10 Bài tập Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức (có lời giải)
10 câu hỏi
Mẫu thức chung của hai phân thức \(\frac{1}{{{x^2} - xy}}\) và \(\frac{1}{{{x^2}}}\) là
x2(x – y);
x2(x2 – xy);
x2 – xy;
x2(x + y).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: (x2 – xy). x2 = x2 (x2 – xy).
Mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{1}{{4x - 12}}\); \(\frac{1}{{4x + 12}}\); \(\frac{4}{{9 - {x^2}}}\) là
4(x + 3)2 ;
\(\frac{4}{{2\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\);
\((x + 3)(x - 3)\);
4(x – 3)2 .
Đáp án đúng là: B
Các phân thức trên có mẫu lần lượt là:
4x – 12 = 4(x – 3); 4x + 12 = 4(x + 3); 9 – x2 = – (x – 3)(x + 3).
Nên mẫu thức chung có phần hệ số là 4 và phần biến số là (x – 3)(x + 3).
Hay mẫu thức chung là 4(x – 3)(x + 3).
Đa thức 12(x – 1)(x – 2)2 là mẫu chung của các đa thức nào sau đây?
\(\frac{1}{{3\left( {x - 1} \right)}}\); \(\frac{x}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\); \(\frac{5}{{4\left( {x - 2} \right)}}\);
\(\frac{x}{{x - 1}}\); \(\frac{5}{{6{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}\);
\(\frac{1}{{{x^2} - 4}}\); \(\frac{7}{{12\left( {x - 1} \right)}}\);
\(\frac{1}{{x - 2}}\); \(\frac{5}{{3{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\); \(\frac{x}{{5\left( {x - 1} \right)}}\).
Đáp án đúng là: A
+) Mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{1}{{3\left( {x - 1} \right)}}\); \(\frac{x}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\); \(\frac{5}{{4\left( {x - 2} \right)}}\) là 12(x – 1)(x – 2)2. Do đó A đúng.
+) Mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{x}{{x - 1}}\); \(\frac{5}{{6{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}\) là 6(x – 1)(x – 2)3, do đó B sai.
+) Ta có x2 – 4 = (x – 2)(x + 2)
Suy ra, mẫu chung của các phân thức \(\frac{1}{{{x^2} - 4}}\); \(\frac{7}{{12\left( {x - 1} \right)}}\) là 12(x2 – 4)(x – 1), do đó C sai.
+) Mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{1}{{x - 2}}\); \(\frac{5}{{3{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\); \(\frac{x}{{5\left( {x - 1} \right)}}\) là 15(x – 2)3(x – 1), do đó D sai.
Để có các phân thức có cùng mẫu, ta cần điền vào chỗ trống \(\frac{{x - 1}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{...}}\); \(\frac{{3x}}{{x + 1}} = \frac{{...}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}}\) ra sao?
x2(x + 1); 3x3;
x(x + 1); 3x2;
x(x – 1); 3x2;
x + 1; 3x3.
Đáp án đúng là: A
Mẫu thức chung của hai phân thức là x2(x + 1).
Nên nhân tử phụ của phân thức \[\frac{{x - 1}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}}\] là 1.
Hay \(\frac{{x - 1}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}}\).
Nhân tử phụ của phân thức \(\frac{{3x}}{{x + 1}}\) là x2 nên ta có: \(\frac{{3x}}{{x + 1}} = \frac{{3x.{x^2}}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3{x^3}}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}}\).
Khi quy đồng mẫu thức hai phân thức \(\frac{x}{{2x - 6}}\) và \(\frac{4}{{{x^2} - 9}}\) ta được kết quả là
\(\frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{2\left( {{x^2} - 9} \right)}}\)và\(\frac{8}{{\left( {{x^2} - 9} \right).2}}\);
\(\frac{x}{{2\left( {{x^2} - 9} \right)}}\)và\[\frac{4}{{\left( {{x^2} - 9} \right)\,.\,2}}\];
\(\frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{2x - 6}}\)và\(\frac{8}{{{x^2} - 9}}\);
\(\frac{{2x}}{{2\left( {{x^2} - 9} \right)}}\) và \(\frac{{4\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {{x^2} - 9} \right)}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\frac{x}{{2x - 6}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{2\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{2\left( {{x^2} - 9} \right)}}\)
\(\frac{4}{{{x^2} - 9}} = \frac{{4.2}}{{\left( {{x^2} - 9} \right).2}} = \frac{8}{{\left( {{x^2} - 9} \right).2}}\).
Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức\(\frac{{5x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\), \(\frac{7}{{3\left( {x + 3} \right)}}\)?
(x + 3)3 ;
3(x + 3)3 ;
3(x + 3)2 ;
(x + 3)4 .
Đáp án đúng là: B
Mẫu thức của hai phân thức \(\frac{{5x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\), \(\frac{7}{{3\left( {x + 3} \right)}}\) lần lượt là (x + 3)3 và 3(x + 3).
Nên mẫu thức chung có phần hệ số là 3, phần biến số là (x + 3)3.
Do đó, mẫu thức chung là 3(x + 3)3 .
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: \(\frac{{x - y}}{{2{x^2} - 4xy + 2{y^2}}}\); \(\frac{{x + y}}{{2{x^2} + 4xy + 2{y^2}}}\); \(\frac{{{x^2} - xy + {y^2}}}{{\left( {{x^3} + {y^3}} \right)\left( {{y^2} - {x^2}} \right)}}\) ta được các phân thức lần lượt là
\(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\); \(\frac{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\); \(\frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\);
\(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\); \(\frac{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\); \(\frac{{ - 1}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\);
\(\frac{{2{x^2} - 2{y^2}}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\); \(\frac{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\); \(\frac{2}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\);
\[\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\]; \(\frac{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\); \(\frac{{ - 2}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\frac{{x - y}}{{2{x^2} - 4xy + 2{y^2}}} = \frac{{x - y}}{{2\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)}} = \frac{{x - y}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}}}\) = \(\frac{1}{{2\left( {x - y} \right)}}\);
\(\frac{{x + y}}{{2{x^2} + 4xy + 2{y^2}}}\)= \(\frac{{x + y}}{{2\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)}}\) = \(\frac{{x + y}}{{2{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\) = \(\frac{1}{{2\left( {x + y} \right)}}\);
\(\frac{{{x^2} - xy + {y^2}}}{{\left( {{x^3} + {y^3}} \right)\left( {{y^2} - {x^2}} \right)}}\)= \(\frac{{{x^2} - xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\left[ { - \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)} \right]}}\) = \(\frac{1}{{ - {{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\)
Ta quy đồng các phân số vừa rút gọn được là \(\frac{1}{{2\left( {x - y} \right)}}\); \(\frac{1}{{2\left( {x + y} \right)}}\); \(\frac{1}{{ - {{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\) với mẫu thức chung là 2(x – y)2(x + y) ta được:
\(\frac{1}{{2\left( {x - y} \right)}}\)= \[\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}}{{2\left( {x - y} \right)\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\] = \(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\);
\(\frac{1}{{2\left( {x + y} \right)}}\) = \(\frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\) = \[\frac{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\];
\(\frac{1}{{ - {{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\)= \(\frac{{ - 2}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\).
Vậy các phân thức sau khi rút gọn và quy đồng lần lượt là \(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\); \[\frac{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\]; \(\frac{{ - 2}}{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\).
Cho các phân thức \(\frac{{11x}}{{3x - 3}}\), \(\frac{5}{{4 - 4x}}\), \(\frac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\).
Bạn Nam nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là 6(x – 1)\({(x + 1)^2}\).
Bạn Minh nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là 4(x – 1)(x + 1).
Chọn câu đúng?
Bạn Nam đúng, bạn Minh sai;
Bạn Nam sai, bạn Minh đúng;
Hai bạn đều sai;
Hai bạn đều đúng.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\frac{{11x}}{{3x - 3}}\) = \(\frac{{11x}}{{3\left( {x - 1} \right)}}\); \(\frac{5}{{4 - 4x}}\) = \(\frac{{ - 5}}{{4\left( {x - 1} \right)}}\); \(\frac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\) = \(\frac{{2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\).
Ta có BCNN(3;4) = 12 nên mẫu chung của các phân thức trên là
12(x – 1)(x + 1) = 12(x2 – 1).
Vậy nên cả hai bạn đều sai.
Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{x}{{3{{\left( {x - y} \right)}^2}}}\); \(\frac{y}{{x - y}}\)?
(x – y)2 ;
(x – y);
3(x – y)2 ;
3(x – y)3 .
Đáp án đúng là: C
Mẫu thức của hai phân thức \(\frac{x}{{3{{\left( {x - y} \right)}^2}}}\); \(\frac{y}{{x - y}}\) là 3(x – y)2 và (x – y).
Nên mẫu thức chung có phần hệ số là 3, phần biến số là (x – y)2 .
Do đó, mẫu thức chung 3\({(x - y)^2}\).
Cho ba phân thức\(\frac{3}{{5{x^2}yz}}\); \(\frac{5}{{4{y^2}z}}\); \(\frac{6}{{x{z^2}}}\). Chọn khẳng định đúng?
\(\frac{3}{{5{x^2}yz}} = \frac{{12yz}}{{20{x^2}{y^2}{z^2}}}\) ; \(\frac{5}{{4{y^2}z}}\)= \(\frac{{25{x^2}z}}{{20{x^2}{y^2}{z^2}}}\); \(\frac{6}{{x{z^2}}}\) = \(\frac{{120x{y^2}}}{{20{x^2}{y^2}{z^2}}}\);
\(\frac{3}{{5{x^2}yz}}\) = \(\frac{{12yz}}{{20{x^2}{y^2}{z^2}}}\); \(\frac{5}{{4{y^2}z}}\)= \(\frac{{25{x^2}z}}{{20{x^2}{y^2}{z^2}}}\); \(\frac{6}{{x{z^2}}}\) = \(\frac{{x{y^2}}}{{20{x^2}{y^2}{z^2}}}\);
\(\frac{3}{{5{x^2}yz}}\) = \(\frac{{3yz}}{{{x^2}{y^2}{z^2}}}\); \(\frac{5}{{4{y^2}z}}\)= \(\frac{{5{x^2}z}}{{{x^2}{y^2}{z^2}}}\); \(\frac{6}{{x{z^2}}}\) = \(\frac{{x{y^2}}}{{{x^2}{y^2}{z^2}}}\);
\(\frac{3}{{5{x^2}yz}}\) = \(\frac{{3yz}}{{20{x^2}{y^2}{z^2}}}\); \(\frac{5}{{4{y^2}z}}\)= \(\frac{{20{x^2}z}}{{20{x^2}{y^2}{z^2}}}\); \(\frac{6}{{x{z^2}}}\) = \(\frac{{120x{y^2}}}{{20{x^2}{y^2}{z^2}}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: BCNN (5, 4) = 20.
Khi đó, mẫu chung các phân thức \(\frac{3}{{5{x^2}yz}}\); \(\frac{5}{{4{y^2}z}}\); \(\frac{6}{{x{z^2}}}\) là 20x2y2z2.
Nhân tử phụ của 3 phân thức lần lượt là 4yz; 5x2z; 20xy2.
Nên suy ra:
• \(\frac{3}{{5{x^2}yz}}\) = \(\frac{{3.4yz}}{{5{x^2}yz.4yz}}\) = \(\frac{{12yz}}{{20{x^2}{y^2}{z^2}}}\);
• \(\frac{5}{{4{y^2}z}}\) = \(\frac{{5.5{x^2}z}}{{4{y^2}z.5{x^2}z}}\) = \(\frac{{25{x^2}z}}{{20{x^2}{y^2}{z^2}}}\);
• \(\frac{6}{{x{z^2}}}\) = \(\frac{{6.20x{y^2}}}{{20x{y^2}.x{z^2}}}\)= \(\frac{{120x{y^2}}}{{20{x^2}{y^2}{z^2}}}\).
