Ôn tập Phân thức đại số có đáp án - Phần 1
25 câu hỏi
Cho phân thức M=a2+b2+c2a+b+c2+ab+bc+ca2a+b+c2−ab+bc+ca
a) Tìm các giá trị của a, b, c để phân thức được xác định (tức là để mẫu khác 0).
b) Rút gọn phân thức M.
Ta có
a+b+c2−ab+bc+ca=0⇔a2+b2+c2+ab+bc+ca=0
⇔2a2+2b2+2c2+2ab+2bc+2ca=0
⇔a+b2+b+c2+c+a2=0⇔a+b=b+c=c+a=0
⇔a=b=c=0
Vậy điều kiện để phần thức M được xác định là a, b, c không đồng thời bằng 0.
b) Chú ý rằng a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+bc+ca
Do đó, ta đặt a2+b2+c2=x, ab+bc+ca=y. Khi đó a+b+c2=x+2y
Ta có
M=xx+2y+y2x+2y−y=x2+2xy+y2x+y=x+y2x+y=x+y=a2+b2+c2+ac+bc+ca
Rút gọn phân thức A=b−c3+c−a3+a−b3a2b−c+b2c−a−c2a−b
Phân tích mẫu thức thành nhân tử:
a2b−c+b2c− a+c2a − b=a2b−c+b2c−ab2+ac2−bc2=a2b−c+bcb−c−ab2−c2=b−ca2+bc−ab−ac=b−caa−b−ca−b=b−ca−ba−c
Do đó
A=b−c3+c−a3+a−b3−a−bb−cc−a
Ta có nhận xét: Nếu x+y+z=0 thì x3+y3+z3=3xyz
Đặt b−c=x, c−a=y, a−b=z thì x+y+z=0. Theo nhận xét trên: A=x3+y3+z3−xyz =3xyz−xyz=−3
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số n3+2nn4+3n2+1 là phân số tối giản.
Chứng minh rằng 1 +x+x2+x3+...+x31=1+x1+x21+x41+x81+x16. 1
Tìm giá trị của x để các phân thức sau bằng 0:
a) x4+x3+x+1x4−x3+2x2−x+1;
b) x4−5x2+4x4−10x2+9.
Rút gọn các phân thức:
a) A=1235.2469−12341234.2469+1235;
b) B=40021000.1002−999.1001.
Rút gọn các phân thức:
a) 3x3−7x2+5x−12x3−x2−4x+3;
b) x−y3−3xyx+y+y3x−6y;
c) x2+y2+z2−2xy+2xz−2yzx2−2xy+y2−z2.
Rút gọn các phân thức với n là số tự nhiên:
a) n+1!n!n+2;
b) n!n+1!−n!;
c) n+1!−n+2!n+1!+n+2!.
Rút gọn các phân thức:
a) a2b−c+b2c−a+c2a−bab2−ac2−b3+bc2;
b) 2x3−7x2−12x+453x3−19x2+33x−9;
c) x3−y3+z3+3xyzx+y2+y+z2+z−x2;
d) x3+y3+z3−3xyzx−y2+y−z2+z−x2.
Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n:
a) 3n+15n+2;
b) 12n+130n+2;
c) n3+2nn4+3n2+1;
d) 2n+12n2−1.
Chứng minh rằng phân số n7+n2+1n8+n+1 không tối giản với mọi số nguyên dương n.
Viết gọn biểu thức sau dưới dạng một phân thức: A=x2−x+1x4−x2+1x8−x4+1x16−x8+1x32−x16+1.
Cho biết ax+by+cz=0.
Rút gọn A=bcy−z2+caz−x2+abx−y2ax2+by2+cz2
Rút gọn x2+y2+z2y−z2+z−x2+x−y2, biết rằng x+y+z=0.
Tính giá trị của biểu thức A=x−yx+y, biết x2−2y2=xyy≠0; x+y≠0
Tính giá trị của phân thức A=3x−2y3x+2y, biết rằng 9x2+4y2=20xy và 2y<3x<0
Cho 3x-y=3z và 2x+y=7z. Tính giá trị của biểu thức M=x2−2xyx2+y2x≠0,y≠0
Tìm số nguyên x để phân thức sau có giá trị là số nguyên:
a) 32x−1;
b) 5x2+1;
c) 7x2−x+1;
d) x2−59x+8;
e) x+2x2+4.
Tìm số hữu tỉ x để phân thức 10x2+1 có giá trị là số nguyên
Chứng minh rằng nếu các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện ab¯:bc¯=a:c thì abbb¯:bbbc¯=a:c
Điểm trung bình môn Toán của các học sinh nam và nữ hai lớp 8A và 8B được thống kê ở bảng sau:
Tính điểm trung bình môn Toán của các học sinh của cả hai lớp 8A và 8B.
Cho a+b+c=0 và a, b, c đều khác 0. Rút gọn biểu thức A=aba2+b2−c2+bcb2+c2−a2+cac2+a2−b2
Rút gọn biểu thức A=11−x+11+x+21+x2+41+x4+81+x8
Do đặc điểm của bài toán, ta không quy đồng mẫu tất cả các phân thức mà cộng lần lượt từng phân thức
A=11−x+11+x+21+x2+41+x4+81+x8=41−x4+41+x4+81+x8=81−x8+81+x8=161−x16
Rút gọn biểu thức B=31.22+52.32+...+2n+1nn+12
Đương nhiên không thể quy đồng mẫu tất cả các phân thức. Ta tìm cách tách mỗi phân thức thành hiệu của hai phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp. Ta có:
2k+1k2k+12=k+12−k2k2k+12=1k2−1k+12
Do đó
B=112−122+122−132+...+1n2−1n+12=1−1n+12=nn+2n+12
Xác định các số a, b, c sao cho 1x2+1x−1=ax+bx2+1+cx−1 1
Thực hiện phép cộng ở vế phải của (1)
ax+bx−1+cx2+1x2+1x−1=ax2−ax+bx−b+cx2+cx2+1x−1=a+cx2+b−ax+c−bx2+1x−1
Đồng nhất phân thức trên với phân thức 1x2+1x−1, ta được
a+c=0b−a=0c−b=1⇒c+b=0c−b=1⇒c=12; b=−12.
Do đó a=−12
Như vậy 1x2+1x−1=−12x−12x2+1+12x−1
