11 bài tập Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số f(x) và g(x) (có lời giải)

Ta có \[S = \int\limits_{ - 3}^4 {\left| { - {x^3} + 4x} \right|{\rm{d}}x}  = \frac{{201}}{4}\](đvdt)

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là nghiệm của phương trình:\({x^2} + x - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\).Diện tích hình phẳng \(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|{\rm{d}}x} \)\( =  - \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {{x^2} + x - 2} \right){\rm{d}}x}  = \frac{9}{2}\).

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2}\]và trục hoành là:\[{x^3} - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\].Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2}\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = 1\], \[x = 4\] bằng:\[S = \int\limits_1^4 {\left| {{x^3} - 3{x^2}} \right|} {\rm{d}}x = \int\limits_1^3 {\left| {{x^3} - 3{x^2}} \right|} {\rm{d}}x + \int\limits_3^4 {\left| {{x^3} - 3{x^2}} \right|} {\rm{d}}x = \left| {\int\limits_1^3 {\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} {\rm{d}}x} \right| + \left| {\int\limits_3^4 {\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} {\rm{d}}x} \right|\]\[ = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^3}} \right)} \right|_1^3} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^3}} \right)} \right|_3^4} \right| = 6 + \frac{{27}}{4} = \frac{{51}}{4}\].

\(S = \int\limits_0^2 {\left| {{e^x}} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^2 {{e^x}{\rm{d}}x}  = {e^2} - 1\).

\(S = \int\limits_1^e {\left| {\frac{1}{x}} \right|} dx = \int\limits_1^e {\frac{1}{x}} dx = \ln x\left| {_1^e} \right. = \ln e - \ln 1 = 1\). Vậy \(S = 1\).

Ta thấy \[\sin x + 1 \ge 0{\rm{  }}\forall x \in \left( {0;{\rm{ }}\frac{{7\pi }}{6}} \right)\] nên diện tích \({\rm{S}}\) cần tìm bằng:s=∫07π6sinx+1dx=∫07π6(sinx+1)dx=(-cos7π6+7π6)-(-cos0+0)=32+7π6+1s

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: \( - {x^2} + 4 =  - x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\).Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y =  - {x^2} + 4\) và \(y =  - x + 2\) là:\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( { - {x^2} + 4} \right) - \left( { - x + 2} \right)} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^2} + x + 2} \right){\rm{d}}x}  = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^2 = \frac{9}{2}\).

\[S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| { - {x^2} - x + 1 - 2} \right|} {\rm{d}}x\]\[ = \int\limits_{ - 1}^1 {({x^2}}  + x + 1){\rm{d}}x\].

\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} + 1} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{e^x} + 1} \right)dx} \)do \(\left( {{x^2} + 2 > 0\forall x \in \left( {1;2} \right)} \right)\)

\(S = \int\limits_0^\pi  {\left| {2\sin x - 3} \right|dx}  = \int\limits_0^\pi  {\left( {3 - 2\sin x} \right)dx} \).

Phương trình hoành độ giao điểm \({x^3} - x = x - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = x - {x^2}\) là:\(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} - x - \left( {x - {x^2}} \right)} \right|} dx = \left| {\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} } \right|\)\( = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_{ - 2}^0} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_0^1} \right| = \left| { - \left( {\frac{{16}}{4} - \frac{8}{3} - 4} \right)} \right| + \left| {\left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1} \right)} \right| = \frac{{37}}{{12}}\).