10 bài tập Vận dụng tích phân vào giải quyết bài toán liên quan thực tế có lời giải
10 câu hỏi
Vận tốc của một vật chuyển động là v(t) = 3t2 + 5 (m/s). Quãng đường vật đó đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là
669 m;
696 m;
699 m;
966 m.
Đáp án đúng là: D
Quãng đường vật đó đi được từ giấy thứ 4 đến giây thứ 10 là \(\int\limits_4^{10} {\left( {3{t^2} + 5} \right)dt} = 966\) m.
Một vật chuyển động với gia tốc a(t) = 2cost (m/s2), biết rằng tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0. Tính quãng đường vật đi được từ thời điểm t = 0 (s) đến thời điểm t = π (s).
5 m;
3 m;
2 m;
4 m.
Đáp án đúng là: D
Có \(v\left( t \right) = \int {2\cos tdt = 2\sin t + C} \).
Vì v(0) = 0 nên C = 0. Do đó v(t) = 2sint.
Quãng đường vật đi được là \(\int\limits_0^\pi {2\sin tdt} = \left. { - 2\cos t} \right|_0^\pi = 4\).
Một ô tô đang chuyển động với vận tốc 24 m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động thẳng, chậm dần đều với vận tốc biến thiên theo thời gian được xác định bởi quy luật v(t) = −4t + 24 (m/s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc người lái xe bắt đầu đạp phanh. Quãng đường ô tô đi được từ lúc người lái xe bắt đầu đạp phanh đến khi xe dừng hẳn bằng
42 m;
64 m;
72 m;
50 m.
Đáp án đúng là: C
Khi xe dừng hẳn ta có v(t) = 0 −4t + 24 = 0 t = 6 (giây).
Ta có quãng đường ô tô đi được là \(s = \int\limits_0^6 {\left( { - 4t + 24} \right)dt} = 72\) m.
Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu bằng 0, vận tốc biến đổi theo quy luật và có gia tốc a = 0,3 m/s2. Xác định quãng đường vật đó đi được trong 40 phút đầu tiên.
12000 m;
240 m;
864000 m;
3200 m.
Đáp án đúng là: C
Đổi 40 phút = 2400 giây.
Ta có v(t) = \(\int {0,3dt} = 0,3t + C\).
Do v(0) = 0 nên C = 0. Do đó v(t) = 0,3t.
Quãng đường đi được trong 40 phút đầu tiên là \(s = \int\limits_0^{2400} {0,3tdt} = 864000\) m.
Giả sử tốc độ v (m/s) của một thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất theo thời gian t giây được cho bởi \(v\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;0 \le t \le 2\\2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;2 < t \le 20\\12 - 0,5t\;khi\;20 < t \le 24\end{array} \right.\). Tính quãng đường chuyển động của thang máy.
</>
58 m;
56 m;
42 m;
45 m.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(s = \int\limits_0^{24} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^2 {tdt} + \int\limits_2^{20} {2dt} + \int\limits_{20}^{24} {\left( {12 - 0,5t} \right)dt} \)
\( = \left. {\frac{{{t^2}}}{2}} \right|_0^2 + \left. {2t} \right|_2^{20} + \left. {\left( {12t - \frac{{{t^2}}}{4}} \right)} \right|_{20}^{24}\)\( = 2 + 36 + 4 = 42\).
Cho hai quả bóng A, B di chuyển ngược chiều nhau va chạm với nhau. Sau va chạm mỗi quả bóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quả bóng A nảy ngược lại với vận tốc vA(t) = 8 – 2t (m/s) và quả bóng B nảy ngược lại với vận tốc vB(t) = 12 – 4t (m/s). Tính khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi đã dừng hẳn (giả sử hai quả bóng đều chuyển động thẳng).
36 m;
32 m;
34 m;
30 m.
Đáp án đúng là: C
Thời gian quả bóng A chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là
8 – 2t = 0 t = 4 giây.
Quãng đường quả bóng A di chuyển là \({s_A} = \int\limits_0^4 {\left( {8 - 2t} \right)dt} = 16\) m.
Thời gian quả bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là
12 – 4t = 0 t = 3 giây.
Quãng đường quả bóng B di chuyển là \({s_B} = \int\limits_0^3 {\left( {12 - 4t} \right)dt} = 18m\).
Khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi dừng hẳn là S = sA + sB = 34 m.
Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc v(t) = t2 + 10t (m/s) với t là thời gian tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc 200 m/s thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là
\(\frac{{2500}}{3}\) m;
2000 m;
500 m;
\(\frac{{4000}}{3}\) m.
Đáp án đúng là: A
Xét v(t) = 200 t2 + 10t – 200 = 0 t = 10 hoặc t = −20.
Vậy thời gian máy bay đạt vận tốc 200 m/s là thời điểm t = 10 s sau khi bắt đầu chuyển động.
Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là
\(s = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^{10} {\left( {{t^2} + 10t} \right)dt} = \frac{{2500}}{3}\).
Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức P'(x) = −0,0004x + 9,3. Ở đây P(x) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được x đơn vị sản phẩm. Khi đó sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 125 đơn vị sản phẩm là
232,325 triệu đồng;
230,315 triệu đồng;
321,385 triệu đồng;
231,375 triệu đồng.
Đáp án đúng là: D
Sự thay đổi của lợi nhuận là \(\int\limits_{100}^{125} {P'\left( x \right)dx} = \int\limits_{100}^{125} {\left( { - 0,0004x + 9,3} \right)dx} \)\( = \left. {\left( { - 0,0002{x^2} + 9,3x} \right)} \right|_{100}^{125} = 231,375\) triệu đồng.
Một ô tô đang đi với vận tốc lớn hơn 72 km/h, phía trước là đoạn đường chỉ cho phép chạy với tốc độ tối đa là 72 km/h, vì thế người lái xe đạp phanh để ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 – 2t (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72 km/h, ô tô đã di chuyển quãng đường là bao nhiêu mét?
100 m;
150 m;
175 m;
125 m.
Đáp án đúng là: D
Thời điểm t ô tô đạt tốc độ 72 km/h (tức 20 m/s) là nghiệm của 30 – 2t = 20 t = 5.
Quãng đường đi được trong khoảng thời gian 5 giây là
\(s = \int\limits_0^5 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^5 {\left( {30 - 2t} \right)dt = 125} \)m.
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (giờ) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
s = 25,25 km;
s = 24,25 km;
s = 24,75 km;
s = 26,75 km.
Đáp án đúng là: C
Gọi v(t) = at2 + bt + c.
Đồ thị v(t) là một phần parabol có đỉnh I(2; 9) và đi qua điểm A(0; 6) nên \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\\a{.2^2} + b.2 + c = 9\\a{.0^2} + b.0 + c = 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 3}}{4}\\b = 3\\c = 6\end{array} \right.\]. Tìm được \(v\left( t \right) = - \frac{3}{4}{t^2} + 3t + 6\)
Vậy \(S = \int\limits_0^3 {\left( { - \frac{3}{4}{t^2} + 3t + 6} \right)} dt = \) 24,75 (km).
