(Trả lời ngắn) 22 bài tập Ứng dụng hình học của tích phân (có lời giải)

Vì mặt cắt là tam giác vuông có một góc $45°$ nên mặt cắt là tam giác vuông cân.

Do đó diện tích của mặt cắt là: \(S(x) = \frac{1}{2}{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)^2} = \frac{1}{2}\left( {4 - {x^2}} \right) = 2 - \frac{1}{2}{x^2}\)

Thể tích vật thể là: \(V = \int_{ - 2}^2 {\left( {2 - \frac{1}{2}{x^2}} \right)} dx = \left. {\left( {2x - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{{16}}{3}\)

Thể tích cần tính là: \(V = \pi \int_0^4 {(4 - x)} dx = \left. {\pi \left( {4x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^4 = 8\pi .\)

Ta có OABC là hình thang vuông, có đường cao OC nằm trên trục Ox .

Khi quay hình thang OABC quanh trục Ox ta được khối tròn xoay là khối nón cụt, có bán kính đáy bé \({r_1} = OA = 1\), bán kính đáy lớn \({r_2} = BC = 2\) và chiều cao \(h\) \( = OC = 2\).

Thể tích cần tính là: \(V = \frac{1}{3}\pi \left( {r_1^2 + {r_1}{r_2} + r_2^2} \right)h = \frac{1}{3}\pi \left( {{1^2} + 1 \cdot 2 + {2^2}} \right) \cdot 2 = \frac{{14\pi }}{3}\)

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ \(t = 0\) đến \(t = 5\) là:

\(s = \int_0^5 v (t)dt = \int_0^5 {(3t + 4)} dt = \left. {\left( {3\frac{{{t^2}}}{2} + 4t} \right)} \right|_0^5 = 57,5\;{\rm{m}}\)

Tốc độ của chất điểm tại thời điểm \(t\) kể từ khi bắt đầu tăng tốc là:

\(v(t) = \int a (t)dt = \int 3 dt = 3t + C{\rm{. }}\)

Vì \(v(0) = 1\) nên \(C = 1\).

Do đó \(v(t) = 3t + 1\).

Ta tính diện tích phần cổng hình parabol. Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ O trùng với chân bên trái cổng parabol như hình sau:

Parabol đi qua các điểm \((0;0),(2;4,8)\) và \((4;0)\) nên ta có:

Do đó, \(y = f(x) =  - 1,2{x^2} + 4,8x\).

Diện tích phần cổng hình parabol chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x) =  - 1,2{x^2} + 4,8x\), trục $O x$ và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\).

Ta có \({S_p} = \int_0^4 {\left( { - 1,2{x^2} + 4,8x} \right)} dx = \left. {\left( { - 0,4{x^3} + 2,4{x^2}} \right)} \right|_0^4 = 12,8\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích phần mặt ngoài của bức tường cần sơn là: \(S = 10 \cdot (2 + 4 + 2) - 12,8 = 67,2\left( {{m^2}} \right){\rm{. }}\)

Tổng chi phí để sơn lại toàn bộ mặt ngoài của bức tường đó là: \(67,2 \cdot 15000 = 1008000{\rm{ (d?ng)}}{\rm{. }}\)

Cửa có hình dạng một parabol \((P)\) với phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\).

Parabol \((P)\) có đỉnh \(I\left( {0;\frac{9}{4}} \right)\) nên \(c = \frac{9}{4}\), suy ra \((P):y = a{x^2} + bx + \frac{9}{4}\).

Vì parabol \((P)\) đi qua các điểm \(A\left( { - \frac{3}{2},0} \right),B\left( {\frac{3}{2};0} \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b =  - \frac{9}{4}}\\{\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b =  - \frac{9}{4}}\end{array}} \right.\), suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 1}\\{b = 0}\end{array}} \right.\)

Do đó \((P):y =  - {x^2} + \frac{9}{4}\).

Gọi \(S\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\) là diện tích kính cẩn lắp. Ta có \(S\) bằng diện tích hình phẳng \((H)\) giới hạn bởi parabol, trục hoành và các đường thẳng \(x =  - \frac{3}{2},x = \frac{3}{2}\).

\(S = \int_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right)} {\rm{d}}x = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} = \frac{9}{2}\left( {{m^2}} \right)\)

Vậy diện tích kính cản lắp là \(\frac{9}{2}{m^2}\).

Chọn trục Ox như hình vẽ, hai đáy của bình nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục $O x$ tại \(x = 0\) và \(x = h\).

Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(x(0 \le x \le 4)\) cắt bình theo mặt cắt là hình vuông và có diện tích là \(S(x) = 2 + \frac{{{x^2}}}{4}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Do đó dung tích của bình là \(V = \int_0^4 {\left( {2 + \frac{{{x^2}}}{4}} \right)} dx = \left. {\left( {2x + \frac{{{x^3}}}{{12}}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{40}}{3}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

\[V = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\sqrt x  + \frac{3}{2}} \right)}^2}dx}  = 33\pi {\rm{ }}\left( {d{m^3}} \right)\].

Thể tích thùng rượu vang đó là:

\({\rm{V}} = \pi \int_{ - 35}^{35} {{{\left( { - 0,011{{\rm{x}}^2} - 0,071{\rm{x}} + 40} \right)}^2}} {\rm{dx}}\)

\( = \pi \int_{ - 35}^{35} {\left( {0,000121{{\rm{x}}^4} + 0,005041{{\rm{x}}^2} + 1600 + 0,001562{{\rm{x}}^3} - 0,88{{\rm{x}}^2} - 5,68{\rm{x}}} \right)} {\rm{dx}}\)

\( = \pi \int_{ - 35}^{35} {\left( {0,000121{{\rm{x}}^4} + 0,001562{{\rm{x}}^3} - 0,874959{{\rm{x}}^2} - 5,68{\rm{x}} + 1600} \right)} {\rm{dx}}\)

\( = \left. {\pi \left( {0,0000242{{\rm{x}}^5} + 0,0003905{{\rm{x}}^4} - 0,291653{{\rm{x}}^3} - 2,84{{\rm{x}}^2} + 1600{\rm{x}}} \right)} \right|_{ - 35}^{35}\)

\( = \pi [41873,40106 - ( - 47659,41294)] \approx 281275,6307\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Diện tích của mặt cắt là: \(S(x) = \pi {(10 + \sqrt x )^2}\).

Dung tích của chậu là:

\(V = \int_0^{16} S (x)dx = \pi \int_0^{16} {{{(10 + \sqrt x )}^2}} dx = \pi \int_0^{16} {(100 + 20\sqrt x  + x)} dx = \left. {\pi \left( {100x + \frac{{40}}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{16} = \frac{{7744}}{3}\pi \)

Diện tích mặt cắt là: \(S(x) = \left( {9 - {x^2}} \right)\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Thể tích của lều là: \(V = \int_0^3 {\left( {9 - {x^2}} \right)} dx = \left. {\left( {9x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^3 = 18\).