Ôn tập Phân thức đại số có đáp án - Phần 3
25 câu hỏi
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥2:
B=1−261−2121−220...1−2nn+1>13
Rút gọn biểu thức A=2.44.6.6.88.10.10.1212.14...42.4444.46
Chứng minh rằng:
a) A=23+123−1.33+133−1.43+143−1. ... .93+193−1<32
b) B=23−123+1.33−133+1. ... .n3−1n3+1>23
Rút gọn biểu thức P=14+454+494+4 ... 214+434+474+4114+4 ... 234+4
Rút gọn biểu thức M=1a2−5a+6+1a2−7a+12+1a2−9a+20+1a2−11a+30
Rút gọn biểu thức n−11+n−22+n−33+...+2n−2+1n−1:12+13+14+...+1n
Rút gọn biểu thức AB=112n−1+132n−3+152n−5+...+12n−3.3+12n−1.11+13+15+...+12n−1
Cho abc = 1 (1) và a+b+c=1a+1b+1c (2)
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại một số bằng 1.
Cho hai số nguyên dương a và b trong đó a>b. Tìm số nguyên dương c khác b sao cho a3+b3a3+c3=a+ba+c
Cho dãy số a1, a2, a3,... sao cho: a2=a1−1a1+1;a3=a2−1a2+1; ... ;an=an−1−1an−1+1
a) Chứng minh rằng a1=a5
b) Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng a101=3
Tìm phân số mn khác 0 và số tự nhiên k, biết rằng mn=m+knk
Cho hai số tự nhiên a và b (a<b). Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu bằng 7, mỗi phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b.
Mức sản xuất của một xí nghiệp năm 2001 tăng a% so với năm 2000, năm 2002 tăng b% so với năm 2001. Mức sản xuất của xí nghiệp đó năm 2002 tăng so với năm 2000 là:
A) c+b%;
B) ab%;
C) a+b+a+b100%;
D) a+b+ab100%;
E) a+b100+ab10 000%.
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Một số a tăng m%, sau đó lại giảm đi n% (a, m, n là các số dương) thì được số b. Tìm liên hệ giữa m và n để b>a
Chứng minh rằng các tổng sau không là số nguyên:
a) A=12+13+14+...+1nn∈N,n≥2;
b) B=13+15+17+...+12n+1n∈N,n≥1
a)
b)
Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x2-8x+4
Đa thức trên không chứa nhân tử chung, không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các hạng tử. Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn.
Cách 1. (Tách hạng tử thứ hai)
3x2−8x+4=3x2−6x−2x+4=3xx−2−2x−2=x−23x−2
Cách 2. (Tách hạng tử thứ nhất)
3x2−8x+4=4x2−8x+4−x2=2x−22−x2
=2x−2+x2x−2−x=3x−2x−2.
Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x2-4x-3
Cách 1. (Tách hạng tử thứ hai)
4x2−4x−3=4x2+2x−6x−3=2x2x+1−32x+1=2x+12x−3.
Chú ý rằng hệ số –4 được tách thành 2 và –6 có tích bằng –12, bằng tích của 4(–3)
Cách 2. (Tách hạng tử thứ ba)
4x2−4x−3=4x2−4x+1−4=2x−12−22=2x+12x−3;
Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x)=x3-x2-4
Lần lượt kiểm tra với x=±1,±2,±4, ta thấy f2=23−22−4=0. Đa thức có nghiệm x=2, do đó chứa nhân tử x-2.
Ta tách các hạng tử như sau:
Cách 1: x3−x2−4=x3−2x2+x2−2x+2x−4
=x2x−2+xx−2+2x−2=x−2x2+x+2
Cách 2: x3−x2−4=x3−8−x2+4
=x−2x2+2x+4−x+2x−2
=x−2x2+2x+4−x−2=x−2x2+x+2.
Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x3-7x2+17x-5
Các số ±1, ±5 không là nghiệm của đa thức. Như vậy, đa thức không có nghiệm nguyên. Tuy vậy, đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ khác. Ta chứng minh được rằng trong đa thức có các hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng pq trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất (*)
Xét các số ±13, ±53 ta thấy 13 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa thừa số 3x-1. Ta tách các hạng tử như sau:
3x3−7x2+17x−5=3x3−x2−6x2+2x+15x−5=x23x−1−2x3x−1+53x−1=3x−lx2−2x+5.
Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x4+81
Thêm và bớt 36x2:
4x4+81=4x4+36x2+81−36x2=2x2+92−6x2=2x2+9+6x2x2+9−6x
Phân tích đa thức thành nhân tử: 64x4+y4
Thêm và bớt 16x2y2:
64x4+y4=64x4+16x2y2+y4−16x2y2=8x2+y22−4xy2=8x2+y2+4xy8x2+y2−4xy.
Phân tích đa thức thành nhân tử: x5+x-1
x5+x−1=x5−x4+x3+x4−x3+x2−x2+x−1=x3x2−x+1+x2x2−x+1−x2−x+1=x2−x+1x3+x2−1.
Phân tích đa thức thành nhân tử: x7+x2+1
Thêm và bớt x:
Phân tích đa thức thành nhân tử: x(x+4)(x+6)(x+10)+128
Phân tích đa thức thành nhân tử: A=x4+6x3+7x2-6x+1
