22 câu trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức Bài 12. Tích phân (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Xét \(f\left( x \right)\) là một hàm số tùy ý, \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( a \right) - F\left( b \right)\).
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( a \right) + F\left( b \right)\).
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - F\left( a \right) - F\left( b \right)\).
Chọn A
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
Biết \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 2\). Khi đó \(\int\limits_1^2 {2f\left( x \right)dx} \) bằng
2.
−4.
4.
−2.
Chọn C
\(\int\limits_1^2 {2f\left( x \right)dx} \)\( = 2\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 2.2 = 4\).
Biết \(\int\limits_1^8 {f\left( x \right)dx} = - 2;\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = 3;\int\limits_1^4 {g\left( x \right)dx} = 7\). Đẳng thức nào sau đây sai?
\(\int\limits_1^4 {\left[ {4f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx = - 2} \).
\(\int\limits_4^8 {f\left( x \right)dx = 1} \).
\(\int\limits_4^8 {f\left( x \right)dx = - 5} \).
\(\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = 10} \).
Chọn B
Ta có \(\int\limits_4^8 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^8 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = - 2 - 3 = - 5\).
\(\int\limits_1^4 {\left[ {4f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx = 4\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} - 2\int\limits_1^4 {g\left( x \right)dx} = 4.3 - 2.7 = - 2} \).
\[\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx + \int\limits_1^4 {g\left( x \right)dx = 3 + 7 = 10} } } \].
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\), \(f\left( 1 \right) = 1\) và \(f\left( 2 \right) = 2\). Giá trị \(\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)} dx\) bằng
1.
−1.
3.
\(\frac{7}{2}\).
Chọn A
\[\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)} dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_1^2 = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = 1\].
Tính tích phân \(\int\limits_1^4 {\left( {4{x^3} + 1} \right)dx} \).
256.
257.
258.
259.
Chọn C
\(\int\limits_1^4 {\left( {4{x^3} + 1} \right)dx} = \left. {\left( {{x^4} + x} \right)} \right|_1^4 = 258\).
Tính \(\int\limits_1^2 {\left( {\sqrt x } \right)dx} \) thu được kết quả bằng \(\frac{{a\sqrt 8 - b}}{3}\). Giá trị \({a^2} + {b^2}\) bằng
8.
9.
11.
13.
Chọn A
\(\int\limits_1^2 {\left( {\sqrt x } \right)dx} = \left. {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right|_1^2 = \frac{{2\left( {\sqrt {{2^3}} - 1} \right)}}{3} = \frac{{2\sqrt 8 - 2}}{3}\).
Suy ra \(a = 2;b = 2\). Do đó \({a^2} + {b^2} = {2^2} + {2^2} = 8\).
Giá trịtích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}dx} \) là \(1 - \ln a\). Khi đó \({a^2} + a + 2\) bằng bao nhiêu?
7.
8.
5.
4.
Chọn B
\(I = \int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\frac{{x + 1 - 1}}{{x + 1}}dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \)\( = \left. {\left[ {x - \ln \left( {x + 1} \right)} \right]} \right|_0^1 = 1 - \ln 2\).
Suy ra \(a = 2\). Khi đó \({a^2} + a + 2 = {2^2} + 2 + 2 = 8\).
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{8}} {{{\cos }^2}2xdx} = \frac{\pi }{a} + \frac{b}{c}\) với \(a,b,c \in \mathbb{N}*,\frac{b}{c}\) tối giản. Tính \(P = a + b + c\).
P = 23.
P = 24.
P = 25.
P = 15.
Chọn C
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{8}} {{{\cos }^2}2xdx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{8}} {\left( {\frac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)dx} = \left. {\left[ {\frac{1}{2}\left( {x + \frac{1}{4}\sin 4x} \right)} \right]} \right|_0^{\frac{\pi }{8}} = \frac{\pi }{{16}} + \frac{1}{8}\).
Suy ra \(a = 16;b = 1;c = 8 \Rightarrow P = a + b + c = 25\).
Nếu các số hữu tỉ \(a,b\) thỏa mãm \(\int\limits_0^1 {\left( {a{e^x} + b} \right)dx} = e + 2\) thì giá trị của biểu thức \(a + b\) bằng
4.
6.
5.
3.
Chọn A
\(\int\limits_0^1 {\left( {a{e^x} + b} \right)dx} = \left. {\left( {a{e^x} + bx} \right)} \right|_0^1 = ae + b - a\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b - a = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow a + b = 4\).
Tính tích phân \(\int\limits_0^8 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx} \).
\(\frac{{152}}{3}\).
\(\frac{{64}}{3}\).
\(\frac{{ - 64}}{3}\).
\(\frac{{ - 152}}{3}\).
Chọn A
\(\int\limits_0^8 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx} \)\[ = \int\limits_0^6 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx} + \int\limits_6^8 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx} \]\[ = \int\limits_0^6 {\left( { - {x^2} + 6x} \right)dx} + \int\limits_6^8 {\left( {{x^2} - 6x} \right)dx} \]
\[ = \left. {\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{{6{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^6 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{6{x^2}}}{2}} \right)} \right|_6^8 = \frac{{152}}{3}\].
Một ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = 27 - 9\sqrt t \). Tính quãng đường mà ô tô di chuyển từ thời điểm \(t = 0\) đến thời điểm mà vật dừng lại.
\(120\) m.
\(18\) m.
\(81\) m.
\(54\) m.
Chọn C
Thời điểm vật dừng lại là \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 27 - 9\sqrt t = 0 \Leftrightarrow t = 9\) giây.
Quãng đường mà ô tô di chuyển được từ thời điểm \(t = 0\) đến thời điểm mà vật dừng lại là:
\(s = \int\limits_0^9 {\left( {27 - 9\sqrt t } \right)dt} = \left. {\left( {27t - 6t\sqrt t } \right)} \right|_0^9 = 81\) m.
Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu bằng 0, vận tốc biến đổi theo quy luật và có gia tốc \(a = 0,3\;m/{s^2}\). Xác định quãng đường vật đó đi được trong 40 phút đầu tiên.
\(12000\) m.
\(240\) m.
\(864000\) m.
\(3200\) m.
Chọn C
Đổi 40 phút = 2400 giây.
Ta có \(v\left( t \right) = \int {0,3dt} = 0,3t + C\).
Do vận tốc ban đầu bằng 0 nên \(v\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\).
Do vậy \(v\left( t \right) = 0,3t\).
Vậy quãng đường đi được trong 40 phút đầu tiên là \(s = \int\limits_0^{2400} {0,3tdt} = 864000\) m.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {3x - 1} \right)^2}\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\).
a) \(\int\limits_{ - 1}^2 {f'\left( x \right)dx} = 5\).
b) \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 3\).
c) \(\int\limits_0^1 {\left[ {3f\left( x \right) - 1} \right]dx} = 8\).
d) \(\int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {f'\left( x \right) - 2xf\left( x \right)} \right]dx} = - \frac{{51}}{2}\).
a) \(\int\limits_{ - 1}^2 {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_{ - 1}^2 = \left. {{{\left( {3x - 1} \right)}^2}} \right|_{ - 1}^2 = 25 - 16 = 9\).
b) \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {{{\left( {3x - 1} \right)}^2}dx} = \left. {\frac{{{{\left( {3x - 1} \right)}^3}}}{9}} \right|_0^1 = \frac{8}{9} - \left( { - \frac{1}{9}} \right) = 1\).
c) Ta có \(\int\limits_0^1 {\left[ {3f\left( x \right) - 1} \right]dx} = 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_0^1 {1dx} = 3.1 - 1 = 2\).
d) \(\int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {f'\left( x \right) - 2xf\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_{ - 1}^2 {f'\left( x \right)dx} - \int\limits_{ - 1}^2 {2x{{\left( {3x - 1} \right)}^2}dx} = 9 - \frac{{69}}{2} = - \frac{{51}}{2}\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục trên ℝ, \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) và \(\int\limits_0^9 {f\left( x \right)dx} = 9\).
a) \(\int\limits_0^9 {f\left( x \right)dx} = F\left( 9 \right) - F\left( 0 \right)\).
b) Nếu \(F\left( 0 \right) = 3\) và \(\int\limits_0^9 {f\left( x \right)dx} = 9\) thì \(F\left( 9 \right) = - 12\).
c) \(\int\limits_0^9 {3f\left( u \right)du} = 27\).
d) \(\int\limits_0^6 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_6^9 {f\left( x \right)dx} = 18\).
a) Ta có \(\int\limits_0^9 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^9 = F\left( 9 \right) - F\left( 0 \right)\).
b) Vì \(\int\limits_0^9 {f\left( x \right)dx} = 9\) \( \Leftrightarrow F\left( 9 \right) - F\left( 0 \right) = 9 \Leftrightarrow F\left( 9 \right) - 3 = 9 \Leftrightarrow F\left( 9 \right) = 12\).
c) Theo tính chất \(\int\limits_0^9 {3f\left( u \right)du} = \int\limits_0^9 {3f\left( x \right)dx} = 3\int\limits_0^9 {f\left( x \right)dx} = 27\).
d) Theo tính chất \(\int\limits_0^6 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_6^9 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^9 {f\left( x \right)dx} = 9\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\) liên tục trên ℝ, \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).
a) \(\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} = 0\).
b) Biết \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\) thì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).
c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - f\left( x \right)} \right)dx} = 2\).
d) \(\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = 4\).
a) \(\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\sin 2xdx} \)\( = \left. { - \frac{1}{2}\cos 2x} \right|_0^\pi = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0\).
b) Có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\sin 2x} dx = - \frac{1}{2}\cos 2x + C\).
Có \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1\). Suy ra \(F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\cos 2x + 1\).
Do đó \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{1}{2}\cos \pi + 1 = \frac{3}{2}\).
c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - f\left( x \right)} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - \sin 2x} \right)dx} \)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} \)\( = \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\frac{1}{2}\cos 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\).
d) \(\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {\sin 2x} \right|dx} \)\( = 2\int\limits_0^\pi {\sin 2xdx} = 2.0 = 0\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ \(v\left( t \right) = 2,01t - 0,025{t^2}\left( {0 \le t \le 10} \right)\). Trong đó \(v\left( t \right)\) tính theo m/s, thời gian t tính bằng giây, t = 0 là thời điểm xe xuất phát.
a) Quãng đường xe di chuyển được tính theo công thức là \(s\left( t \right) = 2,01 - 0,05t\left( {0 \le t \le 10} \right)\).
b) Quãng đường xe di chuyển được trong 3 giây là 8,82 m.
c) Quãng đường xe di chuyển được trong giây thứ 9 xấp xỉ 15,277 m.
d) Trong khoảng thời gian không quá 10 giây đầu, khi vận tốc đạt giá trị lớn nhất thì gia tốc của xe là 1,51 m/s2.
a) Quãng đường xe di chuyển được phải là nguyên hàm của \(v\left( t \right)\), \(v'\left( t \right) = 2,01 - 0,05t\left( {0 \le t \le 10} \right)\) là công thức tính gia tốc của vật.
b) Quãng đường xe di chuyển được trong 3 giây là \(\int\limits_0^3 {\left( {2,01t - 0,025{t^2}} \right)dt} = 8,82\) m.
c) Quãng đường xe di chuyển được trong giây thứ 9 là:
\(s\left( 9 \right) - s\left( 8 \right) = \int\limits_8^9 {\left( {2,01t - 0,025{t^2}} \right)dt} \approx 15,277\) m.
d) Ta có \(v\left( t \right) = 2,01t - 0,025{t^2}\left( {0 \le t \le 10} \right)\) \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;10} \right]} v\left( t \right) = 17,6\) m/s khi t = 10 giây.
Gia tốc vật khi đó là \(a\left( {10} \right) = v'\left( {10} \right) = 2,01 - 0,05.10 = 1,51\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi \(v\left( t \right) = 5 + 3t\) (m/s) với \(t\)là thời gian kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 35 giây thì máy bay cất cánh trên đường băng. Gọi \(s\left( t \right)\) là quãng đường máy bay di chuyển được sau \(t\) giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà.
a) \(v\left( t \right) = s'\left( t \right)\).
b) \(s\left( t \right) = \frac{3}{2}{t^2} + 5t + 5\).
c) Quãng đường máy bay di chuyển được sau 6 giây kể từ khi bắt đầu chạy đà là 85 mét.
d) Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường bằng là 2013 m (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
a) Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right)\).
b) Có \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {5 + 3t} \right)dt} = \int {5dt} + \int {3tdt} = \frac{3}{2}{t^2} + 5t + C\).
Vì \(s\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\).
Do đó \(s\left( t \right) = \frac{3}{2}{t^2} + 5t\).
c) Ta có \(s = \int\limits_0^6 {v\left( t \right)dt} = \left. {\left( {\frac{3}{2}{t^2} + 5t} \right)} \right|_0^6 = \frac{3}{2}{.6^2} + 5.6 = 84\).
d) Máy bay rời đường băng khi \(t = 35\) giây nên \(s = \int\limits_0^{35} {v\left( t \right)dt} = \left. {\left( {\frac{3}{2}{t^2} + 5t} \right)} \right|_0^{35} = 2012,5\).
Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng làm tròn đến hàng đơn vị là 2013 m.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN
Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2x - 1 - \sin x} \right)dx} = \pi \left( {\frac{\pi }{a} - \frac{1}{b}} \right) - 1;a,b \in \mathbb{Z}\). Tính \(a + b\).
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2x - 1 - \sin x} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} - x + \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{{\pi ^2}}}{4} - \frac{\pi }{2} - 1 = \pi \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right) - 1\).
Suy ra \(a = 4;b = 2\). Suy ra \(a + b = 6\).
Trả lời: 6.
Cho \(A = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x + 2024m} \right)dx = 5} \). Tính \(B = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 3x + 3 + 2024m} \right)dx} \).
\(A = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x + 2024m} \right)dx = 5} \)\( \Leftrightarrow \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + 2024mx} \right)} \right|_0^1 = 5\)\( \Leftrightarrow 2024m - \frac{1}{6} = 5\)\( \Leftrightarrow 2024m = \frac{{31}}{6}\)
Thay \(2024m = \frac{{31}}{6}\) vào B, ta được \(B = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 3x + \frac{{49}}{6}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + \frac{{49}}{6}x} \right)} \right|_1^2 = 6\).
Trả lời: 6.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Giả sử \(y = F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(y = f\left( x \right)\) và \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 3\) và \(F\left( 0 \right) = 2\). Tính \(F\left( 2 \right)\).
Ta có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)\)\( \Rightarrow F\left( 2 \right) = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + F\left( 0 \right) = 3 + 2 = 5\).
Trả lời: 5.
Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc \(v\left( t \right) = {t^2} + 10t\) (m/s) với \(t\) là thời gian được tính bằng đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc 200 m/s thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Khi máy bay đạt vận tốc 200 m/s, suy ra \({t^2} + 10t = 200 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10\\t = - 20\end{array} \right.\).
Vì \(t > 0\) nên \(t = 10\).
Quãng đường mãy bay di chuyển trên đường băng là \(\int\limits_0^{10} {\left( {{t^2} + 10t} \right)dt} = \frac{{2500}}{3} \approx 833\) m.
Trả lời: 833.
Một ô tô xuất phát với vận tốc \({v_1}\left( t \right) = 2t + 12\) (m/s), sau khi đi được khoảng thời gian \({t_1}\) thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc \({v_2}\left( t \right) = 24 - 6t\)(m/s) và đi thêm một khoảng thời gian \({t_2}\) nữa thì dừng lại. Hỏi từ khi xuất phát đến lúc dừng lại thì xe ô tô đã đi được bao nhiêu mét?
Ta có \({v_1}\left( t \right) = {v_2}\left( t \right) \Leftrightarrow 2t + 12 = 24 - 6t \Leftrightarrow t = 1,5\).
Vậy xe di chuyển với vận tốc \({v_1}\left( t \right) = 2t + 12\) sau 1,5 giây thì phanh gấp.
Có \({v_2}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 24 - 6t = 0 \Leftrightarrow t = 4\).
Vậy xe di chuyển với vận tốc \({v_2}\left( t \right) = 24 - 6t\) sau 4 giây thì dừng lại.
Quãng đường xe đi được là \(\int\limits_0^{1,5} {{v_1}\left( t \right)dt} + \int\limits_{1,5}^4 {{v_2}\left( t \right)dt} \)\[ = \left. {\left( {{t^2} + 12t} \right)} \right|_0^{1,5} + \left. {\left( {24t - 3{t^2}} \right)} \right|_{1,5}^4 = 39\] m.
Trả lời: 39.
