{v_B}\left( t \right) = \int {adt} = at + C\], lại có \[{v_B}\left( 0 \right) = 0\] nên \[{v_B}\left( t \right) = at\].
+) Từ lúc chất điểm \[A\] bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm \[B\] bắt kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được là bằng nhau. Do đó
\[\int\limits_0^{15} {\left( {\frac{1}{{150}}{t^2} + \frac{{59}}{{75}}t} \right)dt} = \int\limits_0^{12} {atdt} \]\[ \Leftrightarrow 96 = 72a\]\[ \Leftrightarrow a = \frac{4}{3}\].
Từ đó, vận tốc của \[B\] tại thời điểm đuổi kịp \[A\] bằng \({v_B}\left( {12} \right) = \frac{4}{3}.12 = 16\,\left( {m/s} \right)\).
61.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Ta có \({v_B}\left( t \right) = \int {a.{\rm{dt}}} = at + C\), \({v_B}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\) \( \Rightarrow {v_B}\left( t \right) = at\).
Quãng đường chất điểm \(A\) đi được trong \(25\) giây là
\({S_A} = \int\limits_0^{25} { \left( {\frac{1}{{100}}{t^2} + \frac{{13}}{{30}}t } \right){\rm{dt}}} \) \( = \left( {\frac{1}{{300}}{t^3} + \frac{{13}}{{60}}{t^2}} \right) \left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle25\atop\scriptstyle}} \right. = \frac{{375}}{2}\).
Quãng đường chất điểm \(B\) đi được trong \(15\) giây là
Ta có \(\frac{{375}}{2} = \frac{{225a}}{2} \Leftrightarrow a = \frac{5}{3}\). Vận tốc của \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) là \({v_B}\left( {15} \right) = \frac{5}{3}.15 = 25 \left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
62.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Thời điểm chất điểm \(B\) đuổi kịp chất điểm \(A\) thì chất điểm \(B\) đi được \(15\)giây, chất điểm \(A\)đi được \(18\) giây.
Biểu thức vận tốc của chất điểm \(B\) có dạng \({v_B}\left( t \right) = \int {a{\rm{d}}t} = at + C\) mà \({v_B}\left( 0 \right) = 0\) nên \({v_B}\left( t \right) = at\).
Do từ lúc chất điểm \(A\) bắt đầu chuyển động cho đến khi chất điểm \(B\) đuổi kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được bằng nhau. Do đó \(\int_0^{18} {\left( {\frac{1}{{120}}{t^2} + \frac{{58}}{{45}}} \right){\rm{d}}t} = \int_0^{15} {at{\rm{d}}t} \Leftrightarrow 225 = a.\frac{{225}}{2} \Leftrightarrow a = 2\)
Vậy, vận tốc của chất điểm \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) bằng \({v_B}\left( t \right) = 2.15 = 30\left( {m/s} \right)\).
63.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
\(v(t) = \int {a(t)dt = } \int {(6 - 3t)dt = } 6t - \frac{3}{2}{t^2} + C\).
Khi \(t = 0\) thì \(v = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow v(t) = 6t - \frac{3}{2}{t^2}\); \(v'(t) = 6 - 3t,\,\,\,\,\,v'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2\)
Khi đó: \[S(t) = \int\limits_0^2 {(6t - \frac{3}{2}{t^2})dt} = 8.\]
64.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Giai đoạn 1: Xe bắt đầu chuyển động đến khi gặp chướng ngại vật.
Quãng đường xe đi được là: \({S_1} = \int\limits_0^{12} {{v_1}\left( t \right){\rm{d}}t} \) \( = \int\limits_0^{12} {2t{\rm{d}}t} \) \( = \left. {{t^2}} \right|_0^{12}\) \( = 144{\mkern 1mu} \left( {\rm{m}} \right)\).
Giai đoạn 2: Xe gặp chướng ngại vật đến khi dừng hẳn.
Ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \({v_2}\left( t \right) = \int {a{\rm{d}}t} = - 12t + c\).
Vận tốc của xe khi gặp chướng ngại vật là: \({v_2}\left( 0 \right) = {v_1}\left( {12} \right) = 2.12 = 24{\mkern 1mu} \left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
\( \Rightarrow - 12.0 + c = 24\)\( \Rightarrow c = 24\)\( \Rightarrow {v_2}\left( t \right) = - 12t + 24\).
Thời gian khi xe gặp chướng ngại vật đến khi xe dừng hẳn là: \( - 12t + 24 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 2\).
Khi đó, quãng đường xe đi được là: \({S_2} = \int\limits_0^2 {{v_2}\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_0^2 {\left( { - 12t + 24} \right){\rm{d}}t} \) \( = \left. {\left( { - 6{t^2} + 24t} \right)} \right|_0^2 = 24{\mkern 1mu} \left( {\rm{m}} \right)\).
Vậy tổng quãng đường xe đi được là: \(S = {S_1} + {S_2} = 168{\mkern 1mu} \left( {\rm{m}} \right)\).
65.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Quãng đường ô tô đi được trong \(5\)\(\left( {\rm{s}} \right)\)đầu là \[{s_1} = \int\limits_0^5 {7t{\rm{d}}t} = 7\left. {\frac{{{t^2}}}{2}} \right|_0^5 = 87,5\](mét).
Phương trình vận tốc của ô tô khi người lái xe phát hiện chướng ngại vật là \({v_{\left( 2 \right)}}\left( t \right) = 35 - 35t\)(m/s).
Khi xe dừng lại hẳn thì \({v_{\left( 2 \right)}}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 35 - 35t = 0 \Leftrightarrow t = 1\).
Quãng đường ô tô đi được từ khi phanh gấp đến khi dừng lại hẳn là
\({s_2} = \int\limits_0^1 {\left( {35 - 35t} \right){\rm{d}}t} \)\( = \left. {\left( {35t - 35\frac{{{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1\)\( = 17.5\)(mét).
Vậy \(s = {s_1} + {s_2}\)\( = 87.5 + 17.5\)\( = 105\)(mét).
66.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Cần nhớ: \[v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)} \,{\rm{d}}t\] ; \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right){\rm{d}}t} \), ngược lại : \(v = s'\left( t \right),a = v'\left( t \right)\).
Ta có : \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {3t + {t^2}} \right){\rm{d}}t} = \frac{{3{t^2}}}{2} + \frac{{{t^3}}}{3} + C\).
\(t = 0\) và \[v = 10\,\,{\rm{m/s}}\] nên \(v\left( 0 \right) = 10 \Leftrightarrow C = 10\). Ta được : \(v\left( t \right) = \frac{{3{t^2}}}{2} + \frac{{{t^3}}}{3} + 10\).
Sau \(10\) giây, quãng đường vật đi được là: \(s = \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{{3{t^2}}}{2} + \frac{{{t^3}}}{3} + 10} \right)} \,{\rm{d}}t = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{2} + \frac{{{t^4}}}{{12}} + 10t} \right)} \right|_0^{10} = \frac{{4300}}{3}\,m.\)
67.Tự luận
• 1 điểm
Một chuyển động trong 4 giờ với vận tốc \[v\]( km/h) phụ thuộc thời gian \[t\] ( h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh \[I\left( {1;1} \right)\] và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường \[s\] mà vật đi được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát.
Xem đáp án
Ta có phương trình vận tốc \[v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c{\rm{ }}\left( P \right)\]
\[\left( P \right)\] qua điểm \[\left( {{\rm{0;2}}} \right)\] nên \[c = 2\].
Mặt khác \[\left( {\rm{P}} \right)\] có đỉnh \[\left( {{\rm{1;1}}} \right)\] nên
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 1\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\end{array} \right.\]
Nên phương trình vận tốc \[v\left( t \right) = {t^2} - 2t + 2\]
Nên phương trình vận tốc \[v\left( t \right) = {t^2} - 2t + 2\]
\[\int_0^4 {\left( {{t^2} - 2t + 2} \right)dt} = \frac{{40}}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{km}}} \right)\].
68.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Quãng đường đi được sau 5 giây là: =
Quãng đường đi được sau 10 giây là:=
Theo đề bài, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}125a + \frac{{25}}{2}b = 15\\1000a + 50b = 80\end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{25}}\\b = \frac{4}{5}\end{array} \right.\)
Như vậy \(v\left( t \right) = \frac{3}{{25}}{t^2} + \frac{4}{5}t\), nên quãng đường xe đi được sau giây là \(S = \int\limits_0^{20} {\left( {\frac{3}{{25}}{t^2} + \frac{4}{5}t} \right)} dt = 480{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)
69.Tự luận
• 1 điểm
Một vật chuyển động trong \[3\] giờ với vận tốc \[v\]\[\left( {km/h} \right)\]phụ thuộc vào thời gian \[t\]\[\left( h \right)\] có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian \[1\] giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh \[I\left( {2;5} \right)\] và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong \[3\] giờ đó.
Xem đáp án
Parabol có đỉnh \(I\left( {2;5} \right)\) và đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\)có phương trình \(y = - {x^2} + 4x + 1\).
Quãng đường vật đi được trong \(1\) giờ đầu là:
\({S_1} = \int\limits_0^1 {\left( { - {x^2} + 4x + 1} \right)dx = \frac{8}{3}} \). Quãng đường vật đi được trong \(2\) giờ sau là \({S_2} = 2.4 = 8\)
Vậy trong ba giờ vật đi được quãng đường là \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{8}{3} + 8 = \frac{{32}}{3}\,\)\(\left( {km} \right)\).
70.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
\[v\left( t \right) = f'\left( t \right) = 2 - t\]. Do đó \(S = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\left| { - t + 2} \right|} {\rm{dt}}\;{\rm{ = }}\;\int_{{t_1}}^2 {\left( {2 - t} \right)} {\rm{dt + }}\;\int_2^{{t_2}} {\left( {2 - t} \right)} {\rm{dt}}\)\( = 4 - 2\left( {{t_1} + {t_2}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{t_1}^2 + {t_2}^2} \right)\).
71.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Thời điểm máy bay đạt vận tốc \(200\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) là nghiệm của phương trình:
\({t^2} + 10t = 200\)\( \Leftrightarrow {t^2} + 10t - 200 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\\t = - 20\end{array} \right.\)\( \Rightarrow t = 10\left( {\rm{s}} \right)\).
Quãng đường máy bay di chuyển trên đường băng là:
\(s = \int\limits_0^{10} {\left( {{t^2} + 10t} \right){\rm{d}}t} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + 5{t^2}} \right)} \right|_0^{10}\)\( = \frac{{2500}}{3}\left( {\rm{m}} \right)\).
72.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Gọi \(a\,\left( h \right)\) là khoảng thời gian hai xe gặp nhau.
Sau \(a\,\left( h \right)\) xe ôt ô thứ nhất đi được quãng đường \(\int\limits_0^a {\left( {2t + 1} \right){\rm{d}}t} = {a^2} + a\).
Xét chuyển động của xe ô tô thứ 2.
+) Chọn mốc thời gian là lúc người lái xe đạp phanh.
Ta có \({v_0} = v\left( {{t_0}} \right) = - 5{t_0} + 20\)
Mặt khác \({v_0} = 10\)\( \Rightarrow - 5{t_0} + 20 = 10 \Rightarrow {t_0} = 2\).
Vậy sau khi chạy được \(2\left( h \right)\)xe ô tô thứ 2 đạp phanh.
Sau \(a\,\left( h \right)\) xe ô tô thứ 2 cách \(A\)một quãng đường là \(22 + 10.2 + \int\limits_2^a {\left( { - 5t + 20} \right){\rm{d}}t} \)\( = 12 - \frac{5}{2}{a^2} + 20a\)
Sau \(a\,\left( h \right)\) hai xe gặp nhau nên ta có:\({a^2} + a = 12 - \frac{5}{2}{a^2} + 20a\)\( \Leftrightarrow \frac{7}{2}{a^2} - 19a - 12 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - \frac{4}{7}\,\\a = 6\end{array} \right.\)
Vậy \(a = 6\).
73.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Chọn gốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu đi. Sau \(5{\rm{s}}\) ô tô đạt vận tốc là \(v\left( 5 \right) = 35\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Sau khi phanh vận tốc ô tô là \(v\left( t \right) = 35 - 70\left( {t - 5} \right)\).
Ô tô dừng tại thời điểm \(t = 5,5{\rm{s}}\).
Quãng đường ô tô đi được là \(S = \int\limits_0^5 {7t{\rm{d}}t} + \int\limits_5^{5,5} {\left[ {35 - 70\left( {t - 5} \right)} \right]{\rm{d}}t} = 96,25\left( {\rm{m}} \right)\).
74.Tự luận
• 1 điểm
Ông A đi làm lúc 7 giờ và đến cơ quan lúc 7 giờ 12 phút bằng xe gắn máy, trên đường đến cơ quan ông A gặp một người băng qua đường nên ông phải giảm tốc độ để đảm bào an toàn rồi sau đó lại từ từ tăng tốc độ để đến cơ quan làm việc. Hỏi quãng đường kể từ lúc ông A giảm tốc độ để tránh tai nạn cho đến khi tới cơ quan dài bao nhiêu mét? (Độ thị dưới đâu mô tả vận tốc chuyển động của ông A theo thời gian khi đến cơ quan)
Xem đáp án
Thời gian đi đến cơ quan của ông A là 12 phút bằng 0,2 giờ.
Chọn gốc thời gian từ lúc 7 giờ sáng \(\left( {t = 0} \right)\).
Lúc ông A giảm tốc độ là 7 giờ 5 phút \(\left( {t = \frac{5}{{60}} = \frac{1}{{12}}} \right)\)
Ta có: \(s = \int\limits_{\frac{1}{{12}}}^{0,2} {v(t)dt} \) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đường cong \(v\left( t \right)\) và hai đường thẳng \(t = \frac{1}{{12}}\), \(t = 0,2\)
Diện tích hình phẳng trên được tính bằng cách chia nhỏ các hình đã biết nên
\(s = \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{1}{{60}} + \frac{{\frac{6}{{60}} + \frac{3}{{60}}}}{2} \times 48 = 3,9{\rm{km}}\).
75.Tự luận
• 1 điểm
Xem đáp án
Ta có: \(v = \int {adt = \int {\left( {6t + 2} \right)dt = 3{t^2} + 2t + C} } {\rm{ }}\left( {m/s} \right)\)
Vật bắt đầu chuyển động, tức là ở thời điểm ban đầu vận tốc của vật bằng không, ta có:
\(0 = {3.0^2} + 2.0 + C \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow v = 3{t^2} + 2t{\rm{ }}\left( {m/s} \right)\)
Quãng đường vật đi trong giây thứ 6, tức là quãng đường tính từ khi \(t = 5\) đến khi \(t = 6\),
nên ta có: \(s = \int\limits_5^6 {vdt} = \int\limits_5^6 {\left( {3{t^2} + 2t} \right)dt} = 102{\rm{ }}\left( m \right)\).
76.Tự luận
• 1 điểm
Một vật chuyển động thẳng có đồ thị vận tốc theo thời gian trong 6 giờ đầu tiên như hình vẽ bên dưới. Biết rằng đoạn đồ thị \(ABC\) là một đường parabol và \(B\) là đỉnh của parabol. Quãng đường vật đi được trong 3 giờ đầu tiên là
Xem đáp án
Từ đồ thị ta có parabol: \(v(t) = a{t^2} + bt + c\)\(\left( {a < 0} \right)\) đi qua hai \(A\left( {2;12} \right),B\left( {4;24} \right)\)và có trục đối xứng là đường thẳng \(x = 4\) nên ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4t + 2b + c = 12}\\{16t + 4t + c = 24}\\{\frac{{ - b}}{{2a}} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 3}\\{b = 24}\\{c = - 24}\end{array}} \right. \Rightarrow v(t) = - 3{t^2} + 24t - 24\)
Do hai giờ đầu vật đi với vận tốc không đổi là \(12km/h\) nên quãng đường vật đi được trong 3 giờ đầu tiên là:
\(s = \int\limits_0^3 {v(t)dt = \int\limits_0^2 {12dt + \int\limits_2^3 {( - 3{t^2}} } } + 24t - 24)dt = 41\,(km\,)\).
77.Tự luận
• 1 điểm
Một chiếc xe đua \({F_1}\) đạt tới vận tốc lớn nhất là \(360\,km/h\). Đồ thị bên biểu thị vận tốc \(v\) của xe trong \(5\) giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát. Đồ thị trong \(2\) giây đầu tiên là một phần của parabol đỉnh tại gốc tọa độ \(O\), giây tiếp theo là đoạn thẳng và sau đúng \(3\) giây thì xe đạt vận tốc lớn nhất. Biết rằng mỗi đơn vị trục hoành biểu thị \(1\) giây, mỗi đơn vị trục tung biểu thị \(10\,m/s\) và trong \(5\) giây đầu xe chuyển động theo đường thẳng. Hỏi trong \(5\) giây đó xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu?
Xem đáp án
Giả sử \(A\left( {2\,;\,6} \right)\); \(B\left( {3\,;\,10} \right)\)
Theo gt thì phương trình của parabol là \(y = \frac{3}{2}{x^2}\); phương trình đường thẳng \(AB\) là \(y = 4x - 2\)
Vậy trong \(5\) giây đó xe đã đi được quãng đường là: \(S = 10\left( {\int\limits_0^2 {\frac{3}{2}{x^2}{\rm{d}}x} + \int\limits_2^3 {\left( {4x - 2} \right){\rm{d}}x} + 2.10} \right) = 320\) (mét).
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Khám phá các nguồn tài nguyên miễn phí, phù hợp với tiêu chuẩn trong vài giây
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
