Ôn tập chương 3 Hình học 12

a) Cách 1:

Phương trình đoạn chắn (ABC) là:

 hay x + y + z – 1 = 0.

Thay tọa độ điểm D(-2; 1; -1) ta được: (-2) + 1 + (-1) – 1 = -3 ≠ 0

⇒ D không nằm trong (ABC)

⇒ A, B, C, D không đồng phẳng

⇒ A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.

Cách 2:

⇒ A, B, C, D không đồng phẳng

⇒ A, B, C, D là bốn đỉnh của hình tứ diện.

Độ dài đường cao hình chóp A.BCD chính là khoảng cách từ A đến (BCD).

⇒ (BCD) nhận  là 1 vtpt

⇒ (BCD): x – 2y – 2z + 2 = 0

⇒ Độ dài đường cao hình chóp A.BCD là:

Tâm của mặt cầu (S) là trung điểm I (1; 1; 1) của đoạn thẳng AB và bán kính của mặt cầu (S) là R = IA = √62

Mặt cầu (S) có phương trình là

(α) tiếp xúc với (S) tại A

⇒ (α) ⊥ IA

⇒ (α) nhận  là vectơ pháp tuyến

(α) đi qua A(6; 2; -5)

⇒ (α): 5x + y – 6z – 62 = 0.

(BCD) nhận  là 1 vtpt

⇒ (BCD): 16x – 6y – 4z + 8 = 0

hay (BCD): 8x – 3y – 2z + 4 = 0.

Chiều cao AH của tứ diện ABCD chính là khoảng cách từ điểm A đến mp (BCD) :

(α) chứa AB và song song với CD

⇒ (α) nhận (1; 0; -1) là 1 vtpt

(α) đi qua A(-2; 6; 3)

⇒ (α): x – z + 5 = 0.

Đường thẳng AB nhận  là 1 vtcp và đi qua A(1; 0; -3)

(Δ) nhận  là 1 vtcp

+ (d) cần tìm song song với (Δ)

⇒ (d) nhận  là 1 vtcp

+ (d) đi qua M(2; 3; -5)

Từ phương trình x-32+y+22+z-12=100 ta suy ra mặt cầu (S) có tâm I(3;-2;1) và có bán kính R=10. Gọi H là tâm cả đường tròn (C) - Hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (α)

Phương trình tham số của đường thẳng IH là: x=3+2ty=-2-2tz=1-t Thay x,y,z từ phương trình tham số của đường thẳng IH vào phương trình mp α tại H(-1;2;3). H là tâm của đường tròn (C). Vậy bán kính của đường tròn (C) là 

M ∈ d ⇒ M(12 + 4t; 9 +3t; 1 + t).

M ∈ α ⇒ 3.(12 + 4t) + 5.(9 + 3t) – (1 + t) – 2 = 0

⇔ 26t + 78 = 0.

⇔ t = -3.

⇒ M(0; 0; -2).

(β) vuông góc với d

⇒ (β) nhận vtcp của d  là 1 vtpt.

(β) đi qua M(0; 0; -2)

⇒ (β): 4x + 3y + z + 2 = 0.

(α) vuông góc với giá của a→⇒ (α) nhận a→ là 1 vtpt.

(α) đi qua A(-1; 2; -3)

⇒ (α): 6x – 2y – 3z + 1 = 0.

Gọi giao điểm của d và (α) là M.

M ∈ d ⇒ M(1 + 3t; -1 + 2t; 3 – 5t).

M ∈ (α) ⇒ 6(1 + 3t) – 2(-1 + 2t) – 3(3 – 5t) + 1 = 0

⇔ 29t = 0

⇔ t = 0

⇒ M(1; -1; 3).

(α) ⊥ a→

Δ ⊥ a→

⇒ Δ song song hoặc nằm trong (α).

Mà Δ và (α) cùng đi qua A

⇒ Δ ⊂ (α)

Δ cắt d ⇒ Δ cắt d tại M

⇒ Δ chính là đường thẳng AM.

+ Mặt cầu

Vậy (S) có tâm I(5; -1; -13), bán kính R = 5.

+ (α) song song với d và d’

⇒ (α) nhận vtcp của d và d’ là  = (2; -3; 2) và  = (3 ; -2 ; 0) là các vtcp

⇒ (α) nhận  = (4; 6; 5) là vtpt

⇒ (α): 4x + 6y + 5z + D = 0.

(α) tiếp xúc với (S)

⇒ d(I; α) = R

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là:

Vecto pháp tuyến của mp α là n→=(2;-1;2), H là hình chiếu vuông góc của M trên mp α nên MH⊥mpα, đường thẳng MK có vecto pháp tuyến n→=(2;-1;2)

Ta có pt tham số của đường thẳng MH là : x=1+2ty=-1-tz=2+2t

Thay x,y,z từ pt tham số của đường thẳng MH và pt mp α, ta có:

2(1+2t)-(-1-t)+2(2+2t)+11=0 <=> t=-2

Vậy H(-3;1;-2)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mp (α), ta có MH ⊥mp (α)

Đường thẳng MH có vecto chỉ phương là n→=(1;3;-1)

x=2+ty=1+3tz=-t

thay x,y,z trong pt tham số của đường thẳng MH vào pt của mp (α), ta có:

Vì M' đối xứng với M qua mp (α) nên H là trung điểm của MM' 

Vecto chỉ phương của đường thẳng ∆là a→=2;-1;2

Ta có: M(1+2t;-1-t;2t)∈∆

M là hình chiếu vuông góc của A trên ∆ khi:

Vì A' đối xứng với A qua M nên M là trung điểm của AA'. Do đó, ta có: