Ôn tập Phân thức đại số có đáp án - Phần 6
25 câu hỏi
Cho các số nguyên a, b, c. Chứng minh rằng: Nếu a+b+c chia hết cho 6 thì a3+b3+c3 chia hết cho 6
Xét hiệu
(a3+b3+c3)−(a+b+c)=(a3−a)+(b3−b)+(c3−c).
Mỗi biểu thức trong dấu ngoặc ở vế phải đều chia hết cho 6
Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn a+b+c=0. Chứng minh rằng: a3+b3+c3 chia hết cho 3abc
a+b+c=0⇒c=−(a+b).
Do đó
a3+b3+c3=a3+b3−(a+b)3=−3ab(a+b)=3abc.
=> chia hết cho 3abc
Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn a+b+c=0. Chứng minh rằng: a5+b5+c5 chia hết cho 5abc.
a+b+c=0⇒c=−(a+b).
Do đó
a5+b5+c5=a5+b5−(a+b)5=−5a4b−10a3b2−10a2b3−5ab4.
=−5ab(a3+2a2b+2ab2+b3).
Biểu thức trong dấu ngoặc bằng a3+b3+2ab(a+b)=(a+b)(a2−ab+b2)+2ab(a+b)
=(a+b)(a2+ab+b2).
Vậy a5+b5+c5=5abc(a2+ab+b2).
=> chia hết cho 5abc
Viết số 19951995 thành tổng của nhiều số tự nhiên. Tổng các lập phương của các số tự nhiên đó chia cho 6 dư bao nhiêu?
Đặt 19951995=a=a1+a2+...+an.
Gọi S=a13+a23+...+an3=(a13−a1)+(a23−a2)+...+(an3−an)+a.
Mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6. Chỉ cần tìm số dư khi chia a cho 6. Chú ý rằng 1995 là số lẻ chia hết cho 3 nên a cũng là số lẻ chia hết cho 3, do đó chia cho 6 dư 3. Vậy S chia cho 6 dư 3.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên a và b: a3b-ab3 chia hết cho 6
a3b−ab3=a3b−ab−ab3+ab=b(a3−a)−a(b3−b); biểu thức trong mỗi dấu ngoặc chia hết cho 6.
Chứng minh rằng mọi số tự nhiên đều viết được dưới dạng b3+6c trong đó b và c là các số nguyên
Gọi dạng tổng quát của mọi số tự nhiên là b (b thuộc N)
Ta có b3-b=b(b2-1)=b(b+1)(b-1)
Tích 3 số nguyên liên tiếp có ít nhất một số chẵn và một số chia hết cho 3 nên chia hết cho 6 => b3-b⋮6
⇒b3-b=-6c⇒b=b3+6c
Vậy mọi số tự nhiên đều viết được dưới dạng b3+6c.
Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên a, b, c thoả mãn điều kiện a2+b2=c2 thì abc chia hết cho 60.
Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.
Chứng minh rằng nếu tổng các lập phương của ba số nguyên chia hết cho 9 thì tồn tại một trong ba số đó là bội số của 3.
Cho dãy số 7, 13, 25, ..., 3nn−1+7n∈ℕ. Chứng minh rằng:
a) Trong năm số hạng liên tiếp của dãy, bao giờ cũng tồn tại một bội số của 25.
b) Không có số hạng nào của dãy là lập phương của một số nguyên.
a)
b)
Chứng minh rằng nếu số tự nhiên a không chia hết cho 7 thì a6−1 chia hết cho 7.
Chứng minh rằng nếu n là lập phương của một số tự nhiên thì (n-1)n(n+1) chia hết cho 504.
Chứng minh rằng A chia hết cho B với:
A=13+23+33+...+993+1003
B=1+2+3+...+99+100
Các số sau cố là số chính phương không?
a) A = 22...24 (có 50 chữ số 2)
b) B = 44...4 (có 100 chữ số 4)
Các số sau cố là số chính phương không?
a) A=19947+7
b) B = 144...4 (có 99 chữ số 4)
Có thể dùng cả năm chữ số 2, 3, 4, 5, 6 lập thành số chính phương có năm chữ số được không?
Số có năm chữ số tạo bởi các chữ số 2, 3, 4, 5, 6 là số chia cho 3 dư 2 nên không là số chính phương
Chứng minh rằng tổng của hai số chính phương lẻ không là số chính phương
Mỗi só chính phương lẻ chia cho 4 dư 1 nên tổng của chúng chia 4 dư 2, không là số chính phương.
Chứng minh rằng mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.
Chứng mình rằng: A=12+22+32+42+...+1002 không là số chính phương
A gồm 50 số chính phương chẵn, 50 số chính phương lẻ. Mỗi số chính phương chẵn chia hết cho 4 nên tổng của 50 số đó chia hết cho 4. Mỗi số chính phương lẻ chia cho 4 dư 1 nên tổng của 50 số đó chia cho 4 dư 2.
A là số chia cho 4 dư 2, không là số chính phương.
Chứng mình rằng: B=12+22+32+42+...+562 không là số chính phương
Chứng mình rằng: C = 1 + 3 +5 +7 +...+n là số chính phương (n lẻ)
Chứng minh rằng: Một số chính phương tận cùng bằng 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn
Chứng minh rằng: Một số chính phương lẻ thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn
Chứng minh rằng: Một số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
Chứng minh rằng: Một số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục bằng 2 và chữ số hàng trăm là chữ số chẵn.
Vậy số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục bằng 2 và chữ số hàng trăm là chữ số chẵn.
