Ôn tập Phép nhân và phép chia đa thức có đáp án - Phần 4

Chứng minh rằng ${199}^3-199$ chia hết cho 200.

Tính giá trị của biểu thức sau, biết $x^3-x=6$

$A=x^6-2x^4+x^2-x$

Phân tích thành nhân tử:

a) $a\left(b^2+c^2+bc\right)+b\left(c^2+a^2+ac\right)+c\left(a^2+b^2+ab\right);$

b) $\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc;$

c) $a{\left(a+2b\right)}^3-b{\left(2a+b\right)}^3.$

Phân tích thành nhân tử:

a) $ab(a+b) -bc(b+c) +ac(a-c)$

b) $a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)+2abc;$

c) $\left(a+b\right)\left(a^2-b^2\right)+\left(b+c\right)\left(b^2-c^2\right)+\left(c+a\right)\left(c^2-a^2\right);$

d) $a^3\left(b-c\right)+b^3\left(c-a\right)+c^3\left(a-b\right);$

e) $a^3\left(c-b^2\right)+b^3\left(a-c^2\right)+c^3\left(b-a^2\right)+abc\left(abc-1\right).$

Phân tích thành nhân tử:

a) $a(b+c{)}^2(b-c)+a(c+a{)}^2(c-a)+c(a+b{)}^2(a-b)$

b) $a{\left(b-c\right)}^3+a{\left(b-a\right)}^3+c{\left(a-b\right)}^3;$

c) $a^2{b}^2\left(a-b\right)+b^2{c}^2\left(b-c\right)+c^2{a}^2\left(c-a\right);$

d) $a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)2abc-a^3-b^3-c^3;$

e) $a^4\left(b-c\right)+b^4\left(c-a\right)+c^4\left(a-b\right).$

Phân tích thành nhân tử:

a) ${\left(a+b+c\right)}^3-{\left(a+b-c\right)}^3-{\left(b+c-a\right)}^3-{\left(c+a-b\right)}^3.$

b) $abc-\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)-1.$

Chứng minh rằng trong ba số a, b, c, tồn tại hai số bằng nhau, nếu: $a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)=0.$

Chứng minh rằng nếu $a^2+b^2=2ab$ thì a=b

Chứng minh rằng nếu $a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd$ và a, b, c là các số dương thì a=b=c=d

Chứng minh rằng nếu m=a+b+c thì $\left(am+bc\right)\left(bm+ac\right)\left(cm+ab\right)={\left(a+b\right)}^2{\left(b+c\right)}^2{\left(c+a\right)}^2.$

Cho $a^2+b^2=1,c^2+d^2=1,ac+bd=0$. Chứng minh rằng ab+cd=0

Xét hằng đẳng thức $(x+1{)}^2=x^2+2x+1$

Lần lượt cho x bằng 1, 2, 3, ..., n rồi cộng từng vế n đẳng thức trên để tính giá trị của biểu thức $S_1=1+2+3+\mathrm{...}+n.$

Bằng phương pháp tương tự như ở ví dụ 14 và bài tập 74, tính giá trị của biểu thức $S_3=1^3+2^3+3^3+\mathrm{...}+n^3.$

Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B: $A=3x^{n-1}{y}^6-5x^{n+1}{y}^4;B=2x^3{y}^n.$

Tìm thương A : B trong trường hợp đó.

Xác định các số hữu tỉ a và b để đa thức $x^3+ax+b$ chia hết cho đa thức $x^2+x-2.$

Thực hiện phép tính:

a) $8^{12}:4^6$

b) ${27}^6:9^2$

c) $\frac{9^{15}{.25}^3{.4}^3}{3^{10}{.50}^6}.$

Chứng minh rằng biểu thức sau không âm với mọi giá trị của biến 

$A=\left(-15x^3{y}^6\right):\left(-5x{y}^2\right).$

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến $\left(x\ne 0;y\ne 0\right):$

$B=\frac{2}{3}{x}^2{y}^3:\left(-\frac{1}{3}xy\right)+2x\left(y-1\right)\left(y+1\right).$

Tìm số tự nhiên n để đơn thức A chia hết cho đơn thức B:

$A=4x^{n+1}{y}^2;B=3x^3{y}^{n-1}.$

Thực hiện phép tính:

a) $\left(\frac{1}{2}{a}^2{x}^4+\frac{4}{3}a{x}^3-\frac{2}{3}a{x}^2\right):\left(-\frac{2}{3}a{x}^2\right)$

b) $4\left(\frac{3}{4}x-1\right)+\left(12x^2-3x\right):\left(-3x\right)-\left(2x+1\right).$

Thực hiện phép tính rồi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=\left(9x{y}^2-6x^{2}y\right):\left(-3xy\right)+\left(6x^{2}y+2x^4\right):\left(2x^2\right).$

Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B: $A=7x^{n-1}{y}^5-5x^3{y}^4\text{ ;}B=5x^2{y}^n.$

Rút gọn biểu thức: $\left[\left(x^3+y^3\right)-2\left(x^2-y^2\right)+3{\left(x+y\right)}^2\right]:\left(x+y\right).$

Chia các đa thức:

a) $\left(3x^4-2x^3-2x^2+4x-8\right):\left(x^2-2\right);$

b) $\left(2x^3-26x-24\right):\left(x^2+4x+3\right);$

c) $\left(x^3-7x+6\right):\left(x+3\right).$

Xác định hằng số a sao cho:

a) $4x^2-6x+a$ chia hết cho x-3

b) $2x^2+x+a$ chia hết cho x+3

c) $x^3+a{x}^2-4$ chia hết cho $x^2+4x+4.$