Trắc nghiệm Bài tập mức độ trung bình Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Ta có:

$\left(\sqrt{21}-\sqrt{5}\right)-\left(\sqrt{20}-\sqrt{6}\right)$$=\left(\sqrt{21}-\sqrt{20}\right)+\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)$

Vì $\sqrt{21}>\sqrt{20}$ và $\sqrt{6}>\sqrt{5}$ nên $\left(\sqrt{21}-\sqrt{20}\right)+\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)>0$.

Vậy $\sqrt{21}-\sqrt{5}>\sqrt{20}-\sqrt{6}$.

Vậy dấu cần điền là dấu >

Ta có:

$\begin{array}{l}\mathrm{A}=\sqrt{6-2\sqrt{5}}-\sqrt{5}\\ =\sqrt{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-2.\sqrt{5}.1+1^2}-\sqrt{5}\\ =\sqrt{{\left(\sqrt{5}-1\right)}^2}-\sqrt{5}\\ =\sqrt{5}-1-\sqrt{5}\left(\mathrm{do}\sqrt{5}>1\right)\\ =-1\end{array}$

Vậy A = −1.

Vậy cần điền vào chỗ chấm là −1

*Lưu ý: Với mọi số a, ta có $\sqrt{{\mathrm{a}}^2}=\left|\mathrm{a}\right|=\left[\begin{array}{l}\mathrm{a}\mathrm{khi}\mathrm{a}\ge 0\\ -\mathrm{a}\mathrm{khi}\mathrm{a}<0\end{array}\right.$

Ta có:

$\begin{array}{l}\mathrm{A}=\sqrt{9+4\sqrt{5}}-\sqrt{5}\\ =\sqrt{2^2+2.2.\sqrt{5}+{\left(\sqrt{5}\right)}^2}-\sqrt{5}\\ =\sqrt{{\left(2+\sqrt{5}\right)}^2}-\sqrt{5}\\ =\left|2+\sqrt{5}\right|-\sqrt{5}\\ =2+\sqrt{5}-\sqrt{5}\\ =2\end{array}$

Vậy A = 2

Vậy cần điền vào chỗ chấm là 2

*Lưu ý: Với mọi số a, ta có $\sqrt{{\mathrm{a}}^2}=\left|\mathrm{a}\right|=\left[\begin{array}{l}\mathrm{a}\mathrm{khi}\mathrm{a}\ge 0\\ -\mathrm{a}\mathrm{khi}\mathrm{a}<0\end{array}\right.$

Ta có:

$\begin{array}{l}\mathrm{A}=\sqrt{{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2}+\sqrt{2}\\ =\left|\sqrt{3}-\sqrt{2}\right|+\sqrt{2}\\ =\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}\left(\mathrm{do}\sqrt{3}-\sqrt{2}>0\right)\\ =\sqrt{3}\end{array}$

Vậy $\mathrm{A}=\sqrt{3}$

Vậy cần điền vào chỗ chấm là 3

Đáp án B

$\sqrt{10+2\sqrt{24}}$$=\sqrt{{\left(\sqrt{4}\right)}^2+2.\sqrt{4}.\sqrt{6}+{\left(\sqrt{6}\right)}^2}$$=\sqrt{{\left(\sqrt{4}+\sqrt{6}\right)}^2}$

$=2+\sqrt{6}\ne \sqrt{3}+\sqrt{8}$

Do đó khẳng định trên là Sai

Đáp án A

Ta có: $\sqrt{6+2\sqrt{5}}$$=\sqrt{{\left(\sqrt{5}\right)}^2+2.\sqrt{5}.1+1^2}$$=\sqrt{{\left(\sqrt{5}+1\right)}^2}=\sqrt{5}+1$

Do đó khẳng định trên là Đúng

*Nhận xét: Với bài toán này ta có thể giải bằng cách biến đổi vế phải.

Ta có: $\sqrt{5}+1=\sqrt{{\left(\sqrt{5}+1\right)}^2}$$=\sqrt{{\left(\sqrt{5}\right)}^2+2.\sqrt{5}.1+1^2}$$=\sqrt{6+2\sqrt{5}}$

Vậy $\sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{5}+1$

Ta có: $\sqrt{16{\mathrm{x}}^4}=64\iff 4{\mathrm{x}}^2=64$$\iff {\mathrm{x}}^2=16\iff \mathrm{x}=\pm 4$

Vậy $\mathrm{x}=\pm 4$.

Do đó các số cần điền là 4 và −4

Ta có:

$\sqrt{9{\mathrm{x}}^2}=\mathrm{x}+4$ (điều kiện: $\mathrm{x}\ge -4$)

$\begin{array}{l}\iff 3\left|\mathrm{x}\right|=\mathrm{x}+4\\ \iff \left[\begin{array}{l}3\mathrm{x}=\mathrm{x}+4\\ 3\mathrm{x}=-\mathrm{x}-4\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{x}=-1\end{array}\right.\left(\mathrm{TM}\right)\end{array}$

Vậy x = −1; x = 2

Do đó, các số cần điền vào chỗ chấm là −1 và 2

Đáp án C

Ta có: $\sqrt{x^2-12x+36}=\sqrt{{\left(x-6\right)}^2}$

$=\left|\mathrm{x}-6\right|=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-6 \mathrm{nếu}\mathrm{x}\ge 6\\ 6-\mathrm{x} \mathrm{nếu}\mathrm{x}<6\end{array}\right.$

Đáp án B

Ta có: $\sqrt{1+10\mathrm{x}+25{\mathrm{x}}^2}$

$=\sqrt{{\left(1+5\mathrm{x}\right)}^2}=\left|1+5\mathrm{x}\right|$

$=\left\{\begin{array}{l}1+5\mathrm{x}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} nế}\mathrm{u}\mathrm{x}\ge -\frac{1}{5}\\ -1-5\mathrm{x}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} nế}\mathrm{u}\mathrm{x}<-\frac{1}{5}\end{array}\right.$

Đáp án D

Hướng dẫn

Với mọi số a, ta có: $\sqrt{{\mathrm{a}}^2}=\left|\mathrm{a}\right|$

Lời giải

$\begin{array}{l}\sqrt{{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2}=3\iff \left|\mathrm{x}-1\right|=3\\ \iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}-1=3\\ \mathrm{x}-1=-3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=4\\ \mathrm{x}=-2\end{array}\right.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {4; −2}.

Đáp án A

Ta có:

$\sqrt{{\mathrm{a}}^8{\mathrm{b}}^3}$ có nghĩa $\iff {\mathrm{a}}^8{\mathrm{b}}^3\ge 0$

Mà ${\mathrm{a}}^8\ge 0,\forall \mathrm{a}$ nên ${\mathrm{a}}^8{\mathrm{b}}^3\ge 0\iff {\mathrm{b}}^3\ge 0\iff \mathrm{b}\ge 0$

Vì $\sqrt{2}-1>0$ nên ta có $\sqrt{2}-1=\sqrt{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2}$$=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-2.\sqrt{2}.1+1^2}$$=\sqrt{3-2\sqrt{2}}$

Vậy số cần điền là 3

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng ${(\mathrm{a} + \mathrm{b})}^2$

Bước 2: Vận dụng: Với mọi số a, ta có $\sqrt{{\mathrm{a}}^2}=\left|\mathrm{a}\right|$

Lời giải

Ta có: $\sqrt{8-2\sqrt{15}}$$=\sqrt{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-2.\sqrt{5}.\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}$$=\sqrt{{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}^2}$

$=\sqrt{5}-\sqrt{3}$ (vì $\sqrt{5}>\sqrt{3}$)

Vậy số cần điền là 3

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng ${(\mathrm{a} + \mathrm{b})}^2$

Bước 2: Vận dụng: Với mọi số a, ta có $\sqrt{{\mathrm{a}}^2}=\left|\mathrm{a}\right|$

Lời giải

Ta có: $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$

$=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+2.\sqrt{2}.\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}$$=\sqrt{{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2}=\left|\sqrt{2}+\sqrt{3}\right|$$=\sqrt{2}+\sqrt{3}$

Vậy số cần điền là 2

Đáp án B

Ta có: $\sqrt{4-{\mathrm{a}}^2}$ có nghĩa khi 4 - ${\mathrm{a}}^2$$\ge 0$

$\begin{array}{l}\iff {\mathrm{a}}^2\le 4\\ \iff \left|\mathrm{a}\right|\le 2\\ \iff -2\le \mathrm{a}\le 2\end{array}$

Đáp án C

$\sqrt{{\mathrm{a}}^2-1}$ có nghĩa khi ${\mathrm{a}}^2-1\ge 0$

$\begin{array}{l}\iff {\mathrm{a}}^2\ge 1\\ \iff \left|\mathrm{a}\right|\ge 1\end{array}$

$\iff \mathrm{a}\ge 1$ hoặc $\mathrm{a}\le -1$

Đáp án A

Ta có: $\sqrt{\frac{2}{{\mathrm{x}}^2}}$ có nghĩa khi $\mathrm{x}\ne 0$.

Ta có: $3.\sqrt{{\left(-1,5\right)}^2}-4.\sqrt{{\left(-0,5\right)}^2}$$=3.\left|-1,5\right|-4.\left|0,5\right|$$=4,5-2=2,5$

Vậy số cần điền là 2,5

Ta có: $4.\sqrt{{\left(-3\right)}^6}+5.\sqrt{{\left(-2\right)}^4}$$=4.\left|{\left(-3\right)}^3\right|+5.\left|{\left(-2\right)}^2\right|$$=4.27+5.4=128$

Vậy số cần điền là 128