31 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến Ứng dụng hình học của tích phân (có lời giải)
31 câu hỏi
Năng lượng gió trên đất liền là một trong những công nghệ năng lượng tái tạo đang được phát triển ở quy mô toàn cầu. năng lượng gió không trực tiếp phát thải khí nhà kính, không thải ra môi trường các chất gây ô nhiễm khác, cũng không tiêu thụ nước để làm mát cho các nhà máy. Các turbine gió thường có ba cánh quay trên trục ngang, lấy động năng từ quá trình di chuyển của dòng không khí (gió) để chuyển đổi thành điện năng thông qua một máy phát điện được kết nối với lưới điện. Hình thang cong mô tả một phần mặt cắt đứng của cánh turbine, được giới hạn bởi các đường thẳng x = 2; x = 25, trục Ox và đồ thị hàm số \[y = f(x) = - \frac{1}{{800}}\left( {{x^3} - 33{x^2} + 120x - 400} \right)\]. Hãy tính diện tích phần hình thang cong đó
Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình parabol. Người ta dự định lắp của kính cường lực cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao \(8\left( {\rm{m}} \right)\) và rộng \(8\left( {\rm{m}} \right)\) (như hình vẽ)
Với hệ trục đã chọn, Parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\) có đỉnh \(A\left( {0\,;\,8} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( { - 4\,;\,0} \right)\), \(C\left( {4\,;\,0} \right)\) nên có phương trình: \(y = - \frac{1}{2}{x^2} + 8\).
Diện tích \(S\) mặt kính cần lắp là diện tích của hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x = - 4;{\rm{ }}x = 4\).
Do đó:\(S = \int\limits_{ - 4}^4 {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + 8} \right){\rm{d}}x} = \frac{{128}}{3}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).Cho một viên gạch men có dạng hình vuông \(OABC\) như hình vẽ. Sau khi tọa độ hóa, ta có \(O\left( {0\,;\,0} \right)\), \(A\left( {0\,;\,1} \right)\), \(B\left( {1\,;\,1} \right)\), \(C\left( {1\,;\,0} \right)\) và hai đường cong lần lượt là đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) và \(y = \sqrt[3]{x}\). Tính diện tích của phần không được tô đậm trên viên gạch men.
Ông An muốn làm một cánh cửa bằng sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ. Biết rằng đường cong phía trên là một parabol, tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật. Giá của cánh cửa sau khi hoàn thành là \[900.000\] đồng/m2. Số tiền mà ông An phải trả để làm cánh cửa đó bằng
Dựng hệ tọa độ \[Oxy\] với \(O\) là trung điểm của đoạn \(AB\), đỉnh \(I\) của parabol nằm trên tia \(Oy\), khi đó ta có \(I\left( {0;1} \right)\), \(A\left( { - 1;0} \right)\), \(B\left( {1;0} \right)\).
Parabol có trục đối xứng \(Oy\) và cắt \(Oy\) tại \(I\left( {0;1} \right)\) nên có phương trình dạng: \(y = a{x^2} + 1,\,\left( {a \ne 0} \right)\).
Parabol qua \(B\left( {1;0} \right)\) nên ta có phương trình : \(a + 1 = 0 \Leftrightarrow a = - 1\).
Do đó phương trình của parabol là: \(y = - {x^2} + 1\).
Diện tích phần giới hạn bởi parabol với đoạn \(AB\) là:
\({S_2} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - {x^2} + 1} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{4}{3}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).
Diện tích toàn bộ phần cánh cửa là \(S = {S_1} + {S_2} = 8 + \frac{4}{3} = \frac{{28}}{3}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).
Trên cửa sổ có dạng hình chữ nhật, một họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệm thủy sản. Logo giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho như hình bên (đơn vị trên trục tọa độ là decimet)
a) Lập phương trình parabol y = f(x) và y = g(x).
b) Tính diện tích của logo
c) Logo chỉ cho phép 50% ánh sáng đi qua nó. Lượng ánh sáng đi qua toàn bộ cửa sổ sau khi làm logo sẽ giảm bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
a) Giả sử parabol \(y = f(x)\) cho bời \(f(x) = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\). Do parabol \(y = f(x)\) đi qua điểm \(D(0;2)\) nên \(c = 2\), suy ra \(f(x) = a{x^2} + bx + 2(a \ne 0)\). Vì parabol \(y = f(x)\) đi qua các điểm \(C( - 4;0),E(4;0)\) nên ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{16a - 4b + 2 = 0}\\{16a + 4b + 2 = 0.}\end{array}} \right.\)
Hệ phương trình trên có nghiệm là \(a = - \frac{1}{8},b = 0\). Vậy \(f(x) = - \frac{1}{8}{x^2} + 2\).
- Giả sử parabol \(y = g(x)\) cho bởi \(g(x) = {a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}\left( {{a_1} \ne 0} \right)\). Do parabol \(y = g(x)\) đi qua điểm \(G(0; - 3)\) nên \({c_1} = - 3\), suy ra \(g(x) = {a_1}{x^2} + {b_1}x - 3\left( {{a_1} \ne 0} \right)\). Vì parabol \(y = g(x)\) đi qua các điểm \(C( - 4;0),E(4;0)\) nên ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{16{a_1} - 4{b_1} - 3 = 0}\\{16{a_1} + 4{b_1} - 3 = 0.}\end{array}} \right.\)
Hệ phương trình trên có nghiệm là \({a_1} = \frac{3}{{16}},{b_1} = 0\). Vậy \(g(x) = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3\).
b) Diện tích của logo là: \(S = {S_1} + {S_2}\), trong đó \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các parabol \(f(x) = - \frac{1}{8}{x^2} + 2,g(x) = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3\) và hai đường thẳng \(x = - 5,x = - 4\); \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các parabol \(f(x) = - \frac{1}{8}{x^2} + 2,g(x) = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3\) và hai đường thẳng \(x = - 4,x = 4\).
Do đó, ta có:
\(S = \int_{ - 5}^{ - 4} | f(x) - g(x)|{\rm{d}}x + \int_{ - 4}^4 | f(x) - g(x)|{\rm{d}}x\)
\( = \int_{ - 5}^{ - 4} {\left[ {\left( {\frac{3}{{16}}{x^2} - 3} \right) - \left( { - \frac{1}{8}{x^2} + 2} \right)} \right]} {\rm{d}}x + \int_{ - 4}^4 {\left[ {\left( { - \frac{1}{8}{x^2} + 2} \right) - \left( {\frac{3}{{16}}{x^2} - 3} \right)} \right]} {\rm{d}}x\)
\( = \int_{ - 5}^4 {\left( {\frac{5}{{16}}{x^2} - 5} \right)} {\rm{d}}x + \int_{ - 4}^4 {\left( { - \frac{5}{{16}}{x^2} + 5} \right)} {\rm{d}}x\)
\( = \left. {\frac{5}{{48}}{x^3}} \right|_{ - 5}^{ - 4} - \left. {5x} \right|_{ - 5}^{ - 4} - \left. {\frac{5}{{48}}{x^3}} \right|_{ - 4}^4 + \left. {5x} \right|_{ - 4}^4\)
\( = \frac{{305}}{{48}} - 5 - \frac{{640}}{{48}} + 40 = \frac{{1345}}{{48}}.\)
\(S = \frac{{1345}}{{48}}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)
c) Gọi \(t\) là lượng ánh sáng đi qua mỗi $\mathrm{dm}^2$ của logo. Suy ra lượng ánh sáng đi qua logo là \(\frac{{1345}}{{48}}t\). Mặt khác, diện tích của cửa sổ là \((8 + 1) \cdot (2 + 3) = 45\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)\) và lượng ánh sáng đi qua mỗi \({\rm{d}}{{\rm{m}}^2}\) của phần cửa sổ nằm ngoài logo là 2t. Suy ra, lượng ánh sáng đi qua cửa sổ trược khi làm logo là \(45.2t = 90t\) và lượng ánh sáng đi qua phẩn cửa sổ nằm ngoài logo là: \(\left( {45 - \frac{{1345}}{{48}}} \right)2t = \frac{{815}}{{24}}t\)
Do đó, tổng lượng ánh sáng đi qua cửa sổ sau khi làm logo là: \(\frac{{1345}}{{48}}t + \frac{{815}}{{24}}t = \frac{{2975}}{{48}}t.\)
Tỉ số phần trăm của lượng ánh sáng đi qua cửa sổ sau khi làm logo so vởi lượng ánh sáng đi qua cửa sổ trược khi làm logo là: \(\left( {\frac{{2975}}{{48}}t:90t} \right) \cdot 100\% = \frac{{297500}}{{4320}}\% \approx 68,9\% {\rm{. }}\)
Vậy lượng ánh sáng khi đi qua toàn bộ cửa sổ sau khi làm logo sẽ giảm đi xấp xỉ là: 100% - 68,9% = 31,1%
Cô Hạnh đổ bê tông một con đường đi trong vườn (Phần được tô màu) với kích thước được cho như hình bên. Biết rằng đường cong AB được cho bởi đồ thị của một hàm số liên tục và đường cong DC nhận được từ đường cong AB bằng cách tịnh tiến theo phương thẳng đứng lên phía trên 2 m. Ngoài ra, cô Hạnh quyết định đỏ lớp bê tông dày 15 cm và giá tiền 1 m3 bê tông là 1080000 đồng. Tính số tiền cô Hạnh cần dùng để đổ bê tông con đường đó.
Một chiếc chén trong bộ ấm chén uống trà như hình bên, bạ Dương ước lượng được rằng chiếc chén được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[f(x) = 0,14{x^3} - 0,87{x^2} + 1,92x + 0,85\], trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 quay quanh trục Ox ( đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimet). Tính thể tích của chiếc chén (làm tròn đến hàng đơn vị của centimet khối)
Một cái trống (hình vẽ dưới) có đường kính 1 m, hai mặt trống có đường kính 0,7 m và chiều cao của trống là 1 m. Thể tích khối giới hạn bởi bề mặt của trống gần với số nào?
Tốc độ chuyển động v (m/s) của một ca nô trong khoảng thời gian 40 giây được thể hiện như Hình 1. Quãng đường đi được của ca nô trong khoảng thời gian này là bao nhiêu?
Dựa vào đồ thị Hình 1, ta có: \(v(t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{10}}{8}t,}&{0 \le t < 8}\\{10,}&{8 \le t < 30}\\{ - t + 40,}&{30 \le t \le 40}\end{array}} \right.\)
Quãng đường ca nô đi được là: \(s = \int_0^{40} v (t)dt = \int_0^8 {\frac{{10}}{8}} tdt + \int_8^{30} 1 0dt + \int_{30}^{40} {( - t + 40)} dt\)
\( = \left. {\frac{{10{t^2}}}{{16}}} \right|_0^8 + \left. {10t} \right|_8^{30} + \left. {\left( { - \frac{{{t^2}}}{2} + 40t} \right)} \right|_{30}^{40} = 40 + 300 - 80 + 800 - 750 = 310\;{\rm{m}}.\)
Một vật chuyển động với tốc độ \(v(t) = 3t + 4\) \(({\rm{m}}/{\rm{s}})\), với thời gian t tính theo giây, \({\rm{t}} \in [0;5]\). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ \({\rm{t}} = 0\) đến \({\rm{t}} = 5\).
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ \(t = 0\) đến \(t = 5\) là:
\(s = \int_0^5 v (t)dt = \int_0^5 {(3t + 4)} dt = \left. {\left( {3\frac{{{t^2}}}{2} + 4t} \right)} \right|_0^5 = 57,5\;{\rm{m}}\)
Một chất điểm đang chuyển động với tốc độ vo \( = 1\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) thì tăng tốc với gia tốc không đổi \({\rm{a}} = 3\;{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}\). Hỏi tốc độ của chất điểm là bao nhiêu sau 10 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
Tốc độ của chất điểm tại thời điểm \(t\) kể từ khi bắt đầu tăng tốc là:
\(v(t) = \int a (t)dt = \int 3 dt = 3t + C{\rm{. }}\)
Vì \(v(0) = 1\) nên \(C = 1\).
Do đó \(v(t) = 3t + 1\).
Sau 10 giây tốc độ của chất điểm là: \(v(10) = 3.10 + 1 = 31\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\).
Sau khi được thả rơi tự do từ độ cao 100 m , một vật rơi xuống với tốc độ \({\rm{v}}({\rm{t}}) = 10{\rm{t}}({\rm{m}}/{\rm{s}})\), trong đó t là thời gian tính theo giây kể từ khi thả vật.
a) Tính quãng đường \(s(t)\) vật di chuyển được sau thời gian \(t\) giây (trong khoảng thời gian vật đang rơi).
b) Sau bao nhiêu giây thì vật chạm đất? Tính tốc độ rơi trung bình của vật.
a) Quãng đường \(s(t)\) vật di chuyển được sau thời gian \(t\) giây là:
\(s(t) = \int v (t)dt = \int 1 0tdt = 5{t^2} + C{\rm{. }}\)
\({\mathop{\rm Vis}\nolimits} (0) = 0\) nên \(C = 0\).
Do đó \(s(t) = 5{t^2}\).
b) Vật chạm đất khi \({\rm{s}}({\rm{t}}) = 100 \Leftrightarrow 5{{\rm{t}}^2} = 100 = > t = 2\sqrt 5 (\) vì \({\rm{t}} > 0)\).
Vậy vật chạm đất sau \(2\sqrt 5 \approx 4,47\) giây.
Tốc độ rơi trung bình là \(\frac{1}{{2\sqrt 5 }}\int_0^{2\sqrt 5 } 1 0tdt = \left. {\frac{1}{{2\sqrt 5 }} \cdot 5{t^2}} \right|_0^{2\sqrt 5 } = 10\sqrt 5 \;{\rm{m}}/{\rm{s}}\)
Tốc độ tăng dân số của một thành phố trong một số năm được ước lượng bởi công thức \({{\rm{P}}^\prime }({\rm{t}}) = 20.{(1,106)^{\rm{t}}}\) với \(0 \le {\rm{t}} \le 7\), trong đó t là thời gian tính theo năm và ứng với đầu năm \(2015,{\rm{P}}({\rm{t}})\) là dân số của thành phố tính theo nghìn người. Cho biết dân số của thành phố đầu năm 2015 là 1008 nghìn người.
a) Tính dân số của thành phố ở thời điếm đầu năm 2020 (làm tròn đến nghìn người).
b) Tính tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm của thành phố trong giai đoạn từ đằu năm 2015 đến đằu năm 2020 .
a) Dân số của thành phố vào năm thứ t là:
\(P(t) = \int {{P^\prime }} (t)dt = \int 2 0 \cdot {(1,106)^t}dt = 20 \cdot \frac{{{{(1,106)}^t}}}{{\ln 1,106}} + C\)
Vî \({\rm{P}}(0) = 1008\) nên \(20 \cdot \frac{1}{{\ln 1,106}} + C = 1008 \Rightarrow C \approx 809\)
Do đó \(P(t) = 20 \cdot \frac{{{{(1,106)}^t}}}{{\ln 1,106}} + 809\)
Dân số của thành phố ở thời điếm đầu năm 2020 là:
\(P(5) = 20 \cdot \frac{{{{(1,106)}^5}}}{{\ln 1,106}} + 809 \approx 1137\)nghìn người
b) Tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm là:
\(\frac{1}{5}\int_0^5 {{P^\prime }} (t)dt = \frac{1}{5}\int_0^5 2 0 \cdot {(1,106)^t}dt = \left. {4 \cdot \frac{{{{(1,106)}^t}}}{{\ln 1,106}}} \right|_0^5 = 4 \cdot \left( {\frac{{{{(1,106)}^5}}}{{\ln 1,106}} - \frac{1}{{\ln 1,106}}} \right) \approx 26\)nghìn người/năm
Hình minh họa mặt cắt của một bức thường cũ có dạng hình chữ nhật với một cổng ra và có dạng hình parabol với các kích thước được cho hinh hình bên. Người ta dự định sơn lại mặt ngoài của béc tường đó. Chi phí để sơn bức tường là 15000 đồng/1m2 . Tổng chi phí để sơn toàn bộ mặt ngoài của bức tường là bao nhiêu
Ta tính diện tích phần cổng hình parabol. Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ O trùng với chân bên trái cổng parabol như hình sau:
Gọi phương trình parabol là \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\).
Parabol đi qua các điểm \((0;0),(2;4,8)\) và \((4;0)\) nên ta có:
Do đó, \(y = f(x) = - 1,2{x^2} + 4,8x\).
Diện tích phần cổng hình parabol chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x) = - 1,2{x^2} + 4,8x\), trục $O x$ và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\).
Ta có \({S_p} = \int_0^4 {\left( { - 1,2{x^2} + 4,8x} \right)} dx = \left. {\left( { - 0,4{x^3} + 2,4{x^2}} \right)} \right|_0^4 = 12,8\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích phần mặt ngoài của bức tường cần sơn là: \(S = 10 \cdot (2 + 4 + 2) - 12,8 = 67,2\left( {{m^2}} \right){\rm{. }}\)
Tổng chi phí để sơn lại toàn bộ mặt ngoài của bức tường đó là: \(67,2 \cdot 15000 = 1008000{\rm{ (dong)}}{\rm{. }}\)
Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình bên
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bời đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng t = 0, t = 2
b) Hỏi \[\int\limits_0^1 {f(u)du} \] biểu thị cho phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng nào?
a) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{t}})\), trục Ot và hai đường thẳng \({\rm{t}} = \) \(0,{\rm{t}} = 2\) là hình thang vuông OABC (xem hình dưới).
Ta có \({{\rm{S}}_{{\rm{OABC}}}} = \frac{{AB + OC}}{2} \cdot BC = \frac{{1 + 2}}{2} \cdot 2 = 3\).
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(t)\), trục Ot và hai đường thẳng \({\rm{t}} = 0,{\rm{t}} = 2\) bằng 3 .
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(t)\), trục Ot và hai đường thẳng \({\rm{t}} = 0,{\rm{t}} = 1\) là: \(V = \int_0^1 | f(t)|dt = \int_0^1 f (t)dt = \int_0^1 f (u)du\).
Do đó, \(\int_0^1 f (u)du\) biểu thị cho phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{t}})\), trục Ot và hai đường thẳng \({\rm{t}} = 0,{\rm{t}} = 1\).
Người ta dự định lắp kính cho cửa một mái vòm có dạng hình parabol. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào, biết rằng mái vòm cao 21 m và rộng 70 m
Chọn hệ tọa độ Oxy với gốc tọa độ O trùng với chân cửa bên trái như hình dưới đây.
Gọi đồ thị hàm số biểu thị cho cửa đã cho có dạng \(y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\).
Đồ thị hàm số này đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\) và các điểm \((35;21),(70;0)\) nên
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{c}} = 0}\\{{\rm{a}} \cdot {{35}^2} + {\rm{b}} \cdot 35 + {\rm{c}} = 21 \Leftrightarrow }\\{{\rm{a}} \cdot {{70}^2} + {\rm{b}} \cdot 70 + {\rm{c}} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{a}} = - \frac{3}{{175}}}\\{\;{\rm{b}} = \frac{6}{5}}\\{{\rm{c}} = 0}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}\)Suy ra \(y = - \frac{3}{{175}}{x^2} + \frac{6}{5}x\)
Diện tích mặt kính cần lắp \(V\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - \frac{3}{{175}}{x^2} + \frac{6}{5}x\), trục O và hai đường thẳng \({\rm{x}} = 0,{\rm{x}} = 70\).
Ta có” \(V = \int_0^{70} {\left( { - \frac{3}{{175}}{x^2} + \frac{6}{5}x} \right)} dx = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{{175}} + \frac{{3{x^2}}}{5}} \right)} \right|_0^{70} = - \frac{{{{70}^3}}}{{175}} + \frac{{3 \cdot {{70}^2}}}{5} = 980\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Hình bên minh họa cho mặt cắt đứng của một con kênh đặt trong hệ trục tọa độ Oxy. Đáy của con kênh là một đường cong cho bởi phương trình \[y = f(x) = \frac{3}{{100}}\left( { - \frac{1}{3}{x^3} + 5{x^2}} \right)\]. Hãy tính diện tích hình phẳng tô màu xanh trong hình bên, biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét.
Hình phẳng tô màu xanh trong Hinh 34 được giới hạn bởi đồ thị hàm số \({\rm{y}} = \) \({\rm{f}}({\rm{x}})\), các đường thẳng \({\rm{y}} = 5,{\rm{x}} = - 5,{\rm{x}} = 10\).
Diện tích hình phẳng này là:
\(V = \int_{ - 5}^{10} | 5 - f(x)|dx = \int_{ - 5}^{10} {\left| {5 - \frac{3}{{100}}\left( { - \frac{1}{3}{x^3} + 5{x^2}} \right)} \right|} dx\)
\( = \int_{ - 5}^{10} {\left[ {5 - \frac{3}{{100}}\left( { - \frac{1}{3}{x^3} + 5{x^2}} \right)} \right]} dx = \left. {\left[ {5x - \frac{3}{{100}}\left( { - \frac{{{x^4}}}{{12}} + \frac{{5{x^3}}}{3}} \right)} \right]} \right|_{ - 3}^{10}\)
\( = \left[ {5 \cdot 10 - \frac{3}{{100}}\left( { - \frac{{{{10}^4}}}{{12}} + \frac{{5 \cdot {{10}^3}}}{3}} \right)} \right] - \left[ {5 \cdot ( - 5) - \frac{3}{{100}}\left( { - \frac{{{{( - 5)}^4}}}{{12}} + \frac{{5 \cdot {{( - 5)}^3}}}{3}} \right)} \right]\)
\( = 25 - \left( { - \frac{{275}}{{16}}} \right) = \frac{{675}}{{16}}\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right).\)
Mặt cắt của một cửa hầm có dạng hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như hình vẽ. Tính diện tích của cửa hầm.
Chon hệ tọa độ Oxy như hình vẽ.
Giả sử \((P):y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\).
Vi \((P)\) đi qua các điểm \((0;0),(6;0),(3;6)\) nên ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 0}\\{36a + 6b = 0}\\{9a + 3b = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - \frac{2}{3}}\\{b = 4}\\{c = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy (P): \(y = - \frac{2}{3}{x^2} + 4x\).
Bài toán trở thành tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = - \frac{2}{3}{x^2} + 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \({\rm{x}} = 0,{\rm{x}} = 6\).
Diện tích cần tính là: \(S = \int_0^6 {\left| { - \frac{2}{3}{x^2} + 4x} \right|} dx = \int_0^6 {\left( { - \frac{2}{3}{x^2} + 4x} \right)} dx = \left. {\left( { - \frac{{2{x^3}}}{9} + 2{x^2}} \right)} \right|_0^6 = 24\;{{\rm{m}}^2}\)
Vậy diện tích của cửa hầm là \(24\;{{\rm{m}}^2}\).
Cửa vòm lấy ánh sáng của một tòa nhà được thiết kế dạng parabol với kích thước như hình vẽ. Người ta định lắp kính cho cửa này. Tính diện tích kính cần lắp, biết rằng người ta chỉ sử dụng một lớp kính và bỏ qua diện tích của khung cửa.
Cửa có hình dạng một parabol \((P)\) với phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\).
Parabol \((P)\) có đỉnh \(I\left( {0;\frac{9}{4}} \right)\) nên \(c = \frac{9}{4}\), suy ra \((P):y = a{x^2} + bx + \frac{9}{4}\).
Vì parabol \((P)\) đi qua các điểm \(A\left( { - \frac{3}{2},0} \right),B\left( {\frac{3}{2};0} \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b = - \frac{9}{4}}\\{\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b = - \frac{9}{4}}\end{array}} \right.\), suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 1}\\{b = 0}\end{array}} \right.\)
Do đó \((P):y = - {x^2} + \frac{9}{4}\).
Gọi \(S\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\) là diện tích kính cẩn lắp. Ta có \(S\) bằng diện tích hình phẳng \((H)\) giới hạn bởi parabol, trục hoành và các đường thẳng \(x = - \frac{3}{2},x = \frac{3}{2}\).
\(S = \int_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right)} {\rm{d}}x = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} = \frac{9}{2}\left( {{m^2}} \right)\)
Vậy diện tích kính cản lắp là \(\frac{9}{2}{m^2}\).
Một bình chứa nước có hình dạng như Hình 11. Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao \(x({\rm{dm}})(0 \le x \le 4)\) thì mặt nước là hình vuông có cạnh \(\sqrt {2 + \frac{{{x^2}}}{4}} ({\rm{dm}})\). Tính dung tích của bình.
Chọn trục Ox như hình vẽ, hai đáy của bình nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục $O x$ tại \(x = 0\) và \(x = h\).
Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(x(0 \le x \le 4)\) cắt bình theo mặt cắt là hình vuông và có diện tích là \(S(x) = 2 + \frac{{{x^2}}}{4}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Do đó dung tích của bình là \(V = \int_0^4 {\left( {2 + \frac{{{x^2}}}{4}} \right)} dx = \left. {\left( {2x + \frac{{{x^3}}}{{12}}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{40}}{3}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Hình vẽ mô phỏng phần bên trong của một chậu cây có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay một phần của đồ thị hàm số \[y = \sqrt x + \frac{3}{2}\] với \[0 \le x \le 4\] quanh trục hoành. Thể tích phần bên trong (dung tích) của chậu cây, biết đơn vị trên các trục Ox, Oy là decimet.
Cho tam giác OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Giải sử \[\widehat {POM} = \alpha ,OM = l{\rm{ }}\left( {0 \le \alpha \le \frac{\pi }{3};t > 0} \right)\]. Gọi N là khối nón tròn xoay thu được khi tam giác đó xuay quanh trục Ox. Tính thể tích khối nón N theo \[l\].
Tam giác OMP là tam giác vuông tại \(P\) nên:
\({\rm{OP}} = {\rm{OM}} \cdot \cos \widehat {POM} = \ell \cdot \cos \alpha ;\)
\({\rm{MP}} = {\rm{OM}} \cdot \sin \widehat {POM} = \ell \cdot \sin \alpha \)
Khi đó, điếm \(M\) có tọa độ là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = OP = 1 \cdot \cos \alpha }\\{{y_M} = MP = 1 \cdot \sin \alpha }\end{array}} \right.\). Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 = \frac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}}\\{{y_M} = \frac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }} \cdot \sin \alpha }\end{array}} \right.\).
Suy ra \({{\rm{y}}_{\rm{M}}} = {{\rm{x}}_{\rm{M}}} \cdot \tan {\rm{a}}\). Do đó điếm M thuộc đường thắng \({\rm{y}} = {\rm{x}} \cdot \tan {\rm{a}}\).
Lại có điếm O cũng thuộc đường thẳng trên nên phương trình đường thắng OM là:
\(y = x \cdot \tan \alpha .\)
Khi đó, tam giác OPM là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \({\rm{y}} = {\rm{x}} \cdot \tan {\rm{a}}\), trục Ox và hai đường thắng \(x = 0,x = \ell \cdot \cos \alpha \). Khối tròn xoay \(\mathcal{N}\) là khối tròn xoay thu được khi quay hình phắng trên quanh trục $O x$.
Thế tích khối tròn xoay này là:
\(V = \pi \int_0^{1 \cdot \cos \alpha } {{{(x \cdot \tan \alpha )}^2}} dx = \left. {\pi {{\tan }^2}\alpha \cdot \frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{1 \cdot \cos \alpha }\)
\( = \frac{{\pi {{\tan }^2}\alpha }}{3} \cdot {(1 \cdot \cos \alpha )^3} = \frac{{\pi {1^3}}}{3} \cdot \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} \cdot {\cos ^3}\alpha = \frac{{\pi {1^3}}}{3} \cdot {\sin ^2}\alpha \cdot \cos \alpha \)
Sau khi đo kích thức hai thùng rượu vang như hình bên, bạn Quân xác định thù rượu vang có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = - 0,011{x^2} - 0,071x + 40\], trục Ox và hai đường thẳng x = -35, x = 35 quay quanh trục Ox. Tính thể tích thùng rượu vang đó biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimet.
Thể tích thùng rượu vang đó là:
\({\rm{V}} = \pi \int_{ - 35}^{35} {{{\left( { - 0,011{{\rm{x}}^2} - 0,071{\rm{x}} + 40} \right)}^2}} {\rm{dx}}\)
\( = \pi \int_{ - 35}^{35} {\left( {0,000121{{\rm{x}}^4} + 0,005041{{\rm{x}}^2} + 1600 + 0,001562{{\rm{x}}^3} - 0,88{{\rm{x}}^2} - 5,68{\rm{x}}} \right)} {\rm{dx}}\)
\( = \pi \int_{ - 35}^{35} {\left( {0,000121{{\rm{x}}^4} + 0,001562{{\rm{x}}^3} - 0,874959{{\rm{x}}^2} - 5,68{\rm{x}} + 1600} \right)} {\rm{dx}}\)
\( = \left. {\pi \left( {0,0000242{{\rm{x}}^5} + 0,0003905{{\rm{x}}^4} - 0,291653{{\rm{x}}^3} - 2,84{{\rm{x}}^2} + 1600{\rm{x}}} \right)} \right|_{ - 35}^{35}\)
\( = \pi [41873,40106 - ( - 47659,41294)] \approx 281275,6307\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)
Nếu cắt chậu nước có hình dạng như Hình vẽ bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy x (cm) (0 ≤ x ≤ 16) thì mặt cắt là hình tròn có bán kính \[\left( {10 + \sqrt x } \right)\] (cm). Tính dung tích của chậu.
Diện tích của mặt cắt là: \(S(x) = \pi {(10 + \sqrt x )^2}\).
Dung tích của chậu là:
\(V = \int_0^{16} S (x)dx = \pi \int_0^{16} {{{(10 + \sqrt x )}^2}} dx = \pi \int_0^{16} {(100 + 20\sqrt x + x)} dx = \left. {\pi \left( {100x + \frac{{40}}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{16} = \frac{{7744}}{3}\pi \)
Một chiếc lều mái vòm có hình dạng như Hình vẽ. Nếu cắt lều bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng x (m) (0 ≤ x ≤ 3) thì được hình vuông có cạnh \[\sqrt {9 - {x^2}} \] (m). Tính thể tích của lều.
Diện tích mặt cắt là: \(S(x) = \left( {9 - {x^2}} \right)\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Thể tích của lều là: \(V = \int_0^3 {\left( {9 - {x^2}} \right)} dx = \left. {\left( {9x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^3 = 18\).
Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h (0 < h < R) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình \[y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \], trục hoành và hai đường thẳng x=R – h, x = R xung quanh trục Ox (Hình vẽ). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.
Thế tích cần tìm là:
\(\begin{array}{l}V = \pi \int_{R - h}^R {\left( {{R^2} - {x^2}} \right)} dx = \left. {\pi \left( {{R^2}x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{R - h}^R = \pi \left( {{R^3} - \frac{{{R^3}}}{3} - {R^2}(R - h) + \frac{{{{(R - h)}^3}}}{3}} \right)\\ = \pi \left( {{R^3} - \frac{{{R^3}}}{3} - {R^3} + {R^2}h + \frac{{{R^3}}}{3} - {R^2}h + R{h^2} - \frac{{{h^3}}}{3}} \right) = \pi \left( {R{h^2} - \frac{{{h^3}}}{3}} \right) = \pi {h^2}\left( {R - \frac{h}{3}} \right)\end{array}\)
Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong của bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số \[y = \frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5\] (0 ≤ x ≤ 30) (x, y tính theo cm) quay tròn quanh bệ gốm có trục trùng với trục hoành Ox. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu cm3 đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là 1 cm.
Thế tích đất sét cần sử dụng là:
\(V = \pi \int_0^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}} dx - \pi \int_0^{30} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}} dx\)
\( = \pi \int_0^{30} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}} dx + \pi \int_{30}^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}} dx - \pi \int_0^{30} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}} dx\)
\( = \pi \int_{30}^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}} dx\)
\( = \pi \int_{30}^{31} {\left( {\frac{1}{{{{175}^2}}}{x^4} + \frac{9}{{1225}}{x^2} + 25 + \frac{6}{{6125}}{x^3} + \frac{2}{{35}}{x^2} + \frac{6}{7}x} \right)} dx\)
\( = \pi \int_{30}^{31} {\left( {\frac{1}{{{{175}^2}}}{x^4} + \frac{6}{{6125}}{x^3} + \frac{{79}}{{1225}}{x^2} + \frac{6}{7}x + 25} \right)} dx\)
\( = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^5}}}{{153125}} + \frac{{3{x^4}}}{{12250}} + \frac{{79{x^3}}}{{3675}} + \frac{{3{x^2}}}{7} + 25x} \right)} \right|_{30}^{31}\)
\( \approx \pi (2240,4 - 2073,2) = 167,2\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)
Vậy để hoàn thành bình gốm đó ta cần sứ dụng \(167,2\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\) đắt sét.
Cho một mô hình \(3 - D\) mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên.
Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài \(5\left( {cm} \right)\); khi cắt mô hình này bởi các mặt phẳng vuông góc với đáy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao của parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công thức \(y = 3 - \frac{2}{5}x\left( {cm} \right)\), với \(x\left( {cm} \right)\) là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Tính thể tích (theo đơn vị \(c{m^3}\)) không gian bên trong đường hầm mô hình (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Thiết diện là parabol có chiều cao \(h = 3 - \frac{2}{5}x\left( {cm} \right)\)Vậy độ dài cạnh đáy là \(a = 2h = 2\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)\left( {cm} \right)\)
Khi đó, diện tích thiết diện là \(S\left( x \right) = \frac{2}{3}ah = \frac{4}{3}{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2}\).
Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang \(3\) mét, chiều dài \(6\) mét, đỉnh trại cách nền \(3\) mét. Tính thể tích phần không gian bên trong trại.
Giả sử phương trình của parabol là \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\).
Ta có parabol có đỉnh là \(\left( {0;3} \right)\) và đi qua điểm \(\left( {\frac{3}{2};0} \right)\) nên có \(\left( P \right):y = \frac{{ - 4}}{3}{x^2} + 3\).
Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là \(4cm\), chiều cao trong lòng cốc là \(12cm\) đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết rằng khi nghiêng cốc nước vừa lúc chạm miệng cốc thì ở đáy cốc, mực nước trùng với đường kính đáy.
+) Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ.
\(R = 4\,\,{\rm{cm}}\) là bán kính đáy cốc, \(h = 12\,\,{\rm{cm}}\) là chiều cao của cốc.
+) Thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \[x\,\,\left( { - 4 \le x \le 4} \right)\] là một tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có độ dài cạnh \(BC = \sqrt {{R^2} - {x^2}} = \sqrt {16 - {x^2}} \)
\[BA = \sqrt {{R^2} - {x^2}} .\tan \alpha = \sqrt {{R^2} - {x^2}} .\frac{h}{R} = \sqrt {16 - {x^2}} .\frac{{12}}{4} = 3\sqrt {16 - {x^2}} \].
+) Diện tích thiết diện là \(S\left( x \right) = \frac{1}{2}\sqrt {16 - {x^2}} .3\sqrt {16 - {x^2}} = \frac{3}{2}\left( {16 - {x^2}} \right)\) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
+) Thể tích khối nước trong cốc là \(V = \int\limits_{ - 4}^4 {\frac{3}{2}\left( {16 - {x^2}} \right)dx} \)\( = \frac{3}{2}\left( {16x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4\\{ - 4}\end{array}} \right. = 128\) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Chú ý: Có thể tính thể tích hình trên bằng công thức tính nhanh \(V = \frac{2}{3}{R^2}h\).
+) Với \(R = 4\) \({\rm{cm}}\), \(h = 12\) \({\rm{cm}}\) thể tích cần tìm \(V = \frac{2}{3}{.4^2}.12 = 128\) \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).Cho một vật thể \(X\) được giới hạn bởi các mặt phẳng \(x = 1;x = 4\). Cắt vật thể bởi một mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ bằng \(x\) thì thiết diện thu được có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên dưới. Tính thể tích của vật thể.
