Giải SBT Toán 8 KNTT Tính chất cơ bản của phân thức đại số có đáp án

Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{{{x^4} - 1}}{{x - 1}}\) là x – 1 ≠ 0 hay x ≠ 1.

Với điều kiện trên, ta có:

\(\frac{{{x^4} - 1}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right):\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right):\left( {x - 1} \right)}}\)

\( = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = {x^3} + {x^2} + x + 1\).

Với x ≠ 0, y ≠ 0. Ta có:

\(\frac{{24{x^2}{y^2}}}{{3x{y^5}}} = \frac{{24{x^2}{y^2}:3x{y^2}}}{{3x{y^5}:3x{y^2}}} = \frac{{8x}}{{{y^3}}}\).

Áp dụng quy tắc đổi dấu: \(\frac{{8x}}{{{y^3}}} = \frac{{ - 8x}}{{ - {y^3}}}\).

Do đó, \(\frac{{24{x^2}{y^2}}}{{3x{y^5}}} = \frac{{ - 8x}}{{ - {y^3}}} = \frac{B}{{ - {y^3}}}\).

Vậy B = –8x.

Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{{x - {x^2}}}{{5{x^2} - 5}}\) là: 5x² – 5 ≠ 0 hay 5(x² – 1) ≠ 0, điều đó có nghĩa là 5(x – 1)(x + 1) ≠ 0 hay x ≠ 1 và x ≠ –1.

Với điều kiện trên, ta có:

\(\frac{{x - {x^2}}}{{5{x^2} - 5}} = \frac{{x\left( {1 - x} \right)}}{{5\left( {{x^2} - 1} \right)}} = \frac{{x\left( {1 - x} \right)}}{{5\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x\left( {1 - x} \right)}}{{ - 5\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x\left( {1 - x} \right):\left( {1 - x} \right)}}{{ - 5\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right):\left( {1 - x} \right)}} = \frac{x}{{ - 5\left( {x + 1} \right)}} = \frac{x}{{ - 5x - 5}}\)

Do đó, ta có: \(\frac{{x - {x^2}}}{{5{x^2} - 5}} = \frac{x}{{ - 5x - 5}} = \frac{x}{A}\).

Vậy A = –5x – 5.

Ta có:

\(\frac{{2x + 2xy + y + {y^2}}}{{{y^3} + 3{y^2} + 3y + 1}} = \frac{{\left( {2x + 2xy} \right) + \left( {y + {y^2}} \right)}}{{\left( {{y^3} + 1} \right) + \left( {3{y^2} + 3y} \right)}}\)

\( = \frac{{2x\left( {1 + y} \right) + y\left( {1 + y} \right)}}{{\left( {y + 1} \right)\left( {{y^2} - y + 1} \right) + 3y\left( {y + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {y + 1} \right)\left( {2x + y} \right)}}{{\left( {y + 1} \right)\left( {{y^2} - y + 1 + 3y} \right)}} = \frac{{\left( {y + 1} \right)\left( {2x + y} \right)}}{{\left( {y + 1} \right)\left( {{y^2} + 2y + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2x + y}}{{{y^2} + 2y + 1}} = \frac{{2x + y}}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\).

Ta có:

\(P = \frac{{\left( {2{x^2} + 2x} \right){{\left( {2 - x} \right)}^2}}}{{\left( {{x^3} - 4x} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2x\left( {x + 1} \right){{\left( {2 - x} \right)}^2}}}{{x\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2x\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}} = \frac{{2x - 4}}{{x + 2}}\).

Thay x = 0,5 vào P ta có: \(P = \frac{{2.0,5 - 4}}{{0,5 + 2}} = - 1,2\).

Ta có:

\(Q = \frac{{{x^3} - {x^2}y + x{y^2}}}{{{x^3} + {y^3}}} = \frac{{x\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)}} = \frac{x}{{x + y}}\).

Thay x = –5 và y = 10 vào Q ta có: \(Q = \frac{x}{{x + y}} = \frac{{ - 5}}{{ - 5 + 10}} = - 1\).

Mẫu thức chung là: 42x²y⁵

Ta có: 42x²y⁵ : 14x²y = 3y⁴ ; 42x²y⁵ : 21xy⁵ = 2x

Quy đồng mẫu thức ta có:

\(\frac{{25}}{{14{x^2}y}} = \frac{{25.3{y^4}}}{{14{x^2}y.3{y^4}}} = \frac{{75{y^4}}}{{42{x^2}{y^5}}}\)

\(\frac{{14}}{{21x{y^5}}} = \frac{{14.2x}}{{21x{y^5}.2x}} = \frac{{28x}}{{42{x^2}{y^5}}}\).

Ta có \(\frac{{4x - 4}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {2x - 2} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2x - 2}}{{x\left( {x + 3} \right)}}\).

Mẫu thức chung: 3x(x + 3)(x + 1).

Ta có:

3x(x + 3)(x + 1) : x(x + 3) = 3(x + 1)

3x(x + 3)(x + 1) : 3x(x + 1) = (x + 3)

Quy đồng mẫu thức ta có:

\(\frac{{2x - 2}}{{x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{\left( {2x - 2} \right).3\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right).3\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3\left( {2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{3x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{6\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{3x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{6\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{3x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}\);

\[\frac{{x - 3}}{{3x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {x - 3} \right).\left( {x + 3} \right)}}{{3x\left( {x + 1} \right).\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{3x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} - 9}}{{3x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}\].

Ta có:

\(\frac{1}{{{x^2} - x}} = \frac{1}{{x\left( {x - 1} \right)}}\)

\(\frac{x}{{1 - {x^3}}} = \frac{x}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}} = \frac{{ - x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}\)

\(\frac{{ - 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)

Mẫu thức chung: x(x – 1)(1 + x + x²)

Quy đồng mẫu thức ta có:

\(\frac{1}{{{x^2} - x}} = \frac{1}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\);

\(\frac{x}{{1 - {x^3}}} = \frac{x}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}} = \frac{{ - x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}} = \frac{{ - {x^2}}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}\);

\(\frac{{ - 1}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{ - x\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\).

Mẫu thức chung: x²y²z²

Quy đồng mẫu thức ta có:

\(\frac{1}{{{x^2}y}} = \frac{{y{z^2}}}{{{x^2}y.y{z^2}}} = \frac{{y{z^2}}}{{{x^2}{y^2}{z^2}}}\)

\(\frac{1}{{{y^2}z}} = \frac{{{x^2}z}}{{{y^2}z.{x^2}z}} = \frac{{{x^2}z}}{{{x^2}{y^2}{z^2}}}\)

\(\frac{1}{{{z^2}x}} = \frac{{x{y^2}}}{{{z^2}x.x{y^2}}} = \frac{{x{y^2}}}{{{x^2}{y^2}{z^2}}}\).

Mẫu thức chung: (1 – x)(x + 1)(x² + 1) = (1 – x²)(x² + 1) = 1 – x⁴.

Quy đồng mẫu thức ta có:

\(\frac{1}{{1 - x}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{1 - {x^4}}}\);

\(\frac{1}{{x + 1}} = \frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{1 - {x^4}}}\);

\(\frac{1}{{{x^2} + 1}} = \frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{1 - {x^4}}} = \frac{{1 - {x^2}}}{{1 - {x^4}}}\).

Ta có: \(\frac{x}{{{y^2} - {z^2}}} = \frac{x}{{\left( {y - z} \right)\left( {y + z} \right)}}\) (1)

Vì x + y + z = 0 nên ta có x = – y – z.

Thay vào (1) ta có:

\(\frac{x}{{{y^2} - {z^2}}} = \frac{{ - y - z}}{{\left( {y - z} \right)\left( {y + z} \right)}} = \frac{{ - \left( {y + z} \right)}}{{\left( {y - z} \right)\left( {y + z} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{y - z}} = \frac{1}{{z - y}}\).