56 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân có đáp án - Đề 2

Chọn A

Ta có: \[V = \pi \int\limits_0^\pi  {{{\left( {\sqrt {2 + \sin x} } \right)}^2}} {\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^\pi  {\left( {2 + \sin x} \right){\rm{d}}x} \]\( = \pi \left. {\left( {2x - \cos x} \right)} \right|_0^\pi  = 2\pi \left( {\pi  + 1} \right)\).

Chọn A

Vậy thể tích khối tròn xoay được tính \(V = \pi \int\limits_0^2 {4{x^2}dx - \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx} } \).

Câu 1.Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} + 3,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 2\). Gọi \(V\) là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục \(Ox\).

Chọn A

Thể tích của vật thể được tạo nên là \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}{\rm{d}}x} .\)

Chọn C

Công thức tính: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)

Chọn D

Ta có

\[V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}{\rm{d}}x}  = \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2}} \right){\rm{d}}x = \pi .\left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + \frac{{4{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \pi .\left( {\frac{1}{5} - 1 + \frac{4}{3}} \right) = \frac{{8\pi }}{{15}}} .\]

Chọn B

\(V = \pi \int\limits_1^2 {xdx} \) \( = \left. {\frac{{\pi {x^2}}}{2}} \right|_1^2 = \frac{{3\pi }}{2}\).

Chọn B

Theo công thức ta chọn \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx} \)

Chọn D

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là:

\[V = \pi \int\limits_4^9 {{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)}^2}{\rm{d}}x} \]\[ = \pi \int\limits_4^9 {\left( {x - 4\sqrt x  + 4} \right)} {\rm{d}}x\]\[ = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{8x\sqrt x }}{3} + 4x} \right)} \right|_4^9\]\[ = \pi \left( {\frac{{81}}{2} - 72 + 36} \right) - \pi \left( {\frac{{16}}{2} - \frac{{64}}{3} + 16} \right) = \frac{{11\pi }}{6}\].

Chọn B

Ta có: \(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}{\rm{d}}x} \).

Chọn D

Gọi phương trình parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\). Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I \in Oy\) (như hình vẽ).

Chọn D

Gọi phương trình parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\). Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I \in Oy\) (như hình vẽ).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{4} = c,\left( {I \in \left( P \right)} \right)\\\frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0\left( {A \in \left( P \right)} \right)\\\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b + c = 0\left( {B \in \left( P \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = \frac{9}{4}\\a =  - 1\\b = 0\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( P \right):y =  - {x^2} + \frac{9}{4}\).

Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là:

\(S = \int\limits_{\frac{{ - 3}}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right){\rm{d}}x} \)\( = 2\int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right){\rm{d}}x} \)\[ = \left. {2\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_0^{\frac{9}{4}}\]\( = \frac{9}{2}{{\rm{m}}^2}\).

Số tiền phải trả là: \(\frac{9}{2}.1500000 = 6750000\) đồng

Chọn A

Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho \(AB\) trùng \[Ox\], \(A\) trùng \[O\] khi đó parabol có đỉnh \[G\left( {2;4} \right)\] và đi qua gốc tọa độ.

Giả sử phương trình của parabol có dạng \[y = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\].

Vì parabol có đỉnh là \[G\left( {2\,;4} \right)\] và đi qua điểm \[O\left( {0\,;0} \right)\] nên ta có \[\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\ - \frac{b}{{2a}} = 2\\a{.2^2} + b.2 + c = 4\end{array} \right.\]\[

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 4\\c = 0\end{array} \right.\].

Suy ra phương trình parabol là \[y = f(x) =  - {x^2} + 4x\].

Diện tích của cả cổng là \[S = \int\limits_0^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right){\rm{d}}x = } \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{32}}{3}\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\].

Mặt khác chiều cao \[CF = DE = f\left( {0,9} \right) = 2,79({\rm{m}})\]; \[CD = 4 - 2.0,9 = 2,2\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].

Diện tích hai cánh cổng là \[{S_{CDEF}} = CD.CF = 6,138\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\].

Diện tích phần xiên hoa là \[{S_{xh}} = S - {S_{CDEF}} = \frac{{32}}{3} - 6,14 = \frac{{6793}}{{1500}}\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\].

Vậy tổng số tiền để làm cổng là \[6,138.1200000 + \frac{{6793}}{{1500}}\,.900000 = 11441400\] đồng.

Chọn C

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxy\] như hình vẽ.

Phương trình Parabol có dạng \[y = a.{x^2}\] \[\left( P \right)\].

\[\left( P \right)\] đi qua điểm có tọa độ \[\left( { - 6; - 18} \right)\] suy ra: \[ - 18 = a.{\left( { - 6} \right)^2} \Leftrightarrow a =  - \frac{1}{2}\] \[ \Rightarrow \left( P \right):y =  - \frac{1}{2}{x^2}\].

Từ hình vẽ ta có: \[\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\].

Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol và đường thẳng \[AB:y =  - \frac{1}{2}x_1^2\] là

\[{S_1} = 2\int\limits_0^{{x_1}} {\left[ { - \frac{1}{2}{x^2} - \left( { - \frac{1}{2}x_1^2} \right)} \right]{\rm{d}}x} \]\[\left. { = 2\left( { - \frac{1}{2}.\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{2}x_1^2x} \right)} \right|_0^{{x_1}} = \frac{2}{3}x_1^3\].

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng \[CD\] \[y =  - \frac{1}{2}x_2^2\] là

\[{S_2} = 2\int\limits_0^{{x_2}} {\left[ { - \frac{1}{2}{x^2} - \left( { - \frac{1}{2}x_2^2} \right)} \right]{\rm{d}}x} \]\[\left. { = 2\left( { - \frac{1}{2}.\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{2}x_2^2x} \right)} \right|_0^{{x_2}} = \frac{2}{3}x_2^3\]

Từ giả thiết suy ra \[{S_2} = 2{S_1} \Leftrightarrow x_2^3 = 2x_1^3\]\[ \Leftrightarrow \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\].

Vậy \[\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\].

Chọn B

Vì \(AB = 4dm;BC = 8dm.\)\( \Rightarrow A( - 2;4),\)\(B(2;4),C(2; - 4),D( - 2; - 4)\).

parabol là: \(y = {x^2}\) hoặc \(y =  - {x^2}\)

Diện tích phần tô đậm là \[{S_1} = 4\int\limits_0^2 {{x^2}dx = \frac{{32}}{3}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}(d{m^2})} \]

Diện tích hình chữ nhật là \[S = 4.8 = 32\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}({m^2})\]

Diện tích phần trắng là \[{S_2} = S - {S_1} = 32 - \frac{{32}}{3} = \frac{{64}}{3}\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array}(d{m^2})\]

Tổng chi phí trang chí là:T=(323.5000+643.2500)≈106666667đ

Đưa parabol vào hệ trục \[Oxy\] ta tìm được phương trình là: \[\left( P \right):y =  - \frac{{16}}{{25}}{x^2} + \frac{{16}}{5}x\].

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \[\left( P \right):y =  - \frac{{16}}{{25}}{x^2} + \frac{{16}}{5}x\], trục hoành và các đường thẳng \[x = 0\], \[x = 5\] là: \[S = \int\limits_0^5 {\left( { - \frac{{16}}{{25}}{x^2} + \frac{{16}}{5}x} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{40}}{3}\].

Tổng diện tích phần bị khoét đi: \[{S_1} = 4S = \frac{{160}}{3}\] \[{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\].

Diện tích của hình vuông là: \[{S_{hv}} = 100{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\].

diện tích bề mặt hoa văn là: \[{S_2} = {S_{hv}} - {S_1} = 100 - \frac{{160}}{3} = \frac{{140}}{3}{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\].

Vậy số tiền cần bỏ ra để trang trí hoa văn đó là: \[\frac{{140}}{3}.50000 \approx 2333333\] đồng

Chọn C

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ (1 đơn vị trên trục bằng \(10cm = 1dm\)), các cánh hoa tạo bởi các đường parabol có phương trình \(y = \frac{{{x^2}}}{2}\), \(y =  - \frac{{{x^2}}}{2}\),\(x =  - \frac{{{y^2}}}{2}\),\(x = \frac{{{y^2}}}{2}\).

Diện tích một cánh hoa (nằm trong góc phàn tư thứ nhất) bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số\(y = \frac{{{x^2}}}{2}\),\(y = \sqrt {2x} \) và hai đường thẳng \(x = 0;x = 2\).

Do đó diện tích một cánh hoa bằng

\(\int\limits_0^2 {\left( {\sqrt {2x}  - \frac{{{x^2}}}{2}} \right){\rm{d}}x} \) \[ = \left. {\left. {\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\sqrt {{{\left( {2x} \right)}^3}}  - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)} \right|} \right|_0^2\]\[ = \frac{4}{3}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right) = \frac{{400}}{3}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]\[ = \frac{4}{3}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right) = \frac{{400}}{3}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].

Chọn A

Diện tích tam giác vuông cân là: \(S(x) = \frac{1}{2}\sqrt {14 - 3{x^2}} .\sqrt {14 - 3{x^2}}  = \frac{1}{2}\left( {14 - 3{x^2}} \right)\)

\( \Rightarrow \) Thể tích vật thể là: \(V = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{1}{2}\left( {14 - 3{x^2}} \right)dx = 20} \)

Chọn D

Chọn hệ trục \[Oxy\] như hình vẽ.

Gọi \[\left( {{P_1}} \right):y = {a_1}{x^2} + {b_1}\] là Parabol đi qua hai điểm \[A\left( {\frac{{19}}{2};0} \right),B\left( {0;2} \right)\]

Nên ta có hệ phương trình sau: \[\left\{ \begin{array}{l}0 = a.{\left( {\frac{{19}}{2}} \right)^2} + 2\\2 = b\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} =  - \frac{8}{{361}}\\{b_1} = 2\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left( {{P_1}} \right):y =  - \frac{8}{{361}}{x^2} + 2\].

Gọi \[\left( {{P_2}} \right):y = {a_2}{x^2} + {b_2}\] là Parabol đi qua hai điểm \[C\left( {10;0} \right),D\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\]

Nên ta có hệ phương trình sau: \[\left\{ \begin{array}{l}0 = {a_2}.{\left( {10} \right)^2} + \frac{5}{2}\\\frac{5}{2} = {b_2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_2} =  - \frac{1}{{40}}\\{b_2} = \frac{5}{2}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left( {{P_2}} \right):y =  - \frac{1}{{40}}{x^2} + \frac{5}{2}\].

Ta có thể tích của bê tông là: \[V = 5.2\left[ {\int_0^{10} {\left( { - \frac{1}{{40}}{x^2} + \frac{5}{2}} \right)} {\rm{d}}x - \int_0^{\frac{{19}}{2}} {\left( { - \frac{8}{{361}}{x^2} + 2} \right)} {\rm{d}}x} \right] = 40\,{{\rm{m}}^3}\].

Số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu là: \[5.40 = 200\] triệu đồng

Chọn B

Giả sử nền trại là hình chữ nhật ABCD có AB = 3 mét, BC = 6 mét, đỉnh của parabol là I. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho: O là trung điểm của cạnh AB, A, B và I, phương trình của parabol có dạng \(y = a{x^2} + b,\;a \ne 0\). Do I, A, B thuộc nên ta có \(y =  - \frac{4}{3}{x^2} + 3\)

Vậy thể tích phần không gian phía trong trại là

\(V = 6.2\int\limits_0^{\frac{3}{2}} {( - \frac{4}{3}} {x^2} + 3)dx = 36\)

 

Chọn A

 

Khi cắt khối gỗ hình trụ ta được một hình nêm có thể tích \[{V_1}\] như hình vẽ.

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxy\] như hình vẽ.

Nửa đường tròn đường kính \[AB\] có phương trình là \[y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \],\[x \in \left[ { - R;R} \right]\].

Một mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm \[M\] có hoành độ \[x\], cắt hình nêm theo thiết diện là \[\Delta MNP\] vuông tại \[N\] và có \[\widehat {PMN} = {30^0}\].

Ta có \[NM = y = \sqrt {{R^2} - {x^2}}  \Rightarrow NP = MN.\tan {30^0} = \frac{{\sqrt {{R^2} - {x^2}} }}{{\sqrt 3 }}\].

\[\Delta MNP\] có diện tích \[S\left( x \right) = \frac{1}{2}NM.NP = \frac{1}{2}.\frac{{{R^2} - {x^2}}}{{\sqrt 3 }}\].

Thể tích hình nêm là \[{V_1} = \int\limits_{ - R}^R {S\left( x \right)} {\rm{d}}x = \frac{1}{2}\int\limits_{ - R}^R {\frac{{{R^2} - {x^2}}}{{\sqrt 3 }}} {\rm{d}}x\]\[ = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\left. {\left( {{R^2}x - \frac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - R}^R = \frac{{2\sqrt 3 {R^3}}}{9}\].

* Chú ý: Có thể ghi nhớ công thức tính thể tích hình nêm:

\[{V_1} = \frac{2}{3}{R^2}h = \frac{2}{3}{R^3}\tan \alpha \], trong đó \[R = \frac{{AB}}{2}\], \[\alpha  = \widehat {PMN}\].

Chọn A

Xét một thiết diện parabol có chiều cao là \[h\] và độ dài đáy \[2h\] và chọn hệ trục \[Oxy\] như hình vẽ trên.

Parabol \[\left( P \right)\] có phương trình \[\left( P \right):\,\,y = a{x^2} + h,\,\,\left( {a < 0} \right)\]

Có \[B\left( {h;\,0} \right) \in \left( P \right)\] \[ \Leftrightarrow 0 = a{h^2} + h\] \[ \Leftrightarrow a =  - \frac{1}{h}\,\,\left( {do\,h > 0} \right)\]

Diện tích \[S\] của thiết diện: \[S = \int\limits_{ - h}^h {\left( { - \frac{1}{h}{x^2} + h} \right)\,{\rm{dx}}}  = \frac{{4{h^2}}}{3}\], \(h = 3 - \frac{2}{5}x\)

\[ \Rightarrow S\left( x \right) = \frac{4}{3}{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2}\]

Suy ra thể tích không gian bên trong của đường hầm mô hình:

\( \Rightarrow V = \int\limits_0^5 {S\left( x \right){\rm{dx}}}  = \int\limits_0^5 {\frac{4}{3}{{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)}^2}{\rm{dx}}}  \approx 28,888\)

\[ \Rightarrow V \approx 29\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\]

Chọn B

Ta gọi thể tích của chiếc mũ là \(V\).

Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng \(OA = 10\) cm và đường cao \(OO' = 5\) cm là \({V_1}\).

Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(AB\)và hai trục tọa độ quanh trục \(Oy\)là \({V_2}\).

Ta có \(V = {V_1} + {V_2}\)

\({V_1} = {5.10^2}\pi  = 500\pi \) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Do parabol có đỉnh \(A\) nên nó có phương trình dạng \((P):y = a{(x - 10)^2}\).

Vì \(\left( P \right)\) qua điểm \(B\left( {0;20} \right)\) nên \(a = \frac{1}{5}\).

Do đó, \(\left( P \right):y = \frac{1}{5}{\left( {x - 10} \right)^2}\). Từ đó suy ra \(x = 10 - \sqrt {5y} \) (do \(x < 10\)).

Suy ra \({V_2} = \pi \int\limits_0^{20} {{{\left( {10 - \sqrt {5y} } \right)}^2}{\rm{dy}}}  = \pi \left( {3000 - \frac{{8000}}{3}} \right) = \frac{{1000}}{3}\pi \) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Do đó \(V = {V_1} + {V_2} = \frac{{1000}}{3}\pi  + 500\pi  = \frac{{2500}}{3}\pi \) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Chọn D

Gọi hình chiếu của \[P,\,Q\] trên \[AF\] và \[BE\] là \[R\] và\[S\].

Vật thể được chia thành hình lập phương \[ABCD.PQRS\] có cạnh \[2,5\,cm\], thể tích \({V_1} = \frac{{125}}{8}\,c{m^3}\) và phần còn lại có thể tích \[{V_2}\]. Khi đó thể tích vật thể \[V = {V_1} + {V_2} = \frac{{125}}{8} + {V_2}\].

Đặt hệ trục \[Oxyz\] sao cho \[O\] trùng với\[F\], \[Ox\] trùng với\[FA\], \[Oy\] trùng với tia \[Fy\] song song với \[AD\]. Khi đó Parabol \[\left( P \right)\]có phương trình dạng\(y = a{x^2}\), đi qua điểm \[P\left( {1;\frac{5}{2}} \right)\] do đó \[a = \frac{5}{2} \Rightarrow y = \frac{5}{2}{x^2}\].

Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với \[Ox\] và đi qua điểm \[M\left( {x;0;0} \right),\,0 \le x \le 1\] ta được thiết diện là hình chữ nhật \[MNHK\] có cạnh là \(MN = \frac{5}{2}{x^2}\) và \(MK = \frac{5}{2}\)do đó diện tích \[S\left( x \right) = \frac{{25}}{4}{x^2}\]

Áp dụng công thức thể tích vật thể ta có \[{V_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{25}}{4}{x^2}dx}  = \frac{{25}}{{12}}\]

Từ đó \[V = \frac{{125}}{8} + \frac{{25}}{{12}} = \frac{{425}}{{24}}c{m^3}\]

Chọn A

Đường elip có trục lớn \(28\,{\rm{cm}}\), trục nhỏ \(25\,{\rm{cm}}\) có phương trình \( + \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\frac{{25}}{2}} \right)}^2}}} = 1\)\( \Leftrightarrow {y^2} = {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{14}^2}}}} \right)\)\( \Leftrightarrow y =  \pm \frac{{25}}{2}\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{14}^2}}}} \).

Do đó thể tích quả dưa là \[V = \pi \int\limits_{ - 14}^{14} {{{\left( {\frac{{25}}{2}\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{14}^2}}}} } \right)}^2}{\rm{d}}x} \]\( = \pi {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2}\int\limits_{ - 14}^{14} {{{\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{14}^2}}}} \right)}^2}{\rm{d}}x} \)\( = \pi {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2}.\left. {\left( {x - \frac{{{x^3}}}{{{{3.14}^2}}}} \right)} \right|_{ - 14}^{14}\)\( = \pi {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2}.\frac{{56}}{3}\)\( = \frac{{8750\pi }}{3}\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

Do đó tiền bán nước thu được là \(\frac{{8750\pi .20000}}{{3.1000}} \approx 183259\,\)đồng.

Chọn C

Parabol có phương trình \[y = \frac{5}{8}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{8}{5}y\]

Thể tích tối đa cốc:

\[V = \pi \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{8}{5}y} \right)} .dy \approx 251,33\].

Chọn A

Cách 1. Xét thiết diện cắt cốc thủy tinh vuông góc với đường kính tại vị trí bất kỳ có: \(S\left( x \right) = \frac{1}{2}\sqrt {{R^2} - {x^2}} .\sqrt {{R^2} - {x^2}} .\tan \alpha \) \( \Rightarrow S\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {{R^2} - {x^2}} \right)\tan \alpha \).

Thể tích hình cái nêm là: \(V = \frac{1}{2}\tan \alpha \int\limits_{ - R}^R {\left( {{R^2} - {x^2}} \right)} {\rm{ d}}x = \frac{2}{3}{R^3}\tan \alpha \).

Thể tích khối nước tạo thành khi nguyên cốc có hình dạng cái nêm nên \({V_{kn}} = \frac{2}{3}{R^3}\tan \alpha \). \( \Rightarrow {V_{kn}} = \frac{2}{3}{R^3}.\frac{h}{R} = 240\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

Cách 2. Dựng hệ trục tọa độ \[Oxyz\]

Gọi \[S\left( x \right)\] là diện tích thiết diện do mặt phẳng có phương vuông góc với trục \[Ox\] với khối nước, mặt phẳng này cắt trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ \(h \ge x \ge 0\).

Gọi \(\widehat {IOJ} = \alpha ,\,\widehat {FHN} = \beta ,\,OE = x\)

\(\tan \alpha  = \frac{{IJ}}{{OJ}} = \frac{6}{{10}} = \frac{{EF}}{{OE}}\) \( \Rightarrow EF = \frac{{6x}}{{10}}\) \( \Rightarrow HF = 6 - \frac{{6x}}{{10}}\).

\(\cos \beta  = \frac{{HF}}{{HN}} = \frac{{6 - \frac{{6x}}{{10}}}}{6} = 1 - \frac{x}{{10}}\); \(\beta  = \arccos \left( {1 - \frac{x}{{10}}} \right)\)

\(S\left( x \right) = {S_{\left( {hinh\,quat} \right)}} - {S_{HMN}} = \frac{1}{2}H{N^2}.2\beta  - \frac{1}{2}HM.HN.\sin 2\beta \)

\( \Rightarrow S\left( x \right) = {6^2}\arccos \left( {1 - \frac{x}{{10}}} \right) - \frac{1}{2}.6.6.2\left( {1 - \frac{x}{{10}}} \right)\sqrt {1 - {{\left( {1 - \frac{x}{{10}}} \right)}^2}} \)

\( \Rightarrow V = \int\limits_0^{10} {S\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^{10} {\left( {36\arccos \left( {1 - \frac{x}{{10}}} \right) - 36\left( {1 - \frac{x}{{10}}} \right)\sqrt {1 - {{\left( {1 - \frac{x}{{10}}} \right)}^2}} } \right){\rm{d}}x}  = 240\).

Chọn C

Do vật thể có đáy là đường tròn và khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) được thiết diện là tam giác đều do đó vật thể đối xứng qua mặt phẳng vuông góc với trục \(Oy\) tại điểm \(O\).

Cạnh của tam giác đều thiết diện là: \(a = 2\sqrt {1 - {x^2}} \).

Diện tích tam giác thiết diện là: \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \left( {1 - {x^2}} \right)\sqrt 3 \).

Thể tích khối cần tìm là:

\(V = 2\int\limits_0^1 {Sdx}  = 2\int\limits_0^1 {\sqrt 3 \left( {1 - {x^2}} \right) = \left. {2\sqrt 3 \left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}} \).

 

Chọn B

Chọn hệ trục như hình vẽ

Ta cần tìm diện tích của \(S\left( x \right)\)thiết diện.

Gọi \(d\left( {O,MN} \right) = x\)

\(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{45}^2}}} = 1.\)

Lúc đó \[MN = 2y = 2\sqrt {{{45}^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)}  = 90\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \]

\[ \Rightarrow R = \frac{{MN}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{90}}{{\sqrt 2 }}.\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}}  \Rightarrow {R^2} = \frac{{{{90}^2}}}{2}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)\]

\[S\left( x \right) = \frac{1}{4}\pi {R^2} - \frac{1}{2}{R^2} = \left( {\frac{1}{4}\pi  - \frac{1}{2}} \right){R^2} = \left( {\pi  - 2} \right)\frac{{2025}}{2}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right).\]

Thể tích khoảng không cần tìm là

\(V = \int\limits_{ - 75}^{75} {\left( {\pi  - 2} \right)\frac{{2025}}{2}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right) \approx 115586{m^3}.} \)

Chọn C

· Đặt hệ toạ độ \(Oxyz\) như hình vẽ, xét mặt cắt song song với mp \(\left( {Oyz} \right)\) cắt trục \(Ox\) tại \(x\): thiết diện mặt cắt luôn là hình vuông có cạnh \(\sqrt {{a^2} - {x^2}} \) \(\left( {0 \le x \le a} \right)\).

· Do đó thiết diện mặt cắt có diện tích: \(S\left( x \right) = {a^2} - {x^2}\).

· Vậy \({V_{\left( H \right)}} = \int\limits_0^a {S\left( x \right){\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_0^a {\left( {{a^2} - {x^2}} \right){\rm{d}}x} \)\( = \left. {\left( {{a^2}x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^a\)\( = \frac{{2{a^3}}}{3}\).

Chọn A

\[\int\limits_0^3 {\left( {6a{t^2} + 2bt} \right){\rm{d}}t = 90} \]\[ \Leftrightarrow \]\[\left. {\left( {2a{t^3} + b{t^2}} \right)} \right|_0^3 = 90\]\[ \Leftrightarrow \]\[54a + 9b = 90\] (1)

\[\int\limits_0^6 {\left( {6a{t^2} + 2bt} \right){\rm{d}}t = 504} \]\[ \Leftrightarrow \]\[\left. {\left( {2a{t^3} + b{t^2}} \right)} \right|_0^6 = 504\]\[ \Leftrightarrow \]\[432a + 36b = 504\] (2)

Từ (1), (2) \[ \Rightarrow \]\[\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b = 6\end{array} \right.\]. Sau khi bơm \[9\] giây thì thể tích nước trong bể là:

\[V = \int\limits_0^9 {\left( {4{t^2} + 12t} \right){\rm{d}}t} \]= \[\left. {\left( {\frac{4}{3}{t^3} + 6{t^2}} \right)} \right|_0^9 = 1458\left( {{m^3}} \right)\].

Chọn C

Gọi \(t\) là thời điểm bơm được số nước bằng \(\frac{3}{4}\) độ sâu của bể (\(t\) tính bằng giây).

Ta có:  \(\int\limits_0^x {\frac{1}{{500}}\sqrt[3]{t}{\rm{d}}t}  = \frac{3}{4}.280\)\(\left. { \Rightarrow \frac{3}{4}{t^{\frac{4}{3}}}} \right|_0^x = 105000\)\( \Rightarrow t\sqrt[3]{t} = 140000\)

\( \Rightarrow \sqrt[3]{{{t^4}}} = 140000\)\( \Rightarrow x = \sqrt[4]{{{{140000}^3}}}\)\( \Rightarrow t \approx 7237,6242\) giây

\( \Rightarrow \)\(2\) giờ \(38\) giây.