10 bài tập Giải toán tam giác liên quan đến tỉ lệ cạnh đáy - chiều cao có lời giải

Chiều cao của tam giác ABC (hạ từ đỉnh C) cũng bằng chiều cao của hình thang và bằng chiều cao hạ từ A của tam giác ADC và nó bằng:

\(2 \times 54:10,8 = 10{\rm{ (cm)}}\)

Diện tích tam giác ADC là: \(27 \times 10:2 = 135{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

Đáp Số: \(135{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).

Ta có: \(S.ABCD = 5 \times 5 = 25{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\)

Do EB // AC nên tứ giác EBCA là hình thang. Do đó, đường cao hạ từ E và B xuống AC là bằng nhau và bằng chiều cao hình thang EBCA.

Vậy \(S.EAC = S.BAC\) (do chiều cao bằng nhau và chung đáy AC)

Mà \(S.BAC = 25:2 = 12,5{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).

Tương tự, ta cũng sẽ có được FECA là hình thang.

Và \(S.FAC = S.DAC = 12,5{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\)

Mà \(S.CEF = S.EAC + S.FAC = 12,5 + 12,5 = 25{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\)

Vậy \(S.CEF = 25{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).

Đáp Số: \(25{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).

\({S_{OBN}} = \frac{1}{2}{S_{OAN}} = 4{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

\({S_{OAC}} = 2{S_{OAB}} = 2 \times 12 = 24{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

Ta có: \({S_{OMC}} = 2{S_{OBM}}\) và \({S_{OAC}} = 2{S_{OBC}}\)

\( \Rightarrow {S_{OAC}} = 2 \times ({S_{OMC}} + {S_{OBM}}) = 2 \times (2 \times {S_{OBM}} + {S_{OBM}}) = 6 \times {S_{OBM}}\)

\( \Rightarrow {S_{OBM}} = 24:6 = 4{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

Vậy \({S_{BNOM}} = 4 + 4 = 8{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

Đáp Số: \(8{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\)

Ta có: \({S_{ADN}} = {S_{MDN}}\) (cùng đáy DN và có chiều cao bằng nhau)

\( \Rightarrow {S_{AED}} + {S_{EDN}} = {S_{MEN}} + {S_{EDN}} \Rightarrow {S_{ADE}} = {S_{MEN}} \Rightarrow {S_{MEN}} = 2{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\)

Tương tự cũng có: \({S_{MCN}} = {S_{BCN}}\)

\( \Rightarrow {S_{MFN}} + {S_{FCN}} = {S_{BFC}} + {S_{FCN}} \Rightarrow {S_{MFN}} = {S_{BFC}} \Rightarrow {S_{MFN}} = 3{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\)

Mà: \({S_{MENF}} = {S_{MEN}} + {S_{MFN}} \Rightarrow {S_{MEFN}} = 2 + 3 = 5{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\)

Đáp Số: \(5{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\)

\({S_{MDB}} = \frac{1}{3} \times {S_{ABM}} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times {S_{ABC}} = 3{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

\({S_{MCE}} = \frac{3}{4} \times {S_{ACM}} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times {S_{ABC}} = 6,75{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

Do đó: \({S_{MDB}} + {S_{MCE}} = 3 + 6,75 = 9,75{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

Đáp Số: \(9,75{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\)

\({S_{AMN}} = \frac{2}{3} \times {S_{NAB}} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times {S_{ABC}} = 40{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

\({S_{BMQ}} = \frac{1}{2} \times {S_{MBC}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times {S_{ABC}} = 30{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

\({S_{CPQ}} = \frac{1}{2} \times {S_{PBC}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times {S_{ABC}} = 30{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

\({S_{MNPQ}} = 180 - 40 - 30 - 30 = 80{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

Đáp Số: \(80{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\)

a) Hai tam giác CAB và CEB có chung đường cao hạ từ C xuống AB và \(EB = \frac{{AB}}{2}\) nên: \({S_{CEB}} = \frac{1}{2}{S_{CAB}}{\rm{ (1)}}\)

Hai tam giác BAC và BDC có chung đường cao hạ từ B xuống AC và \(DC = \frac{{AC}}{2}\) nên:

\({S_{BDC}} = \frac{1}{2}{S_{BAC}}{\rm{ (2)}}\)

Từ (1) và (2) suy ra: \({S_{CEB}} = {S_{BDC}}\)

Hai hình tam giác này có phần chung là tam giác GBC do đó: \({S_{GBE}} = {S_{BCD}}{\rm{ (3)}}\)

b) Hai tam giác GBE và GAE có chung đường cao vẽ từ G xuống AB và \(EA = EB\) nên \({S_{GBE}} = {S_{GAE}}{\rm{ (4)}}\)

Hai tam giác GDA và GDC có chung đường cao vẽ từ G xuống AC và \(DA = EC\) nên \({S_{GDA}} = {S_{GDC}}{\rm{ (5)}}\)

Từ (3), (4) và (5) ta có: \({S_{GAB}} = {S_{GAC}}{\rm{ (6)}}\)

Hai tam giác ABD và CBD có chung đường cao hạ từ B xuống AC và \(DA = DC\) nên \({S_{ABD}} = {S_{CBD}}\)

Mà hai tam giác này chứa hai hình tam giác có diện tích bằng nhau (\({S_{GDC}} = {S_{GDA}}\)).

Vậy: \({S_{GAB}} = {S_{GBC}} = {S_{GAC}}\)

c) Theo (6) và hai tam giác này có chung đáy AG nên hai đường cao (vẽ từ B và C xuống AG) bằng nhau.

- Hai đường cao này cũng là hai đường cao của hai hình tam giác BGM và CGM vẽ từ B và C xuống GM. Mặt khác hai tam giác này lại có chung đáy GM nên \({S_{BGM}} = {S_{CGM}}\)

- Mà hai tam giác này lại có chung đường cao vẽ từ G xuống BC. Do đó hai đáy \(BM = CM\)

a) \(BM = \frac{1}{3}BC\) nên \(MC = \frac{2}{3}BC\).

Tam giác MKC và tam giác BKC có chung chiều cao hạ từ K, đáy \(MC = \frac{2}{3}BC\) nên tỉ số diện tích của tam giác MKC và tam giác BKC là \(\frac{2}{3}\)

b) \(AK = \frac{1}{4}AM\) nên \(KM = 3AK\)

Tam giác MKC và tam giác AKC có chung chiều cao hạ từ C, đáy \(KM = 3KA\) nên tỉ số diện tích của tam giác MKC và tam giác AKC là 3

c) từ kết quả của câu a và câu b suy ra tỉ số diện tích của tam giác BKC và tam giác AKC là: \(\frac{3}{1}:\frac{2}{3} = \frac{9}{2}\)

Hai tam giác này lại chung đáy KC nên chiều cao hạ từ B xuống KC bằng \(\frac{9}{2}\) chiều cao hạ từ A xuống KC. Tam giác BKH và tam giác AKH có chung đáy KH, chiều cao hạ từ B bằng \(\frac{9}{2}\) chiều cao hạ từ A nên \({S_{BKH}} = \frac{9}{2}{S_{AKH}}\)

Mặt khác, nếu xem BH, AH là các cạnh của hai tam giác này thì chúng có chung chiều cao hạ từ K. Kết hợp hai điều trên ta suy ra: \(BH = \frac{9}{2}AH\) hay \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{9}{2}\)

a) Vì \(AN = \frac{1}{4}AC\) nên \(NC = \frac{3}{4}AC\)

\({S_{BNC}} = \frac{3}{4}{S_{ABC}}\) vì chung chiều cao hạ từ B xuống C và đáy \(NC = \frac{3}{4}AC\)

Vậy \({S_{BNC}} = \frac{3}{4} \times 64 = 48{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

b) \({S_{AMN}} = \frac{1}{4}{S_{ABN}}\) vì chung chiều cao hạ từ N xuống AB và đáy \(AM = \frac{1}{4}AB\)

\({S_{ABN}} = \frac{1}{4}{S_{ABC}}\) vì chung chiều cao hạ từ B xuống AC và đáy \(AN = \frac{1}{4}AC\)

Vậy \({S_{AMN}} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4}{S_{ABC}} = \frac{1}{{16}}{S_{ABC}}\) Suy ra \(\frac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{1}{{16}}\)

c) Nối EM, EN.

\({S_{AME}} = \frac{1}{4}{S_{ABE}}\) vì chung chiều cao hạ từ E xuống AB và đáy \(AM = \frac{1}{4}AB\)

\({S_{ANE}} = \frac{1}{4}{S_{ACE}}\) vì chung chiều cao hạ từ E xuống AC và đáy \(AN = \frac{1}{4}AC\)

Vậy: \({S_{AME}} + {S_{ANE}} = \frac{1}{4}{S_{ABE}} + \frac{1}{4}{S_{ACE}} = \frac{1}{4}{S_{ABC}}\)

Hay \({S_{AMEN}} = \frac{1}{4}{S_{ABC}}\) (1)

Theo câu (b) ta có \({S_{AMN}} = \frac{1}{{16}}{S_{ABC}}\) (2)

Từ (1) và (2) su ra: \({S_{MEN}} = {S_{AMEN}} - {S_{AMN}} = \frac{3}{{16}}{S_{ABC}} \Rightarrow {S_{MEN}} = 3{S_{AMN}}\)

Hai tam giác MEN và AMN lại chung đáy MN nên chiều cao ED gấp 3 chiều cao AH \( \Rightarrow {S_{EMK}} = 3{S_{AMK}}\) (vì chung đáy MK)

Tam giác EMK và tam giác AMK lại có chung chiều cao hạ từ M xuống AE nên \(KE = 3AK\) hay \(\frac{{KE}}{{AK}} = 3\)

a). Do \(AD = \frac{1}{3}AC\) nên \({S_{ABD}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\).

Vì 2 tam giác này có chung đường cao kẻ từ B

b). Tương tự ta có \({S_{AED}} = \frac{1}{3}{S_{AEC}}\)

Nên \({S_{AEC}} = 8 \times 3 = 24{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

Mà \(AE = \frac{2}{3}AB\) và 2 tam giác AEC và EBC có chung đường cao kẻ từ C.

Nên \({S_{AEC}} = \frac{2}{3}{S_{ABC}}\)

Diện tích tam giác ABC: \(24:2 \times 3 = 36{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

c). \({S_{EBD}} = \frac{1}{3}{S_{ABD}} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times {S_{ABC}} = 4{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

\({S_{EBC}} = 12{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\) ………………….. (\(\frac{1}{3}\)của \({S_{ABC}}\))

\({S_{DEC}} = \frac{2}{3} \cdot 24 = 16{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\) …………….. (\(\frac{2}{3}\) của \({S_{AEC}}\))

Hai tam giác BCE và DCE có chung cạnh đáy CE nên 2 đường cao tỉ lệ với diện tích.

Tỉ số: \(\frac{{BH}}{{DK}} = \frac{{12}}{{16}} = \frac{3}{4}\)

Tương tự ta có: \(\frac{{{S_{EBG}}}}{{{S_{DEG}}}} = \frac{3}{4}\)

Suy ra \({S_{DEG}} = 4:(4 + 3) \times 4 = \frac{{16}}{7}{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

\({S_{DCG}} = {S_{DEC}} - {S_{DEG}} = 16 - \frac{{16}}{7} = \frac{{96}}{7}{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

Tỉ số của EG và CG là tỉ số của \({S_{DEG}}\) và \({S_{DCG}}\): \(\frac{{\frac{{16}}{7}}}{{\frac{{96}}{7}}} = \frac{{16}}{{96}} = \frac{1}{6}\)