(Đúng sai) 20 bài tập Ứng dụng hình học của tích phân (có lời giải)

(S) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 2^x, (y = 0\), (x = 0\), (x = 2. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

A. \(S = \int\limits_0^2 {{2^x}{\rm{d}}x} \)

B. \(S = \frac{3}{{\ln 2}}\)

C. \(S = \pi \int\limits_0^2 {{2^x}{\rm{d}}x} \)

D. \(S = \frac{{3\pi }}{{\ln 2}}\)

Gọi (S) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^x, y = 0, x = 0, x = 2. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

A. \(S = \int\limits_0^2 {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} \)

B. S = e2

C. \(S = \pi \int\limits_0^2 {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} \)

D. \(S = \left( {{e^2} - 1} \right)\pi \)

Cho hai đường cong \[\left( C \right):\,y =  - {x^3} + 12x\] và \[\left( P \right):\,y =  - {x^2}\]. Gọi \[S\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \[\left( C \right)\] và \[\left( P \right)\]. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) \[\left( P \right)\] cắt \[\left( C \right)\] tại ba điểm phân biệt.

b) \[S = \int\limits_0^4 {\left| {{x^3} - {x^2} - 12x} \right|{\rm{d}}x} \].

c) \[S = \left| {\int\limits_{ - 3}^4 {\left( {{x^3} - {x^2} - 12x} \right){\rm{d}}x} } \right|\].

d) \[S = \frac{{937}}{{12}}\].

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + xf'\left( x \right) = 4{x^3} + 4x + 2,\forall x \in \mathbb{R}\). Gọi \[S\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f'\left( x \right)\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) \[f\left( 0 \right) = 2\].

b) \[f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2\].

c) \[S = \int\limits_1^2 {\left| {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right|} \,{\rm{d}}x\].

d) \[S = \frac{1}{2}\].

Cho hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm như trong hình bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và \(d\) có diện tích \(S = \frac{{125}}{9}\).

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Phương trình đường thẳng \[d\] là \[y = x + 2\].

b) \[\int\limits_1^6 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 5\].

c) \[S = \int\limits_1^6 {\left[ {f\left( x \right) - \left( {x + 2} \right)} \right]{\rm{d}}x} \].

d) \[\int\limits_1^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \frac{{745}}{{18}}\].

Cho hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} + x + 3\left( P \right)\] và \[y =  - {x^2} + 2x + 1\left( H \right)\].

Gọi \({S_1},{S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( P \right)\) và \(\left( H \right)\) như hình vẽ. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Diện tích phần hình phẳng \(\left( E \right)\) được gạch sọc tính theo công thức \[\int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^3} + 2{x^2} + x - 2} \right){\rm{d}}x} \].

b) \({S_1} = 3{S_2}\).

c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( H \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 2\) bằng \(\frac{{10}}{3}\).

d) Khi quay hình phẳng \(\left( E \right)\) quanh trục \[Ox\] ta được khối tròn xoay có thể tích \(V = \frac{{185}}{{21}}\).

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho nửa hình tròn \(\left( C \right):\,{x^2} + {y^2} = 8,y \ge 0\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \(\left( C \right)\) là: \(S = \int\limits_0^{2\sqrt 2 } {\sqrt {8 - {x^2}} } dx\).

b) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \(\left( C \right)\) quanh trục hoành là: \(V = \pi \int\limits_{ - 2\sqrt 2 }^{2\sqrt 2 } {\left( {8 - {x^2}} \right)dx} \).

c) Đường thẳng \(y = 2\) chia nửa hình tròn \(\left( C \right)\) thành hai phần, phần có diện tích bé hơn bằng \(2\pi  - 8\).

d) Parabol \(\left( P \right):\,y = \frac{{{x^2}}}{2}\) chia hình tròn thành hai phần. Gọi \({S_1}\) là diện tích phần nhỏ, \({S_2}\) là diện tích phần lớn. Tỉ số \[\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} < 1\].

Diện tích hình phẳng \(S\) giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = {x^2} - 5x + 4\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 3\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Diện tích \(S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 5x + 4} \right|} {\rm{d}}x\).

b) Diện tích \(S = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 5x + 4} \right)} {\rm{d}}x\).

c) \(S = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 5x + 4} \right)} {\rm{d}}x = \left( {\frac{1}{3}{x^3} - \frac{5}{2}{x^2} + 4x} \right)\left| {\mathop {}\limits_0^3 } \right.\).

d) Diện tích \(S = \frac{{31}}{6}\).

Cho \({S_1},{S_2}\) là diện tích các hình phẳng được mô tả trong hình bên.

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Diện tích hình phẳng \(S\)giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y =  - {x^2} + 4x\), trục hoành và \(x = 0,x = 4\) bằng \(\frac{{32}}{3}\).

b) Diện tích \[{S_1} = \frac{9}{2}\].

c) Diện tích \({S_2} = 8\).

d) \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{27}}{{37}}\)

Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi \((C):y = {x^2}\), đường thẳng \(x = a,(a > 0)\), và 2 trục tọa độ. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) \(S = \int\limits_0^a {{x^2}} dx\).

b) \(S = \frac{{{a^3}}}{3}\).

c) Nếu \(S = \frac{1}{2}\) thì \(a = 1\).

d) Khi \(a = 1\). Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) xung quanh trục \(Ox\) bằng \(\frac{1}{3}\).

 Các mệnh đề sau đây đúng hay sai

A. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2}\), \(y = 2x\), \(x = 0,x = 1\) là \(\frac{4}{3}\).

B. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y =  - {x^2} + 2x + 1\], \[y = 2{x^2} - 4x + 1\], \(x = 0,x = 2\) là \[4\].

C. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\), trục hoành, \(x = 0,x = 1\) là \(2\ln 2 - 1\).

D. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y =  - {x^3} + 12x\), \(y =  - {x^2}\), \(x =  - 3,x = 4\) là \[\frac{{937}}{{12}}\]

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = 0,x =  - 1\) và \(x = 4\) (như hình vẽ bên). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

A. \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{dx}}}  - \int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{dx}}} \).

B. \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{dx}}}  + \int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{dx}}} \).

C. \(S =  - \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{dx}}}  - \int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{dx}}} \).

D. \(S =  - \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{dx}}}  + \int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{dx}}} \).

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi cá đường \(y = f\left( x \right),\)\(y = 0,\,\,x =  - 2\) và \(\,x = 3\) (như hình vẽ). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

A. \(S =  - \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  - \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

B. \(S = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  - \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

C. \(S =  - \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

D. \(S = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Cho hình phẳng được gạch chéo trong hình bên dưới.

Các mệnh đề sau đây đúng hay sai

A. Hình phẳng được gạch chéo trong hình trên được giới hạn các đồ thị \(y = {x^2} - 2x - 2\), \(y =  - {x^2} + 2\), \(x =  - 1,x = 2\).

B. Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)} dx\).

C. Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {2{x^2} - 2x - 4} \right|} dx\).

D. Hình phẳng được gạch chéo trong hình trên được giới hạn các đồ thị \(y = {x^2} - 2x - 2\), \(y =  - {x^2} + 2\), \(x = 0,x = 2\).

Cho hình phẳng được gạch chéo trong hình bên dưới.

Các mệnh đề sau đây đúng hay sai

A. Hình phẳng được gạch chéo trong hình trên được giới hạn các đồ thị \[y = {x^2};y = 0;x = 1;x = 2\].

B. Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là \[\int\limits_1^2 {{x^2}dx} \].

C. Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bằng \(\frac{4}{3}\).       

D. Hình phẳng được gạch chéo trong hình trên được giới hạn các đồ thị \[y = {x^2};y = 0;x = 0;x = 2\].

Cho hình phẳng được tô màu trong hình bên dưới.

Các mệnh đề sau đây đúng hay sai

A. Hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn các đồ thị \[y = 5x - {x^2};y = x;x = 0;x = 4\].

B. Diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ là \[\int\limits_1^4 {\left( {{x^2} - 4x} \right)dx} \].

C. Diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ là \[\int\limits_1^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} \].

D. Diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ là \[\int\limits_4^1 {\left( {{x^2} - 4x} \right)dx} \].

Cho hình phẳng \[\left( D \right)\] được tô màu trong hình bên dưới.

Các mệnh đề sau đây đúng hay sai

A. Hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn các đồ thị \[y = 1 + \frac{1}{x};x = 0;x = 1;x = 4\].

B. Diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ là \[\int\limits_1^2 {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)dx} \].

C. Diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ bằng \[S = 1 + \ln 2\].   

D. Hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn các đồ thị \[y = 1 + \frac{1}{x};y = 0;x = 1;x = 4\].

Cho hình phẳng được tô màu trong hình bên dưới.

Các mệnh đề sau đây đúng hay sai

A. Hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn các đồ thị \[y = {e^x};y = 0;x = 0;x = 1\].

B. Diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ là \[\int\limits_{ - 1}^1 {{e^x}dx} \].

C. Diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ bằng \[\int\limits_0^1 {{e^x}dx} \].           

D. Hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn các đồ thị \[y = {e^x};y = 0;x =  - 1;x = 1\].

Cho hình phẳng được tô màu trong hình bên dưới.

Các mệnh đề sau đây đúng hay sai

A. Hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn các đồ thị \[y = x + 1;y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x};x = 0;x = 2\].

B. Diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ là \[\int\limits_0^2 {\left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^x} - x - 1} \right]dx} \].

C. Diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ bằng \[S = 4 - \frac{3}{{4\ln 2}}\].    

D. Hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn các đồ thị \[y = x + 1;y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x};x = 1;x = 2\].

Cho đồ thị hàm số \[y = f\left( t \right)\] như hình vẽ.

Các mệnh đề sau đây đúng hay sai

A. Diện tích hình phẳng được giới hạn các đồ thị hàm số \[y = f\left( t \right)\], trục \[Ot\] và hai đường thẳng là:\[t = 0;t = 1\] là \[S = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {tdt}  = \frac{1}{4}\].

B. Diện tích hình phẳng được giới hạn các đồ thị hàm số \[y = f\left( t \right)\], trục \[Ot\] và hai đường thẳng là:\[t = 1;t = 2\] là \[S = \int\limits_1^2 {2dt}  = 2\].

C. Tích phân \[\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} \] biểu thị cho phần diện tích của hình phẳng giới hạn các đồ thị hàm số \[y = f\left( t \right)\], trục \[Ot\] và hai đường thẳng là:\[t = 2;t = 3\].        

D. Tích phân \[\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} \] biểu thị cho phần diện tích của hình phẳng giới hạn các đồ thị hàm số \[y = f\left( t \right)\], trục \[Ot\] và hai đường thẳng là:\[t = 3;t = 5\].