Trắc nghiệm Tính chất cơ bản của phân thức đại số lớp 8 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\frac{{{x^2} - 25}}{{{x^3} - 125}} = \frac{{{x^2} - {5^2}}}{{{x^3} - {5^3}}} = \frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {{x^2} + 5x + 25} \right)}} = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 5x + 25}}.\)

Vậy phân thức \(\frac{{{x^2} - 25}}{{{x^3} - 125}}\) bằng phân thức \(\frac{{x + 5}}{{{x^2} + 5x + 25}}.\)

a) Đúng.

\(P\) xác định khi \({\left( {x + 3} \right)^2} \ne 0\) hay \(x + 3 \ne 0\) suy ra \(x \ne - 3.\) Vậy \(x \ne - 3\) thì phân thức \(P\) có nghĩa.

b) Đúng.

Ta có: \(P = \frac{{{x^3} - 9x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{x\left( {{x^2} - 9} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{x + 3}}.\) Vậy \(P = \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{x + 3}}.\)

c) Sai.

Với \(x = - 2\) (thỏa mãn) ta có: \(P = \frac{{\left( { - 2} \right)\left( { - 2 - 3} \right)}}{{\left( { - 2} \right) + 3}} = \frac{{10}}{1} = 10.\) Vậy với \(x = - 2\) thì \(P = 10.\)

d) Sai.

Với \(P = - 3\) ta có: \(\frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{x + 3}} = - 3\)

\(x\left( {x - 3} \right) = \left( { - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\)

\({x^2} - 3x = - 3x - 9\)

\({x^2} = - 9\) (vô lí).

Vậy không có giá trị nào của \(x\) để \(P = - 3.\)

a) Sai.

Ta có: \(\frac{{x + y}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{{x + y}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} = \frac{1}{{x - y}}.\) Vậy \(P = \frac{1}{{x - y}}.\)

b) Sai.

Ta có: \(\frac{{{x^2} - 2xy + 4{y^2}}}{{{x^3} + 8{y^3}}} = \frac{{x - 2xy + 4{y^2}}}{{\left( {x + 2y} \right)\left( {x - 2xy + 4{y^2}} \right)}} = \frac{1}{{x + 2y}}.\) Do đó, \(Q = \frac{1}{{x + 2y}}.\)

Vậy \(Q\) có tử thức bằng \(1.\)

c) Đúng.

Theo a) và b) ta có: \(P = \frac{1}{{x - y}};\;\,Q = \frac{1}{{x + 2y}}.\) Do đó, mẫu thức chung của \(P\) và \[Q\] là \(\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right).\)

d) Đúng.

Ta có: \(P = \frac{1}{{x - y}} = \frac{{x + 2y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right)}};\;\,Q = \frac{1}{{x + 2y}} = \frac{{x - y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}.\)

Vậy quy đồng mẫu thức của \(P\) và \[Q\] ta được \(P = \frac{{x + 2y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\) và \(Q = \frac{{x - y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}.\)

a) Đúng.

Ta có: \(\frac{5}{{3 - x}} = \frac{{5 \cdot \left( { - 1} \right)}}{{\left( { - 1} \right)\left( {3 - x} \right)}} = \frac{{ - 5}}{{x - 3}}.\) Vậy phân thức \(\frac{5}{{3 - x}}\) bằng phân thức \(\frac{{ - 5}}{{x - 3}}.\)

b) Sai.

Vì \({x^2} - 9 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\) nên \(\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 9}} = \frac{{x + 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\)

c) Đúng.

Ta có: \(\frac{1}{{ - x - 3}} = \frac{{ - 1}}{{x + 3}}.\)

Mẫu thức chung của ba phân thức \(\frac{1}{{ - x - 3}};\;\,\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 9}}\) và \(\frac{5}{{3 - x}}\) là \(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right).\)

d) Sai.

Ta có: \(\frac{{ - 1}}{{x + 3}} = \frac{{3 - x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}};\;\,\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 9}} = \frac{{x + 1}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}};\;\,\frac{{ - 5}}{{x - 3}} = \frac{{ - 5\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{ - 5x - 15}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}.\)

Vậy quy đồng mẫu ba phân thức \(\frac{1}{{ - x - 3}};\;\,\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 9}}\) và \(\frac{5}{{3 - x}}\) ta được lần lượt các phân thức là:

\(\frac{{3 - x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}};\;\,\frac{{x + 1}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}};\;\,\frac{{ - 5x - 15}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}.\)

a) Sai.

\(Q\) xác định khi \({x^2} - {y^2} \ne 0.\)

b) Đúng.

Ta có: \(Q = \frac{{10{x^2} - 20xy + 10{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{{10\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{10{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{10\left( {x - y} \right)}}{{x + y}}.\)

Vậy rút gọn biểu thức \(Q\) ta được \(Q = \frac{{10\left( {x - y} \right)}}{{x + y}}.\)

c) Sai.

Vì \(x = 1;\;\,y = - 1\) không thỏa mãn điều kiện \({x^2} - {y^2} \ne 0\) nên không tồn tại giá trị \(Q\) khi \(x = 1;\;\,y = - 1.\)

d) Sai.

Với \(x = 2y\) (thỏa mãn điều kiện) ta có: \(Q = \frac{{10\left( {2y - y} \right)}}{{2y + y}} = \frac{{10y}}{{3y}} = \frac{{10}}{3}.\)

Vậy với \(x = 2y\) thì giá trị của phân thức \(Q\) bằng \(\frac{{10}}{3}.\)

a) Sai.

Phân thức \(P\) xác định khi \({x^2} - 5x + 6 \ne 0,\) suy ra \(\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) \ne 0,\) suy ra \(x - 2 \ne 0\) và \(x - 3 \ne 0.\)

Do đó, \(x \ne 2\) và \(x \ne 3.\) Vậy với \(x \ne 2\) và \(x \ne 3\) thì phân thức \(P\) xác định.

b) Sai.

Ta có: \(P = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 5x + 6}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}.\) Vậy rút gọn phân thức \(P\) ta được \(P = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}.\)

c) Đúng.

Với \(P = 2\) thì \(\frac{{x + 2}}{{x - 3}} = 2,\) suy ra \(x + 2 = 2\left( {x - 3} \right),\) suy ra \(x + 2 = 2x - 6.\) Do đó, \(x = - 8\) (thỏa mãn).

Vậy có một giá trị của \(x\) để \(P = 2.\)

d) Đúng.

Với \(x > 3\) thì \(x - 3 > 0,\;\,x + 2 > 0\) nên \(\frac{{x + 2}}{{x - 3}} > 0\) với \(x > 3.\)

Vậy với \(x > 3\) thì giá trị của \(P\) là số dương.

Đáp án: \( - 1\)

Ta có: \(\frac{{{{\left( {x - a} \right)}^2} - {x^2}}}{{ - {a^2} + 2ax}} = \frac{{{x^2} - 2ax + {a^2} - {x^2}}}{{ - {a^2} + 2ax}} = \frac{{{a^2} - 2ax}}{{ - \left( {{a^2} - 2ax} \right)}} = - 1.\)

Vậy giá trị của phân thức \(\frac{{{{\left( {x - a} \right)}^2} - {x^2}}}{{ - {a^2} + 2ax}}\) bằng \( - 1.\)

Đáp án: \(5\)

Ta có: \(\frac{{ - a{x^2} - ax}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{ - ax\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - ax}}{{x - 1}}.\)

Do đó, để hai phân thức \(\frac{{ - a{x^2} - ax}}{{{x^2} - 1}}\) và \(\frac{{ - 5x}}{{x - 1}}\) bằng nhau thì \(\frac{{ - ax}}{{x - 1}} = \frac{{ - 5x}}{{x - 1}},\) suy ra \(a = 5.\)

Vậy \(a = 5\) thì hai phân thức \(\frac{{ - a{x^2} - ax}}{{{x^2} - 1}}\) và \(\frac{{ - 5x}}{{x - 1}}\) bằng nhau.

Đáp án: \(15,3\)

Nếu muốn loại bỏ 90% chất gây ô nhiễm từ khí thải nhà máy thì cần chi phí là:

\(\frac{{1,7.90}}{{100 - 90}} = 15,3\) (tỉ đồng)

Đáp án: \(0\)

Điều kiện xác định: \({x^4} + 8{x^2}{y^2} + 16{y^4} \ne 0.\)

Ta có: \(P = \frac{{{x^4} - 16{y^4}}}{{{x^4} + 8{x^2}{y^2} + 16{y^4}}} = \frac{{\left( {{x^2} - 4{y^2}} \right)\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 4{y^2}} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4{y^2}}}{{{x^2} + 4{y^2}}}.\)

Với \(x = 16;\;\,y = 8\) (thỏa mãn) ta có: \(P = \frac{{{{16}^2} - 4 \cdot {8^2}}}{{{{16}^2} + 4 \cdot {8^2}}} = 0.\)

Vậy với \(x = 16;\;\,y = 8\) thì \(P = 0.\)

Đáp án: \(7\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 0\) và \(x \ne 1.\)

Ta có: \(\frac{{6x - 6}}{{{x^2} - x}} = \frac{{6\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{6}{x}.\)

Để phân thức \(\frac{6}{x}\) có giá trị là số nguyên thì \(x \in \)Ư\(\left( 6 \right) = \left\{ {1;\;\, - 1;\;\,2;\;\, - 2;\;\,3;\;\, - 3;\;\,6;\;\, - 6} \right\}.\)

Kết hợp với điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne 1\) ta có: \(x \in \left\{ { - 1;\;\,2;\;\, - 2;\;\,3;\;\, - 3;\;\,6;\;\, - 6} \right\}.\)

Vậy có 7 giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\frac{{6x - 6}}{{{x^2} - x}}\) có giá trị là số nguyên.