10 bài tập Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối có lời giải
10 câu hỏi
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {\left| {x - 1} \right|dx} \) bằng
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: A
\(I = \int\limits_0^2 {\left| {x - 1} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {x - 1} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^2 = 1\).
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx} \) bằng
4;
3;
2;
1.
Đáp án đúng là: D
\(I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)dx} - \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_0^1 - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^2 = \frac{5}{6} - \left( { - \frac{1}{6}} \right) = 1\).
Tính tích phân \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {\left| {\sin 2x} \right|dx} \) bằng
0;
3;
2;
1.
Đáp án đúng là: D
+) \(\frac{\pi }{4} \le x \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{\pi }{2} \le 2x \le \pi \Rightarrow \sin 2x \ge 0\).
+) \(\frac{\pi }{2} \le x \le \frac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow \pi \le 2x \le \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin 2x \le 0\).
Khi đó \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {\left| {\sin 2x} \right|dx} \)\( = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {\sin 2xdx} \)\( = \left. { - \frac{1}{2}\cos 2x} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\frac{1}{2}\cos 2x} \right|_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} = 1\).
Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^a {\left| {{x^2} - x} \right|dx} \) ta được kết quả \(I = \frac{{11}}{6}\). Khi đó
a = 1;
a = 2;
a = 3;
a = 4.
Đáp án đúng là: B
Từ đáp án ta thấy a ≥ 1.
\(I = \int\limits_{ - 1}^a {\left| {{x^2} - x} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} + \int\limits_1^a {\left( {{x^2} - x} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ - 1}^0 - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^a\)\( = \frac{7}{6} + \frac{{{a^3}}}{3} - \frac{{{a^2}}}{2}\).
Theo đề có \(\frac{7}{6} + \frac{{{a^3}}}{3} - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{11}}{6}\) 2a3 – 3a2 – 4 = 0 (a − 2)(2a2 + a + 2) = 0 a = 2.
Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - x - 1} \right|dx} \) ta được kết quả \(I = \frac{a}{b}\), khi đó tổng a + b là:
7;
3;
5;
9.
Đáp án đúng là: A
Do x3 + x2 – x – 1 = (x – 1)(x + 1)2 ≤ 0, ∀x [−1; 1].
Khi đó \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - x - 1} \right|dx} \)\( = - \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^3} + {x^2} - x - 1} \right)dx} = - \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{4}{3}\).
Suy ra a = 4; b = 3. Do đó a + b = 7.
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
\(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \right|\);
\(\int\limits_{ - 1}^1 {{{\left| x \right|}^3}dx} = \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {{x^3}dx} } \right|\);
\(\int\limits_{ - 2}^3 {\left| {{e^x}\left( {x + 1} \right)} \right|dx} = \left| {\int\limits_{ - 2}^3 {{e^x}\left( {x + 1} \right)dx} } \right|\);
\(\int\limits_{ - 1}^{2018} {\left| {{x^4} + {x^2} + 1} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^{2018} {\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)dx} \).
Đáp án đúng là: D
Vì x4 + x2 + 1 ≥ 0, ∀x [−1; 2018] \( \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^{2018} {\left| {{x^4} + {x^2} + 1} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^{2018} {\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)dx} \).
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left| {x - 2} \right|dx} \) bằng
\(\frac{1}{2}\);
1;
\(\frac{3}{2}\);
2.
Đáp án đúng là: C
Do x – 2 < 0, ∀x [0; 1].
Khi đó \(I = \int\limits_0^1 {\left| {x - 2} \right|dx} = - \int\limits_0^1 {\left( {x - 2} \right)dx} = - \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{2}\).
</>
Tính \(\int\limits_0^2 {\sqrt {{x^2} - 2x + 1} } dx\).
\(\frac{1}{2}\);
2;
\(\frac{5}{2}\);
1.
Đáp án đúng là: D
\(\int\limits_0^2 {\sqrt {{x^2} - 2x + 1} } dx\)\( = \int\limits_0^2 {\left| {x - 1} \right|} dx\)\[ = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)} dx + \int\limits_0^2 {\left( {x - 1} \right)} dx\]\[ = \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^2 = 1\].
Tính tích phân \(\int\limits_0^8 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx} \).
\(\frac{{152}}{3}\);
\(\frac{{64}}{3}\);
\(\frac{{ - 64}}{3}\);
\(\frac{{ - 152}}{3}\).
Đáp án đúng là: A
\(\int\limits_0^8 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^6 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx} + \int\limits_6^8 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^6 {\left( { - {x^2} + 6x} \right)dx} + \int\limits_6^8 {\left( {{x^2} - 6x} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{6{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^6 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{6{x^2}}}{2}} \right)} \right|_6^8 = \frac{{152}}{3}\).
Tính \(I = \int\limits_0^2 {\left| {2x - 2} \right|dx} \).
0;
2;
1;
3.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(I = \int\limits_0^2 {\left| {2x - 2} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {2 - 2x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {2x - 2} \right)dx} \)\[ = \left. {\left( {2x - {x^2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {{x^2} - 2x} \right)} \right|_1^2 = 2\].
