Ôn tập Phân thức đại số có đáp án - Phần 7

Số chính phương không có tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. Xét các số có tận cùng 50, 51, 54, 55, 56, 59 : các số có tận cùng bằng 50, 54 có dạng BS 4 + 2, các số có tận cùng 51, 55, 59 có dạng BS 4 + 3, chúng đều không là số chính phương.

Vậy số chính phương đã cho có tận cùng bằng 56, chữ số hàng đơn vị bằng 6.

Ví dụ : 162=256, 342=1156.

Gọi n2=(10a+b)2=10(10a2+2ab)+b2. Chữ số hàng đơn vị phải tìm là chữ số tận cùng của b2.

Theo đề bài, chữ số hàng chục của n2 là chữ số lẻ nên chữ số hàng chục của b2 phải lẻ. Xét các giá trị của b từ 0 đến 9, chỉ có b2=16, b2=36 có chữ số hàng chục lẻ, chúng đều tận cùng bằng 6. Vậy n2 có chữ số tận cùng bằng 6

Nếu n2 có chữ số hàng chục lẻ thì n phải có tận cùng bằng 4 hoặc 6. Ngược lại, nếu n có tận cùng bằng 4 hoặc 6 thì chữ số hàng chục của n2 là chữ số lẻ.

Từ 1 đến 100, có 20 số có tận cùng bằng 4 hoặc 6 (đó là các số 4, 6, 14, 16, …, 94, 96). Vậy có 20 số n phải tìm.

2n + 1 là số chính phương lẻ nên chia cho 8 dư 1 => n chẵn => 3n+1 là số chính phương lẻ, số này chia cho 8 dư 1 nên 3n chia hết cho 8, do đó n chia hết cho 8 (1).

Cách 1. 3n + 1 tận cùng 1, 5, 9 => 3n tận cùng 0, 4, 8 => n tận cùng 0, 8, 6. Loại trường hợp n tận cùng 8 (vì khi đó 2n + 1 tận cùng 7, không là số chính phương), loại trường hợp n tận cùng 6 (vì khi đó 2n + 1 tận cùng 3, không là số chính phương). Vậy n tận cùng 0 (2).

Từ (1) và (2) suy ra n chia hết cho 40.

Cách 2. 2n + 1, 3n + 1 là các số chính phương lẻ nên tận cùng bằng 1, 5, 9 do đó chia cho 5 dư 1, 0, 4. Tổng của chúng là 5n + 2 nên mỗi số 2n + 1 và 3n + 1 đều chia cho 5 dư 1, do đó 2n và 3n đều chia hết cho 5, vậy n chia hết cho 5(3).

Từ (1) và (3) suy ra n chia hết cho 40.

Xét p = 3k + 1 và p = 3k + 2 đều không xảy ra. Xét p = 3k, tìm được p = 3.

A=n2+7n+22=(n+5)(n+2)+12.

Các số n + 2 và n + 5 có hiệu bằng 3 nên chúng cùng chia hết hoặc cùng không chia hết cho 3. Nếu chúng cùng chia hết cho 3 thì (n + 5)(n + 2) chia hết cho 9, suy ra A không chia hết cho 9. Nếu chúng cùng không chia hết cho 3 (3 là số nguyên tố) thì  không chia hết cho 3, suy ra A không chia hết cho 3, do đó không chia hết cho 9.

Số n và n2 có tổng các chữ số bằng nhau nên n2-n chia hết cho 9. Ta lại có (n,  n−1)=1 nên n = BS 9 hoặc n = BS 9 + 1.