Phương trình bậc nhất Và phương trình bậc hai một ẩn

Ta có: $\left(2x-1\right).\left(x-mx-1\right)=0\iff [\begin{array}{l}2x-1=0 \left(a\right)\\ x-mx-1=0 \left(b\right)\end{array}$ 

Suy ra tập nghiệm của (*) là hợp hai tập nghiệm của (a) và của (b).

Phương trình (a) luôn có nghiệm duy nhất là $\frac{1}{2}$, vậy phương án B đúng và phương án A sai.

Xét thêm các khẳng định còn lại.

  * Khi m = -1 thì (b ) trở thành:  x + x  - 1= 0  $\iff 2x-1=0\iff x=\frac{1}{2}$

Vậy khi m = -1 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=\frac{1}{2}$.

*Khi m = 1 thì phương trình (b) trở thành:  x – x – 1= 0 hay 0x- 1 = 0 vô lí nên phương trình (b) vô nghiệm.

Vậy với m=1 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x=\frac{1}{2}$.

 Vậy phương án C và D đều đúng, tức là loại C và D.

Chọn A.

Phương trình x² – (m-1) x+ m =0 có hệ số a= 1; b = m+ 1; c =  m

Nên  ta có a+ b + c = 0 suy ra phương trình luôn có hai nghiệm là 1 và m,

Tức là phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m\ne 1$.

Chọn đáp án D.

*Xét phương trình  (m² +1).x² – (m- 6)x -  2= 0 có

$∆={\left(m-6\right)}^2-4.\left(-2\right)\left(m^2+1\right)=9m^2-12m+44={\left(3m-2\right)}^2+40>0$ với mọi m

Nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

* Phương trình $x^2+\left(m+3\right)x-1=0$ có ac= 1. (-1) < 0 nên phương  trình này luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

* Xét (3) mx² - 2x – m = 0  . Khi m= 0 thì (3) trở thành:  - 2x = 0 đây là phương trình bậc nhất có nghiệm duy nhất là x = 0.

* Xét (4) có :

$$\begin{gathered} ∆={\left(-2m\right)}^2-4.2\left(-1-m\right)=4m^2+8+8m \\ =\left(4m^2+8m+4\right)+4=4{\left(m+1\right)}^2+4>0 \forall m \end{gathered}$$

 Nên trình (4) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Chọn C.

Phương trình $m{x}^2+2x+1=0$ (*) có $∆\text{'}=1-m$.

+) m = 0 thì (*) $\iff 2x+1=0\iff x=-\frac{1}{2}$

Phương trình có nghiệm duy nhất $x=-\frac{1}{2}$

+) $m\ne 0$ thì 

Nếu ∆' <0$\iff 1-m<0\iff m>1$ thì phương trình vô nghiệm  nên phương án A đúng và phương án C sai, vậy loại A và chọn C.

Nếu ∆' >0$\iff 1-m>0\iff m<1$ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt nên phương án B đúng, loại B.

Nếu ∆' =0$\iff 1-m=0\iff m=1$ thì phương trình đã cho trở thành: x² + 2x + 1 = 0 có nghiệm duy nhất là x = -1.

 nên phương án D đúng, loại D.

Chọn C.

* Ta có:

$$\begin{gathered} \left(2x-3\right).\left[m{x}^2-\left(m+2\right)x+1-m\right]=0 \\ \iff [\begin{array}{l}2x-3=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}\\ m{x}^2-\left(m+2\right)x+1-m=0\end{array} \end{gathered}$$

Do đó, phương  trình đã  cho luôn có nghiệm $x=\frac{3}{2}$ với mọi m.

Khẳng định A đúng.

*  Khi m = 0 thì phương trình đã cho trở thành:  (2x -3). ( -2x + 1)= 0

$\iff [\begin{array}{l}2x-3=0\\ -2x+1=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ x=\frac{1}{2}\end{array}$

Khẳng định B đúng.

* Khi m = -8 thì (*) trở thành: (2x – 3). (- 8x²  + 6x + 9) =0

$\iff [\begin{array}{l}2x-3=0\\ -8x^2+6x+9=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ x=-\frac{3}{4}\end{array}$

Khẳng định D đúng.

Chọn  C.

Ta có $\left[\left(m^2+1\right)x-m-1\right]\left(x^2-2mx-1+2m\right)=0$

$\iff [\begin{array}{l}\left(m^2+1\right)x-m-1=0 \left(a\right)\\ x^2-2mx-1+2m=0 \left(b\right)\end{array}$

Phương trình (a) có m² + 1 >0 với mọi m nên phương trình này luôn có 1 nghiệm

Phương trình (b) có $∆\text{'}=m^2-1.\left(-1+2m\right)=m^2-2m+1={\left(m-1\right)}^2\ge 0 \forall m$

Nếu m=1 thì phương trình (b) có nghiệm kép . Suy ra, phương trình (*) không thể có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy A sai .

Ta có: $∆\text{'}={\left(-2\right)}^2-1.\left(m-3\right)=4-m+3=7-m$

* Để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi:

$\left\{\begin{array}{l}∆\text{'}>0\\ S=\frac{-b}{a}>0\\ P=\frac{c}{a}>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}7-m>0\\ 4>0\\ m-3>0\end{array}\iff \right.\left\{\begin{array}{l}m<7\\ m>3\end{array}\iff 3<m<7\right.$

* Để phương trình đã cho có 2 nghiệm âm phân biệt khi:

$\left\{\begin{array}{l}∆\text{'}>0\\ S=\frac{-b}{a}<0\\ P=\frac{c}{a}>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}7-m>0\\ 4<0 (vô lí)\\ m-3>0\end{array}\right.$

Do đó, không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm âm phân biệt.

Chọn D.

Ta xét từng phương án :

Khi m= 1 thì phương trình đã cho trở thành:  -3x – 1= 0

Phương trình này có nghiệm duy nhất là $x=-\frac{1}{3}$

=> D đúng.

Khi $m\ne 1$

Ta có:  $∆={\left(-3\right)}^2-4.\left(m-1\right).\left(-1\right)=9+4m-4=4m+5$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $∆>0\iff 4m+5>0\iff m>-\frac{5}{4}$

Áp dụng định lý Vi - et, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{3}{m-1}\\ x_1.x_2=-\frac{1}{m-1}\end{array}\right.$

- Để phương trình có hai nghiệm âm khi 

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{3}{m-1}<0\\ x_1.x_2=-\frac{1}{m-1}>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m-1<0\\ m-1<0\end{array}\right.\iff m<1$

Suy ra với $-\frac{5}{4}<m<1$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm âm.

$\Rightarrow$C sai.

- Để phương trình có hai nghiệm trái dấu khi: -1(m-1)<0$\iff m-1>0\iff m>1$

$\Rightarrow$A đúng

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}{x}_1<0<x_2\\ \left|x_1\right|<\left|x_2\right|\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1<0<x_2\\ {x_1}^2<{x_2}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1<0<x_2\\ \left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)<0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1<0<x_2\\ x_1+x_2<0\end{array}\right.\iff$$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{3}{m-1}>0\\ x_1.x_2=\frac{-1}{m-1}<0\end{array}\right.\iff m>1$

Do đó khẳng định B đúng

Chọn C.

Phương trình $\left(m+2\right)x^2+\left(2m+1\right)x+2=0$ (*) có hai nghiệm trái dấu khi

$ac=2(m+2)<0\iff m+2<0$ hay m < -2 , vậy phương án A đúng và khi m = -5 và khi m = -3 thì phương trình (*) cũng có hai nghiệm trái dấu. 

* Khi m = -5 thì phương trình đã cho trở thành: -3x² – 9x + 2= 0 có ac = (-3).2 = -6< 0 nên phương trình có 2 nghiệm và tổng hai nghiệm: $x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{9}{-3}=-3$  , phương án C đúng.

* Khi m = -3 thì phương trình đã cho trở thành: -x² – 5x + 2 = 0 có ac = (-1).2 = -2< 0 nên phương trình có 2 nghiệm và tổng 2 nghiệm là: $x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{5}{-1}=-5$ , do vậy nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn, vậy phương án D đúng.

* Xét B: Phương trình (*) có $∆={\left(2m+1\right)}^2-4.\left(m+2\right).2=4m^2+4m+1-8m-16=4m^2-4m-15$

  Khi m = 0 thì $∆=-15$ nên phương trình (*) vô nghiệm, vậy phương án B sai.

Chọn đáp án là B.

* Phương trình  $2x^2-\left(m+1\right)x+m+3=0$ có ac = 2(m + 3) < 0 khi m < -3, vậy phương án B đúng.

* Xét một giá trị m lớn hơn -1 và lớn hơn -3, chẳng hạn m =0 thì phương trình (*) trở thành :
2x² – x +  3= 0 và$∆={\left(-1\right)}^2-4.2.3=-23<0$ , tức là phương trình (*) vô nghiệm, vậy các phương án A, C, D đều sai.