Ôn tập chương III

Điều kiện xác định của phương trình : $\left\{\begin{array}{l}x-5\ge 0\\ 5-x\ge 0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 5\\ x\le 5\end{array}\right.\right.\iff x=5$

Do đó, tập xác định của phương trình là D= {5}

Xét phương án D :

  * $2x-1=0\iff 2x=1\iff x=\frac{1}{2}$

* $\frac{\left(x+2\right)\left(2x-1\right)}{\sqrt{x+1}}=0$

Điều kiện :  x > - 1

Suy ra :  (x+ 2). (2x – 1) = 0

$\iff [\begin{array}{l}x+2=0\\ 2x-1=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=-2\\ x=\frac{1}{2}\end{array}$

Kết hợp điều kiện ta được $x=\frac{1}{2}$.

Vậy hai phương trình này tương đương với nhau.

* Nếu $x\ge 1\Rightarrow x-1\ge 0$, khi đó phương trình đã cho trở thành:

    x – 1+  2x – 3 = 0 $\iff 3x-4=0\iff x=\frac{4}{3}$ ( thỏa  mãn ).

* Nêu x < 1 thì x- 1 < 0 . khi đó phương trình đã  cho trở thành:

 - (x- 1) + 2x – 3 hay  - x + 1 + 2x – 3 = 0

$\iff x-2=0\iff x=2$ (loại)

Vậy phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm là: $x=\frac{4}{3}$

Phương trình $\left(m^2-2\sqrt{3}m-1\right)x+m+\sqrt{2017}m=0$ có dạng ax + b = 0 và có nghiệm khi $a\ne 0$ ( khi đó phương trình có nghiệm duy nhất)  hoặc a= b= 0 ( khi đó phương trình có vô số nghiệm).

* Xét $a\ne 0$ hay $m^2-2\sqrt{3}m-1\ne 0\iff m\ne 2+\sqrt{3}; m\ne -2+\sqrt{3}$

* Xét a = b = 0 hay  $\left\{\begin{array}{l}{m}^2-2\sqrt{3}m-1=0\\ m+\sqrt{2017}m=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}m=2+\sqrt{3}\\ m=-2+\sqrt{3}\end{array}\\ m=0\end{array}\right.$   ( loại)

Vậy để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì $m\ne 2+\sqrt{3}; m\ne -2+\sqrt{3}$.

Ta có: x + y -6 = 0 $\iff y=-x+6$

Hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là nghiệm của phương trình                              

                                x² – 2x +  5 = -x + 6

$\iff x^2-x-1=0\iff x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Vậy hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:  $x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Áp dụng định lí vi- et ta có:  $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=3\\ x_1.x_2=1\end{array}\right.$

Ta có: ${x_1}^2+{x_2}^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1.x_2=3^2-2.1=7$.

Áp dụng định lí vi- et ta có:  $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=3\\ x_1.x_2=1\end{array}\right.$

Ta có:  $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}=\frac{3}{1}=3$.

* Xét phương trình :  2x² + mx – m – 2= 0

Có a+ b + c = 2+ m – m – 2 =0

Suy ra,phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm: x₁ = 1 và $x_2=\frac{c}{a}=\frac{-m-2}{2}$

*Khi m=  4 phương trình đã cho trở thành:   2x² + 4x – 6 = 0

ó m = 1 hoặc m = -3

* Khi m=- 4 thì phương trình đã cho trở thành:  2x² – 4x + 2 = 0 ó x= 1

Do đó, khẳng định B sai.

* Với m= 3 thì phương trình đã cho trở thành:  x² – 6x + 1= 0.

Phương trình này có 2 nghiệm $x_1=3+2\sqrt{2}; x_2=3-2\sqrt{2}$ nên$\left|x_1-x_2\right|=4\sqrt{2}$

 * Với m= 2 thì phương trình đã cho trở thành:  x² – 4x = 0.

Phương trình này có 2 nghiệm là x₁ =0 và x₂ = 4 nên |x₁ – x₂| = 4

* Với m= 1 thì phương trình đã cho trở thành:  x² – 2x - 1= 0.

Phương trình này có 2 nghiệm $x_1=1+\sqrt{2}; x_2=1-\sqrt{2}$ nên $\left|x_1-x_2\right|=2\sqrt{2}$

* Phương trình đã cho có:

$$\begin{gathered} ∆\text{'}=m^2-\left(m-2\right)=m^2-m+2=m^2-2.\frac{1}{2}.m+\frac{1}{4}+\frac{7}{4} \\ ={\left(m-\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{7}{4}>0 \forall m \end{gathered}$$

Do đó, không có giá trị nào của m để ∆’ = 0 hay không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có nghiệm kép.

Chọn D.

Ta có:$\left\{\begin{array}{l}x-2y+1=0\\ -x+3y-3=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-2y=-1\\ -x+3y=3\end{array}\right.$

Ta tính các định thức: 

$$\begin{gathered} D=\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& 3\end{array}\right|=1.3-(-1).(-2)=1; D_x=\left|\begin{array}{cc}-1& -2\\ 3& 3\end{array}\right|=-1.3-3.(-2)=3 \\ {D}_y=\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 3\end{array}\right|=1.3-\left(-1\right).\left(-1\right)=2 \end{gathered}$$

Suy ra $x=\frac{D_x}{D}=3; y=\frac{D_y}{D}=2$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  (3; 2).

Giao điểm của hai đường thẳng d₁  và d₂ là nghiệm hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}x+2y=1\\ 2x+3y=-5\end{array}\right.$

Ta tính các định thức:

$$\begin{gathered} D=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right|=1.3-2.2=-1;D_x=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ -5& 3\end{array}\right|=1.3-(-5).2=13 \\ {D}_y=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -5\end{array}\right|=1.(-5)-2.1=-7 \end{gathered}$$

Suy ra: $x=\frac{D_x}{D}=-13; y=\frac{D_y}{D}=7$

Do đó hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại điểm (-13; 7).

Định thức $D=\left|\begin{array}{cc}m& 1\\ 1& -m\end{array}\right|=-m^2-1=-\left(m^2+1\right)<0$ với mọi giá trị của m.

Do đó, hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của m