Ôn tập chương II

Hàm số đồng biến khi a > 0

Hàm số nghịch biến khi a < 0

Hai đường thẳng y = ax + b và y = a'x + b' (a, a' ≠ 0)

   - Cắt nhau khi và chỉ khi a ≠ a'

   - Song song với nhau khi và chỉ khi a = a', b ≠ b'

   - Trùng nhau khi và chỉ khi a = a', b = b'

Hàm số y = (m – 1)x + 3 là hàm số bậc nhất đối với x khi m – 1 ≠ 0 hay m ≠ 1 (*)

Hàm số đồng biến khi m – 1 > 0 hay m > 1.

Kết hợp với điều kiện (*) ta được với m > 1 thì hàm số đồng biến.

Hàm số y = (5 – k)x + 1 là hàm số bậc nhất đối với x khi 5 – k ≠ 0 hay k ≠ 5 (**).

Hàm số nghịch biến khi 5 – k < 0 hay k > 5.

Kết hợp với điều kiện (**) ta được với k > 5 thì hàm số nghịch biến.

Đồ thị hai hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên ta thay hoành độ x = 0 vào:

    hàm số y = 2x + (3 + m) ta được tung độ: y = 3 + m

    hàm số y = 3x + (5 – m) ta được tung độ: y = 5 – m

Vì cùng là tung độ của giao điểm nên:

    3 + m = 5 – m => m = 1

Vậy khi m = 1 thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

(Lưu ý: Điểm trên trục tung có hoành độ là 0)

Theo đề bài ta có b ≠ b' (vì 2 ≠ 1)

Nên hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x + 1 song song với nhau khi và chỉ khi:

    a – 1 = 3 – a

=> a = 2 (thỏa mãn a ≠ 1 và a ≠ 3)

Vậy với a = 2 thì hai đường thẳng song song với nhau.

Hai đường thẳng y = kx + (m – 2) và y = (5 – k)x + (4 – m) trùng nhau khi và chỉ khi:

    k = 5 – k (1) và m – 2 = 4 – m (2)

Từ (1) suy ra k = 2,5 (thỏa mãn điều kiện k ≠ 0 và k ≠ 5)

Từ (2) suy ra m = 3

Vậy với k = 2,5 và m = 3 thì hai đường thẳng trùng nhau.

Hàm số y = ( k + 1)x + 3 có các hệ số a = k + 1, b = 3

Hàm số y = (3 – 2k)x + 1 có các hệ số a' = 3 - 2k, b' = 1

Hai hàm số là hàm số bậc nhất nên a và a' khác 0, tức là:

 Theo đề bài ta có b ≠ b' (vì 3 ≠ 1)

Nên hai đường thẳng y = (k + 1)x + 3 và y = (3 – 2k)x + 1 song song với nhau khi a = a'

tức là: k + 1 = 3 – 2k

Hai đường thẳng y = (k + 1)x + 3 và y = (3 – 2k)x + 1 cắt nhau khi a ≠ a' tức là:

thì hai đường thẳng cắt nhau.

Do b ≠ b' (vì 3 ≠ 1) nên hai đường thẳng không thể trùng nhau với mọi giá trị k.

- Vẽ đồ thị hàm số y = 0,5x + 2 (1)

    Cho x = 0 => y = 2 được D(0; 2)

    Cho y = 0 => 0 = 0,5.x + 2 => x = -4 được A(-4; 0)

Nối A, D ta được đồ thị của (1).

- Vẽ đồ thị hàm số y = 5 – 2x (2)

    Cho x = 0 => y = 5 được E(0; 5)

    Cho y = 0 =>0 = 5 – 2x => x = 2,5 được B(2,5; 0)

Nối B, E ta được đồ thị của (2).

Ở câu a) ta tính được tọa độ của hai điểm A và B là A(-4 ; 0) và B (2,5 ; 0)

Hoành độ giao điểm C của hai đồ thị (1) và (2) là nghiệm của phương trình:

0,5 x + 2 = 5 - 2x

⇔ 0,5x + 2x = 5 – 2

⇔ 2,5.x = 3 ⇔ x = 1,2

⇒ y = 0,5.1,2 + 2 = 2, 6

Vậy tọa độ điểm C(1,2; 2,6).

 AB = AO + OB = |-4| + |2,5| = 6,5 (cm)

Gọi H là hình chiếu của C trên Ox, ta có H( 1,2; 0)

Ta có: AH = AO + OH = 4 + 1,2 = 5,2

BH = BO – OH = 2,5 – 1,2 = 1,3

CH = 2,6

Gọi α là góc hợp bởi đường thẳng y = 0,5x + 2 với tia Ox.

Ta có: tgα = 0,5 => α = 26o34'

Gọi β là góc hợp bởi đường thẳng y = 5 - 2x với tia Ox

Tam giác OEB vuông tại O nên:

– Vẽ đồ thị y = 2x (1):

    Cho x= 0 ⇒ y= 0 ta được O (0, 0)

    Cho x= 2 ⇒ y = 4 ta được điểm (2; 4)

- Vẽ đồ thị y = 0,5x (2):

    Cho x= 0 ⇒ y = 0 ta được O (0; 0)

    Cho x = 4 ⇒ y = 2 ta được điểm (4; 2)

- Vẽ đồ thị y = -x + 6 (3):

    Cho x = 0 ⇒ y = 6 được điểm (0; 6)

    Cho y = 0 ⇒ x = 6 được điểm (6; 0)

Theo đề bài A, B theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng (3) với các đường thẳng (1) và (2), nên ta có:

Hoành độ giao điểm của A là nghiệm của phương trình:

    - x + 6 = 2x ⇒ x = 2

=> y = 4 => A(2; 4)

Hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình:

    - x + 6 = 0,5x ⇒ x = 4

⇒ y = 2 ⇒ B(4; 2)

Ta có: