Phương trình bậc nhất Và phương trình bậc hai một ẩn

Xét phương trình m-3x=m2-2m-3

+) m - 3 =0⇔ m=3 thì phương trình đã cho trở thành: 0x = 0 luôn đúng mọi x.

Do đó với m = 3 thì phương trình có vô số nghiệm

+) m-3≠0 ⇔m≠3 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất x=m2-2m-3m-3=m+1

Do đó với m≠3 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = m+1.

Vậy A, B sai và C đúng. Đáp án là C.

* Khi m = 3 thì phương trình đã cho trở thành :  x² + 3x+ 3 = 0

Phương trình này có :  ∆=32-4.1.3=-3<0 nên phương trình vô nghiệm.

* Khi m = -1 thì phương trình đã cho trở thành :  x² - 5x+ 3 = 0

Phương trình này có :  ∆=(-5)2-4.1.3=13>0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁; x₂. Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: x₁.x₂ = 3.

Đáp án là C.

* Nếu m = 2 thì phương trình (*) trở thành :2x² + x + 2 = 0

có  ∆=1-4.2.2=-15<0 nên phương trình vô nghiệm loại phương án A và phương án B.

* Với m = 4 thì phương trình (*) trở thành : 4x²+ 13x + 4 = 0 phương trình này có 2 nghiệm phân biệt là [x=-B+158<0x=-13-058<0

Vậy đáp án là D.

Phương trình  p(p- 2)x = p² – 4  có nghiệm duy nhất khi :

 

pp-2≠0⇔p≠0p≠2

Chọn đáp án D

Ta có: 

mx+m=3x+m⇔mx+m2=3x+3m⇔m-3x=3m-m2

Để phương trình đã cho có vô số nghiệm khi và chỉ khi:

m-3=03m-m2=0⇔m=3[m=0⇔m=3m=3

Chọn đáp án D.

Ta có:

   m(x-m+2)=m(x-1)+2⇔mx-m2+2m=mx-m+2⇔0x=m2-3m+2 (*)

Để phương trình (*) vô nghiệm thì m2-3m+2≠0⇔m-2m-1≠0⇔m≠2m≠1

Vậy với m≠1;m≠2 thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn đáp án là D.

Ta có:

mx2+2m=mx+2⇔m2x-mx=2-2m⇔m2-mx=21-m⇔mm-1x=21-m  (*).

 *Khi m = 0  thì phương trình (*) trở thành:  0x = 2 vô lí nên phương trình vô nghiệm.

* Khi m = 1 thì phương trình (*) trở thành:  0x = 0 luôn đúng với mọi x nên phương trình vô số nghiệm.

* Khi m≠0 và  m≠1 thì phương  trình (*) là phương trình bậc nhất nên có nghiệm duy nhất.

Từ đó suy ra các phương án A B, D đúng và phương án C sai.

Phương trình ax + b = 0 có nghiệm duy nhất khi a≠0 .

Xét phương trình m2+1x+2=0 có hệ số a= m² + 1> 0  với mọi m.

Do đó, phương trình này luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của m.

Phương trình ax + b = 0 hoặc ax = b vô nghiệm khi a= 0 và b≠0.

Xét phương án C:

mmx-1=m2x+1-m⇔m2x-m=m2x+1-m

⇔0x=1  (vô lí) nên phương trình này vô nghiệm.

Chọn C.

Ta có: 2x-1.x-mx-1=0⇔[2x-1=0    (a)x-mx-1=0 (b) 

Suy ra tập nghiệm của (*) là hợp hai tập nghiệm của (a) và của (b).

Phương trình (a) luôn có nghiệm duy nhất là 12, vậy phương án B đúng và phương án A sai.

Xét thêm các khẳng định còn lại.

  * Khi m = -1 thì (b ) trở thành:  x + x  - 1= 0  ⇔2x-1=0⇔x=12

Vậy khi m = -1 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=12.

*Khi m = 1 thì phương trình (b) trở thành:  x – x – 1= 0 hay 0x- 1 = 0 vô lí nên phương trình (b) vô nghiệm.

Vậy với m=1 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=12.

 Vậy phương án C và D đều đúng, tức là loại C và D.

Chọn A.

Phương trình x² – (m-1) x+ m =0 có hệ số a= 1; b = m+ 1; c =  m

Nên  ta có a+ b + c = 0 suy ra phương trình luôn có hai nghiệm là 1 và m,

Tức là phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m≠1.

Chọn đáp án D.

*Xét phương trình  (m² +1).x² – (m- 6)x -  2= 0 có

∆=m-62-4.-2m2+1=9m2-12m+44=3m-22+40>0 với mọi m

Nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

* Phương trình x2+m+3x-1=0 có ac= 1. (-1) < 0 nên phương  trình này luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

* Xét (3) mx² - 2x – m = 0  . Khi m= 0 thì (3) trở thành:  - 2x = 0 đây là phương trình bậc nhất có nghiệm duy nhất là x = 0.

* Xét (4) có :

∆=-2m2-4.2-1-m=4m2+8+8m=4m2+8m+4+4=4m+12+4>0 ∀m

 Nên trình (4) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Chọn C.

Phương trình mx2+2x+1=0 (*) có ∆'=1-m.

+) m = 0 thì (*) ⇔2x+1=0⇔x=-12

Phương trình có nghiệm duy nhất x=-12

+) m≠0 thì 

Nếu ∆' <0⇔1-m<0⇔m>1 thì phương trình vô nghiệm  nên phương án A đúng và phương án C sai, vậy loại A và chọn C.

Nếu ∆' >0⇔1-m>0⇔m<1 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt nên phương án B đúng, loại B.

Nếu ∆' =0⇔1-m=0⇔m=1 thì phương trình đã cho trở thành: x² + 2x + 1 = 0 có nghiệm duy nhất là x = -1.

 nên phương án D đúng, loại D.

Chọn C.

* Ta có:

2x-3.mx2-m+2x+1-m=0⇔[2x-3=0⇒x=32mx2-m+2x+1-m=0

Do đó, phương  trình đã  cho luôn có nghiệm x=32 với mọi m.

Khẳng định A đúng.

*  Khi m = 0 thì phương trình đã cho trở thành:  (2x -3). ( -2x + 1)= 0

⇔[2x-3=0-2x+1=0⇔[x=32x=12

Khẳng định B đúng.

* Khi m = -8 thì (*) trở thành: (2x – 3). (- 8x²  + 6x + 9) =0

⇔[2x-3=0-8x2+6x+9=0⇔[x=32x=-34

Khẳng định D đúng.

Chọn  C.

Ta có m2+1x-m-1x2-2mx-1+2m=0

⇔[m2+1x-m-1=0 (a)x2-2mx-1+2m=0 (b)

Phương trình (a) có m² + 1 >0 với mọi m nên phương trình này luôn có 1 nghiệm

Phương trình (b) có ∆'=m2-1.-1+2m=m2-2m+1=m-12≥0 ∀m

Nếu m=1 thì phương trình (b) có nghiệm kép . Suy ra, phương trình (*) không thể có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy A sai .

Ta có: ∆'=-22-1.m-3=4-m+3=7-m

* Để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi:

∆'>0S=-ba>0P=ca>0⇔7-m>04>0m-3>0⇔m<7m>3⇔3<m<7

* Để phương trình đã cho có 2 nghiệm âm phân biệt khi:

∆'>0S=-ba<0P=ca>0⇔7-m>04<0 (vô lí)m-3>0

Do đó, không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm âm phân biệt.

Chọn D.

Ta xét từng phương án :

Khi m= 1 thì phương trình đã cho trở thành:  -3x – 1= 0

Phương trình này có nghiệm duy nhất là x=-13

=> D đúng.

Khi m≠1

Ta có:  ∆=-32-4.m-1.-1=9+4m-4=4m+5

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ∆>0⇔4m+5>0⇔m>-54

Áp dụng định lý Vi - et, ta có: x1+x2=3m-1x1.x2=-1m-1

- Để phương trình có hai nghiệm âm khi 

x1+x2=3m-1<0x1.x2=-1m-1>0⇔m-1<0m-1<0⇔m<1

Suy ra với -54<m<1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm âm.

⇒C sai.

- Để phương trình có hai nghiệm trái dấu khi: -1(m-1)<0⇔m-1>0⇔m>1

⇒A đúng

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn x1<0<x2x1<x2⇔x1<0<x2x12<x22⇔x1<0<x2x1-x2x1+x2<0⇒x1<0<x2x1+x2<0⇔x1+x2=3m-1>0x1.x2=-1m-1<0⇔m>1

Do đó khẳng định B đúng

Chọn C.

Phương trình m+2x2+2m+1x+2=0 (*) có hai nghiệm trái dấu khi

ac=2(m+2)<0⇔m+2<0 hay m < -2 , vậy phương án A đúng và khi m = -5 và khi m = -3 thì phương trình (*) cũng có hai nghiệm trái dấu. 

* Khi m = -5 thì phương trình đã cho trở thành: -3x² – 9x + 2= 0 có ac = (-3).2 = -6< 0 nên phương trình có 2 nghiệm và tổng hai nghiệm: x1+x2=-ba=9-3=-3  , phương án C đúng.

* Khi m = -3 thì phương trình đã cho trở thành: -x² – 5x + 2 = 0 có ac = (-1).2 = -2< 0 nên phương trình có 2 nghiệm và tổng 2 nghiệm là: x1+x2=-ba=5-1=-5 , do vậy nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn, vậy phương án D đúng.

* Xét B: Phương trình (*) có ∆=2m+12-4.m+2.2=4m2+4m+1-8m-16=4m2-4m-15

  Khi m = 0 thì ∆=-15 nên phương trình (*) vô nghiệm, vậy phương án B sai.

Chọn đáp án là B.

* Phương trình  2x2-m+1x+m+3=0 có ac = 2(m + 3) < 0 khi m < -3, vậy phương án B đúng.

* Xét một giá trị m lớn hơn -1 và lớn hơn -3, chẳng hạn m =0 thì phương trình (*) trở thành :
2x² – x +  3= 0 và∆=-12-4.2.3=-23<0 , tức là phương trình (*) vô nghiệm, vậy các phương án A, C, D đều sai.