Ôn tập Phân thức đại số có đáp án - Phần 3

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$:

$B=\left(1-\frac{2}{6}\right)\left(1-\frac{2}{12}\right)\left(1-\frac{2}{20}\right)\mathrm{...}\left(1-\frac{2}{n\left(n+1\right)}\right)>\frac{1}{3}$

Rút gọn biểu thức $A=\frac{2.4}{4.6}.\frac{6.8}{8.10}.\frac{10.12}{12.14}\mathrm{...}\frac{42.44}{44.46}$

Chứng minh rằng: 

a) $A=\frac{2^3+1}{2^3-1}.\frac{3^3+1}{3^3-1}.\frac{4^3+1}{4^3-1}.\mathrm{...}.\frac{9^3+1}{9^3-1}<\frac{3}{2}$

b) $B=\frac{2^3-1}{2^3+1}.\frac{3^3-1}{3^3+1}.\mathrm{...}.\frac{n^3-1}{n^3+1}>\frac{2}{3}$

Rút gọn biểu thức $P=\frac{\left(1^4+4\right)\left(5^4+4\right)\left(9^4+4\right)\mathrm{...}\left({21}^4+4\right)}{\left(3^4+4\right)\left(7^4+4\right)\left({11}^4+4\right)\mathrm{...}\left({23}^4+4\right)}$

Rút gọn biểu thức $M=\frac{1}{a^2-5a+6}+\frac{1}{a^2-7a+12}+\frac{1}{a^2-9a+20}+\frac{1}{a^2-11a+30}$

Rút gọn biểu thức $\left(\frac{n-1}{1}+\frac{n-2}{2}+\frac{n-3}{3}+\mathrm{...}+\frac{2}{n-2}+\frac{1}{n-1}\right):\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\mathrm{...}+\frac{1}{n}\right)$

Rút gọn biểu thức $\frac{A}{B}=\frac{\frac{1}{1\left(2n-1\right)}+\frac{1}{3\left(2n-3\right)}+\frac{1}{5\left(2n-5\right)}+\mathrm{...}+\frac{1}{\left(2n-3\right).3}+\frac{1}{\left(2n-1\right).1}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\mathrm{...}+\frac{1}{2n-1}}$

Cho abc = 1 (1) và $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ (2)

Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại một số bằng 1.

Cho hai số nguyên dương a và b trong đó a>b. Tìm số nguyên dương c khác b sao cho $\frac{a^3+b^3}{a^3+c^3}=\frac{a+b}{a+c}$

Cho dãy số $a_1$, $a_2$, $a_3$,... sao cho: $a_2=\frac{a_1-1}{a_1+1};a_3=\frac{a_2-1}{a_2+1};\mathrm{...};a_n=\frac{a_{n-1}-1}{a_{n-1}+1}$

a) Chứng minh rằng $a_1=a_5$

b) Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng $a_{101}=3$

Tìm phân số $\frac{m}{n}$ khác 0 và số tự nhiên k, biết rằng $\frac{m}{n}=\frac{m+k}{nk}$

Cho hai số tự nhiên a và b (a<b). Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu bằng 7, mỗi phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b.

Mức sản xuất của một xí nghiệp năm 2001 tăng a% so với năm 2000, năm 2002 tăng b% so với năm 2001. Mức sản xuất của xí nghiệp đó năm 2002 tăng so với năm 2000 là:

A) $\left(c+b\right)\%;$

B) $ab\%;$

C) $\left(a+b+\frac{a+b}{100}\right)\%;$

D) $\left(a+b+\frac{ab}{100}\right)\%;$

E) $\left(\frac{a+b}{100}+\frac{ab}{10000}\right)\%.$

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Một số a tăng m%, sau đó lại giảm đi n% (a, m, n là các số dương) thì được số b. Tìm liên hệ giữa m và n để b>a

Chứng minh rằng các tổng sau không là số nguyên:

a) $A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\mathrm{...}+\frac{1}{n}\left(n\in N,n\ge 2\right);$

b) $B=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\mathrm{...}+\frac{1}{2n+1}\left(n\in N,n\ge 1\right)$

Phân tích đa thức thành nhân tử: $3x^2-8x+4$

Phân tích đa thức thành nhân tử: $4x^2-4x-3$

Phân tích đa thức thành nhân tử: $f\left(x\right)=x^3-x^2-4$

Phân tích đa thức thành nhân tử: $3x^3-7x^2+17x-5$

Phân tích đa thức thành nhân tử: $4x^4+81$

Phân tích đa thức thành nhân tử: $64x^4+y^4$

Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^5+x-1$

Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^7+x^2+1$

Phân tích đa thức thành nhân tử: $x(x+4)(x+6)(x+10)+128$

Phân tích đa thức thành nhân tử: $A=x^4+6x^3+7x^2-6x+1$