Ôn tập Phân thức đại số có đáp án - Phần 1

Cho phân thức $M=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right){\left(a+b+c\right)}^2+{\left(ab+bc+ca\right)}^2}{{\left(a+b+c\right)}^2-\left(ab+bc+ca\right)}$

a) Tìm các giá trị của a, b, c để phân thức được xác định (tức là để mẫu khác 0).

b) Rút gọn phân thức M.

Rút gọn phân thức $A=\frac{{\left(b-c\right)}^3+{\left(c-a\right)}^3+{\left(a-b\right)}^3}{a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)-c^2\left(a-b\right) }$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số $\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}$ là phân số tối giản.

Chứng minh rằng $1 +x+x^2+x^3+\mathrm{...}+x^{31}=\left(1+x\right)\left(1+x^2\right)\left(1+x^4\right)\left(1+x^8\right)\left(1+x^{16}\right). \left(1\right)$

Tìm giá trị của x để các phân thức sau bằng 0:

a)  $\frac{x^4+x^3+x+1}{x^4-x^3+2x^2-x+1};$

b) $\frac{x^4-5x^2+4}{x^4-10x^2+9}.$

Rút gọn các phân thức:

a) $A=\frac{1235.2469-1234}{1234.2469+1235};$

b) $B=\frac{4002}{1000.1002-999.1001}.$

Rút gọn các phân thức:

a) $\frac{3x^3-7x^2+5x-1}{2x^3-x^2-4x+3};$

b) $\frac{{\left(x-y\right)}^3-3xy\left(x+y\right)+y^3}{x-6y};$

c) $\frac{x^2+y^2+z^2-2xy+2xz-2yz}{x^2-2xy+y^2-z^2}.$

Rút gọn các phân thức với n là số tự nhiên:

a) $\frac{\left(n+1\right)!}{n!\left(n+2\right)};$

b) $\frac{n!}{\left(n+1\right)!-n!};$

c) $\frac{\left(n+1\right)!-\left(n+2\right)!}{\left(n+1\right)!+\left(n+2\right)!}.$

Rút gọn các phân thức:

a) $\frac{a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)}{a{b}^2-a{c}^2-b^3+b{c}^2};$

b) $\frac{2x^3-7x^2-12x+45}{3x^3-19x^2+33x-9};$

c) $\frac{x^3-y^3+z^3+3xyz}{{\left(x+y\right)}^2+{\left(y+z\right)}^2+{\left(z-x\right)}^2};$

d) $\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{{\left(x-y\right)}^2+{\left(y-z\right)}^2+{\left(z-x\right)}^2}.$

Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n:

a) $\frac{3n+1}{5n+2};$

b) $\frac{12n+1}{30n+2};$

c) $\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1};$

d) $\frac{2n+1}{2n^2-1}.$

Chứng minh rằng phân số $\frac{n^7+n^2+1}{n^8+n+1}$ không tối giản với mọi số nguyên dương n.

Viết gọn biểu thức sau dưới dạng một phân thức: $A=\left(x^2-x+1\right)\left(x^4-x^2+1\right)\left(x^8-x^4+1\right)\left(x^{16}-x^8+1\right)\left(x^{32}-x^{16}+1\right).$

Cho biết $ax+by+cz=0.$

Rút gọn $A=\frac{bc{\left(y-z\right)}^2+ca{\left(z-x\right)}^2+ab{\left(x-y\right)}^2}{a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2}$

Rút gọn $\frac{x^2+y^2+z^2}{{\left(y-z\right)}^2+{\left(z-x\right)}^2+{\left(x-y\right)}^2}$, biết rằng x+y+z=0.

Tính giá trị của biểu thức $A=\frac{x-y}{x+y}$, biết $x^2-2y^2=xy\left(y\ne 0;x+y\ne 0\right)$

Tính giá trị của phân thức $A=\frac{3x-2y}{3x+2y}$, biết rằng $9x^2+4y^2=20xy$ và $2y<3x<0$

Cho 3x-y=3z và 2x+y=7z. Tính giá trị của biểu thức $M=\frac{x^2-2xy}{x^2+y^2}\left(x\ne 0,y\ne 0\right)$

Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên:

a) $\frac{3}{2x-1};$

b) $\frac{5}{x^2+1};$

c) $\frac{7}{x^2-x+1};$

d) $\frac{x^2-59}{x+8};$

e) $\frac{x+2}{x^2+4}.$

Tìm số hữu tỉ x để phân thức $\frac{10}{x^2+1}$ có giá trị là số nguyên

Chứng minh rằng nếu các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện $\overline{ab}:\overline{bc}=a:c$ thì $\overline{abbb}:\overline{bbbc}=a:c$

Điểm trung bình môn Toán của các học sinh nam và nữ hai lớp 8A và 8B được thống kê ở bảng sau:

Tính điểm trung bình môn Toán của các học sinh của cả hai lớp 8A và 8B.

Cho a+b+c=0 và a, b, c đều khác 0. Rút gọn biểu thức $A=\frac{ab}{a^2+b^2-c^2}+\frac{bc}{b^2+c^2-a^2}+\frac{ca}{c^2+a^2-b^2}$

Rút gọn biểu thức $A=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+x^2}+\frac{4}{1+x^4}+\frac{8}{1+x^8}$

Rút gọn biểu thức $B=\frac{3}{{\left(1.2\right)}^2}+\frac{5}{{\left(2.3\right)}^2}+\mathrm{...}+\frac{2n+1}{{\left[n\left(n+1\right)\right]}^2}$

Xác định các số a, b, c sao cho $\frac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{ax+b}{x^2+1}+\frac{c}{x-1} \left(1\right)$